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                    基于魯棒正不變集的傳感器故障區間估計

                    張文瀚 王振華 沈毅

                    張文瀚, 王振華, 沈毅. 基于魯棒正不變集的傳感器故障區間估計. 自動化學報, 2020, 46(9): 1986?1993. doi: 10.16383/j.aas.c180504
                    引用本文: 張文瀚, 王振華, 沈毅. 基于魯棒正不變集的傳感器故障區間估計. 自動化學報, 2020, 46(9): 1986?1993. doi: 10.16383/j.aas.c180504
                    Zhang Wen-Han, Wang Zhen-Hua, Shen Yi. Interval estimation for sensor fault based on robust positive invariant set. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1986?1993. doi: 10.16383/j.aas.c180504
                    Citation: Zhang Wen-Han, Wang Zhen-Hua, Shen Yi. Interval estimation for sensor fault based on robust positive invariant set. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1986?1993. doi: 10.16383/j.aas.c180504

                    基于魯棒正不變集的傳感器故障區間估計


                    DOI: 10.16383/j.aas.c180504
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      哈爾濱工業大學航天學院博士研究生. 主要研究方向為故障診斷和區間估計. E-mail: wenhan.zhang@hit.edu.cn

                      哈爾濱工業大學航天學院副教授.主要研究方向為故障診斷與容錯控制技術. E-mail: zhenhua.wang@hit.edu.cn

                      哈爾濱工業大學航天學院教授. 主要研究方向為故障診斷, 飛行器控制, 超聲信號處理. 本文通信作者. E-mail: yishen_hit@126.com

                    • 基金項目:  國家自然科學基金(61773145, 61703296), 哈爾濱工業大學深空探測著陸與返回技術國防重點學科基金(HIT.KLOF.2018.073)資助

                    Interval Estimation for Sensor Fault Based on Robust Positive Invariant Set

                    More Information
                    • Fund Project:  Supported by National Natural Science Foundation of China (61773145, 61703296) and the Key Laboratory Opening Funds of Harbin Institute of Technology (HIT.KLOF.2018.073)
                    • 摘要: 針對具有傳感器故障和未知擾動與測量噪聲的線性離散系統, 提出了一種傳感器故障區間估計方法. 將傳感器故障視為增廣狀態, 原始系統轉化為一個等效的廣義系統. 為了得到故障的點估計同時抑制擾動和噪聲的影響, 基于有界實引理設計了一個針對廣義系統的魯棒狀態觀測器. 然后, 通過中心對稱多胞體技術實現對故障的區間估計并基于魯棒正不變集給出了一種降低區間估計計算量的方法. 最后, 通過一個垂直起降(Vertical take-off and landing, VTOL)飛行器線性化模型的仿真算例驗證了所提出方法的有效性與優越性.
                    • 圖  1  垂直起降飛行器線性化模型的傳感器故障及其區間估計結果

                      Fig.  1  Sensor fault and its interval estimation results of the VTOL aircraft linear model

                      圖  2  傳感器故障估計誤差對比結果

                      Fig.  2  Sensor fault estimation error comparison result

                      360彩票
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                    • 加載中
                    圖(2)
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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2018-07-20
                    • 錄用日期:  2018-10-09
                    • 網絡出版日期:  2020-09-28
                    • 刊出日期:  2020-09-28

                    基于魯棒正不變集的傳感器故障區間估計

                    doi: 10.16383/j.aas.c180504
                      基金項目:  國家自然科學基金(61773145, 61703296), 哈爾濱工業大學深空探測著陸與返回技術國防重點學科基金(HIT.KLOF.2018.073)資助
                      作者簡介:

                      哈爾濱工業大學航天學院博士研究生. 主要研究方向為故障診斷和區間估計. E-mail: wenhan.zhang@hit.edu.cn

                      哈爾濱工業大學航天學院副教授.主要研究方向為故障診斷與容錯控制技術. E-mail: zhenhua.wang@hit.edu.cn

                      哈爾濱工業大學航天學院教授. 主要研究方向為故障診斷, 飛行器控制, 超聲信號處理. 本文通信作者. E-mail: yishen_hit@126.com

                    摘要: 針對具有傳感器故障和未知擾動與測量噪聲的線性離散系統, 提出了一種傳感器故障區間估計方法. 將傳感器故障視為增廣狀態, 原始系統轉化為一個等效的廣義系統. 為了得到故障的點估計同時抑制擾動和噪聲的影響, 基于有界實引理設計了一個針對廣義系統的魯棒狀態觀測器. 然后, 通過中心對稱多胞體技術實現對故障的區間估計并基于魯棒正不變集給出了一種降低區間估計計算量的方法. 最后, 通過一個垂直起降(Vertical take-off and landing, VTOL)飛行器線性化模型的仿真算例驗證了所提出方法的有效性與優越性.

                    English Abstract

                    張文瀚, 王振華, 沈毅. 基于魯棒正不變集的傳感器故障區間估計. 自動化學報, 2020, 46(9): 1986?1993. doi: 10.16383/j.aas.c180504
                    引用本文: 張文瀚, 王振華, 沈毅. 基于魯棒正不變集的傳感器故障區間估計. 自動化學報, 2020, 46(9): 1986?1993. doi: 10.16383/j.aas.c180504
                    Zhang Wen-Han, Wang Zhen-Hua, Shen Yi. Interval estimation for sensor fault based on robust positive invariant set. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1986?1993. doi: 10.16383/j.aas.c180504
                    Citation: Zhang Wen-Han, Wang Zhen-Hua, Shen Yi. Interval estimation for sensor fault based on robust positive invariant set. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1986?1993. doi: 10.16383/j.aas.c180504
                    • 在實際的工程系統中, 安全性和可靠性是至關重要的, 但是系統故障會降低系統的可靠性甚至破壞系統的穩定性. 對故障進行診斷并采取有效的處理措施可以降低故障的影響, 因此故障診斷與容錯控制技術得到了國內外學者的廣泛關注, 取得了很多研究成果[1?5]. 由于故障的幅值信息是后續主動容錯控制的重要基礎[6?7], 因此越來越多的學者開始研究能提供幅值信息的故障估計問題. 文獻[8]通過使用狀態增廣方法設計了一個魯棒觀測器, 可以同時估計傳感器故障和執行器故障, 文獻[9]利用線性矩陣不等式技術提出了一種故障估計方法. 但是, 文獻[8]和文獻[9]中的方法沒有考慮測量噪聲對系統的影響, 而測量噪聲在工程系統中是真實存在的. 為了解決這一問題, 文獻[10]針對切換系統設計了一種基于李亞普洛夫函數方法的故障估計觀測器, 可以在系統受到未知擾動和噪聲的情況下估計執行器故障. 文獻[11]通過使用廣義Kalman-Yakubovich-Popov (KYP)引理, 提出了基于降維觀測器的故障估計方法, 能有效降低噪聲對故障估計結果的影響. 此外, 文獻中還出現了比例積分故障觀測器[12]、自適應故障觀測器[13]、滑模故障估計[14]等諸多故障估計方法.

                      需要說明的是, 上述的大部分方法都是對系統故障進行點估計, 即估計的故障值盡可能地接近真實故障值. 但是, 實際系統運行時總是受到未知干擾和測量噪聲的影響, 這使得故障的點估計很難得到非常精確的估計結果. 因此, 對于存在未知擾動和測量噪聲的系統, 故障區間估計方法得到了一定的重視. 同時, 故障估計的上下界信息對于容錯控制環節也有重要的意義. 另一方面, 區間故障估計可以視為區間狀態估計的推廣. 近年來, 針對系統狀態的區間估計得到了深入研究, 提出了很多的估計方法. 文獻[15]針對一類非線性系統設計一種區間觀測器, 能夠根據觀測器的輸出給出系統狀態的上下邊界. 文獻[16]基于坐標變換技術, 給出了廣義系統區間觀測器的設計方法, 可以實現廣義系統的區間狀態估計. 文獻[17]通過使用中心對稱多胞體技術, 針對存在參數不確定性的線性系統提出了一種區間狀態估計的方法. 但是, 基于中心對稱多胞體的狀態區間估計的計算復雜度會隨著多胞體維數的增大而指數增加, 不利于實際系統中的應用. 同時需要指出的是, 上述的這些方法都是在無故障情況下對系統狀態進行區間估計, 無法直接運用到故障的區間估計上.

                      為了進行故障的區間估計, 文獻[18]提出了一種先得到系統狀態的區間估計再得到故障區間估計的方法, 該方法對系統和干擾都只有較為寬松的限制條件, 但是文獻[18]只研究了無噪聲情況下的故障區間估計方法. 最近, 文獻[19]針對線性離散系統提出了一種魯棒正不變集的概念并將其運用到容錯控制中. 文獻[20]和文獻[21]將魯棒正不變集運用到系統狀態的估計中, 給出包含系統狀態的集合和區間估計并提出了一種降低區間估計計算量的方法. 考慮到使用中心對稱多胞體進行故障檢測的研究方法很多[22?27], 但是將其應用到故障區間估計上的研究還非常少見, 同時, 利用魯棒正不變集方法可以有效降低區間估計過程中的計算量. 本文將兩者相結合并將其推廣到故障的區間估計上, 針對具有傳感器故障和未知擾動與測量噪聲的線性離散系統提出了一種故障區間估計方法. 首先基于有界實引理設計了一種具有非奇異形式的魯棒狀態觀測器, 用于獲得故障的點估計和抑制擾動與噪聲對故障估計結果的影響. 然后, 利用中心對稱多胞體技術給出故障的區間估計并基于魯棒正不變集方法給出一種降低計算量的方法. 需要指出的是, 本文的研究方法對故障的具體形式并無限制, 也不要求獲得擾動和噪聲的概率分布等先驗知識, 具有更好的適用性.

                      符號說明. $ {\bf R}^n $ $ {\bf R}^{n \times m} $ 分別表示 $ n $ 維歐氏空間及 $ n \times m $ 維矩陣構成的集合, $ {\bf N}^+ $ 表示全體正整數構成的集合. $ I_n $ 表示 $ n \times n $ 維的單位矩陣, $ 0 $ 表示具有適當維數的零向量或零矩陣. 對于向量 $ {{{\lambda}}} $ , $ {{{\lambda}}}^+(i) $ $ {{{\lambda}}}^-(i) $ 分別表示向量 $ {{{\lambda}}} $ $ i $ 個元素的上界與下界, $\Lambda = {\rm diag}\{{{{\lambda}}}\}$ 表示對角元素與向量 ${{\lambda}}$ 元素相同的對角矩陣 $ \Lambda $ . $ A^{-1} $ $ A^{\dagger} $ 分別代表矩陣 $ A $ 的逆和偽逆. 對于對稱矩陣 $ P , P \succ 0 $ $(P\prec0)$ 表示矩陣 $ P $ 為正定(負定)矩陣. 對于離散系統的傳遞函數 $ G(z) $ , $ \, \Vert G(z) \Vert _{\infty} $ 表示 $ G(z) $ $ H_{\infty} $ 范數, 即 $ G(z) $ 的最大奇異值. 對于一個對稱矩陣, 符號 $ \star $ 表示矩陣中由對稱性得到的元素.

                      • 考慮如下受傳感器故障影響的線性離散系統:

                        $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}}}_{k+1} = A{{{x}}}_k + B{{{u}}}_k+D_1{{{w}}}_k \\ {{{y}}}_k = C{{{x}}}_k+F{{{f}}}_k+D_2{{{v}}}_k\end{array}} \right. $$ (1)

                        其中, $ {{{x}}}_k\in{\bf R}^n $ , $ {{{u}}}_k \in {\bf R}^m $ , $ {{{y}}}_k \in {\bf R} ^p $ 分別是狀態向量, 控制輸入和測量輸出, $ {{{f}}}_k\in{\bf R}^s $ 表示傳感器故障, $ {{{w}}}_k\in{\bf R}^r, {{{v}}}_k \in{\bf R}^l $ 分別為系統受到的未知過程干擾和測量噪聲; $ A, B, C, D_1, D_2, F $ 是具有適當維數的常數矩陣. 不失一般性, 本文假設 $F$ 列滿秩且 $ s\leq p $ .

                        另外, 本文假設系統(1)的狀態變量初值和受到的過程干擾與測量噪聲均為未知但有界的, 即

                        $$ |{{{x}}}_0 - {{{p}}}_0| \leq \overline{{{{x}}}} ,\; \ |{{{w}}}_k| \leq \overline{{{{w}}}} ,\; \ |{{{v}}}_k| \leq \overline{{{{v}}}} $$ (2)

                        其中, $ {{{p}}}_0 , \overline{{{{x}}}}\in{\bf R}^n $ , $ \overline{{{{w}}}}\in{\bf R}^r $ $ \overline{{{{v}}}}\in{\bf R}^l $ 均為已知的向量.

                        本文的目標是基于中心對稱多胞體表示的魯棒正不變集給出系統(1)中傳感器故障的區間估計結果, 即尋找到一個區間 $ [{{{f}}}_k^-, \ {{{f}}}_k^+] $ 使其滿足 $ {{{f}}}_k^- \leq {{{f}}}_k \leq {{{f}}}_k^+ $ , 其中 $ {{{f}}}_k^- $ $ {{{f}}}_k^+ $ 分別表示 $ {{{f}}}_k $ 的上界與下界. 為了實現這一目的, 本文需要用到如下的定義, 性質與引理.

                        定義 1[28]. 對于兩個集合 $ {{{X}}} $ $ {{{Y}}} $ , 它們的閔科夫斯基和運算定義為

                        $$ {{{X}}} \oplus {{{Y}}} = \left\{ x + y : x \in {{{X}}}, y \in {{{Y}}} \right\} $$ (3)

                        其中, $ \oplus $ 表示閔科夫斯基和運算符號.

                        定義 2[28]. 一個 $ s $ 階中心對稱多胞體 $ {\cal Z}\subset{\bf R}^n $ 是超立方體 ${B}^s = [-1, \ +1]^s$ 的仿射變換, 即

                        $$ {\cal Z} = {{{p}}} \oplus H { B}^s = \left\{ {{{p}}} + H { z}, { z} \in { B}^s \right\} $$ (4)

                        其中, 常向量 $ {{{p}}} \in{\bf R}^n $ 稱為 $ {\cal Z} $ 的中心, $ H\in{\bf R}^{n\times s} $ 稱為 $ {\cal Z} $ 的生成矩陣. 為了簡化符號, 用 $ {\cal Z} = \langle {{{p}}}, H \rangle $ 描述中心對稱多胞體 $ {\cal Z} $ .

                        定義 3[19]. 線性離散時間系統

                        $$ {{{x}}}_{k+1} = A{{{x}}}_k + B{{{w}}}_k $$ (5)

                        $ {{{x}}}_k \in \Omega $ $ {{{w}}}_k \in \Delta $ 時, 若 $ {{{x}}}_{k+1} = A{{{x}}}_k + B{{{w}}}_k \in \Omega $ 恒成立, 則 $ \Omega $ 稱之為系統(5)的一個魯棒正不變集. $ \Omega $ 為系統(5)的一個魯棒正不變集的定義可等價為

                        $$ A \Omega \oplus B \Delta \subseteq \Omega $$

                        其中, $ \Delta $ 為包含 $ {{{w}}}_k $ 的任意集合.

                        定義 4[18]. 對于給定的兩個向量 $x\in{\bf R}^{n}$ $ y\in {\bf R}^{n} , $ 若存在如下關系成立

                        $$ {{x}}(i)\leq{ y}(i),\;\;\;\;i=1,\cdots,\;n $$ (6)

                        則說明向量 ${{x}}\leq{ y}$ , 其中, ${{x}}(i)$ ${{y}}(i)$ 分別表示向量 ${{x}}$ ${{y}}$ 的第 i 個元素.

                        引理 1[29]. 對于如下矩陣 $ X\in{\bf R}^{a\times b}, Y\in {\bf R}^{b\times c} , $ $Z\in {\bf R}^{a\times c} .$ 如果 $ {\rm rank}(Y) = c $ , 則方程

                        $$ XY = Z $$ (7)

                        的通解為

                        $$ X = ZY^{\dagger} + S\left[I_b-YY^{\dagger}\right] $$ (8)

                        其中, $ S\in{\bf R}^{a\times b} $ 為任意矩陣.

                        引理 2[30]. 線性離散時間系統

                        $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{x}}}_{k+1} = A{{{x}}}_k + B{{{u}}}_k \\ {{{y}}}_k = C{{{x}}}_k + D{{{u}}}_k \end{array}} \right. $$

                        是穩定的并且其傳遞函數

                        $$ G(z) = C(zI-A)^{-1}B+D $$

                        滿足 $ \Vert G(z) \Vert _{\infty} < \gamma $ 的充分必要條件是存在一個對稱矩陣 $ P \succ 0 $ , 使得如下的矩陣不等式成立

                        $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A^{\rm{T}}}PA + {C^{\rm{T}}}C - P}& \star \\ {{B^{\rm{T}}}PA + {D^{\rm{T}}}C}&{{B^{\rm{T}}}PB + {D^{\rm{T}}}D - {\gamma ^2}I} \end{array}} \right] \prec 0 $$

                        引理 3[31]. 針對線性離散時間系統(5), 對矩陣 $ A $ 進行約當分解 $ A = UJU^{-1} $ 并考慮一個有界集合 $ \Delta, $ $ {{{w}}}_k $ 滿足對于任意的 $ {{{w}}}_k \in \Delta $ , $ |{{{w}}}_k| \leq \overline{{{{w}}}} $ 恒成立, 則具有如下的形式的集合

                        $$ \Xi = \lbrace {{{x}}}_k : | U^{-1}{{{x}}}_k| \leq (I - |J|)^{-1} |U^{-1}B| \overline{{{{w}}}} + {{{\theta}}} \rbrace $$

                        是系統(5)的一個魯棒正不變集, 其中, $ {{{\theta}}} $ 為任意小的元素全為正的向量.

                        性質 1[32]. 對于中心對稱多胞體 $ {\cal Z} = \langle {{{p}}}, H \rangle $ , 引入如下性質:

                        $$ \langle {{{p}}}_1, H_1 \rangle \oplus \langle {{{p}}}_2, H_2 \rangle \!= \!\langle {{{p}}}_1\!+\!{{{p}}}_2, [H_1 \quad H_2] \rangle \tag{9a}$$
                        $$ \Upsilon \odot \langle {{{p}}}, H \rangle = \langle \Upsilon {{{p}}}, \Upsilon H \rangle \tag{9b}$$
                        $$ \langle {{{p}}}, H \rangle \subseteq \langle {{{p}}}, Rs(H) \rangle \tag{9c}$$

                        其中, ${{{p}}},\; {{{p}}}_1, \;{{{p}}}_2\; \in {\bf R}^n, \;H, \;H_1, \;H_2\;\in {\bf R}^{n \times s},\; \odot$ 表示線性映射符號, $ \Upsilon \in {\bf R}^{l \times n} $ 為適當維數的矩陣, $ Rs(H) \in$ $ {\bf R}^{n \times n} $ 是對角矩陣, 其具體形式為

                        $$ Rs(H) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j = 1}^m | H(1,j)|}&{\; \cdots }&{\;0}\\ \vdots & \ddots &{\; \vdots }\\ 0& \cdots &{\;\sum\limits_{j = 1}^m | H(n,j)|} \end{array}} \right] $$

                        其中, $ |H(n, j)| $ 表示矩陣 $ H $ $ n $ 行第 $ j $ 列元素的絕對值.

                        性質 2[19]. 針對線性離散時間系統(5), 當其存在一個魯棒正不變集 $ \Xi $ $ {{{w}}}_k \in \Delta $ 恒成立時, 若令 $ {{{x}}}_0 \in \Xi_0 $ , $ \Xi_0 = \Xi $ , 并進行如下計算

                        $$ \Xi_{k+1} = A \odot \Xi_k \oplus B \odot \Delta $$

                        $ \Xi_{k+1} $ 也是系統(5)的一個魯棒正不變集, 且滿足 $ \Xi_{k+1} \subset \Xi_k $ .

                        為了估計故障 $ {{{f}}}_k $ , 將其視為增廣狀態, 可以得到如下的增廣狀態向量

                        $$ \bar{{{{x}}}}_k = \left[{{{x}}}^{{\rm T}}_k \quad {{{f}}}^{{\rm T}}_k\right]^{{\rm T}} $$ (10)

                        并構造出如下的增廣系統

                        $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} E\bar{{{{x}}}}_{k+1} = \bar{A}\bar{{{{x}}}}_k + \bar{B}{{{u}}}_k+\bar{D}_1{{{w}}}_k \\ {{{y}}}_k = \bar{C}\bar{{{{x}}}}_k+D_2{{{v}}}_k \end{array}} \right. $$ (11)

                        其中

                        $$ \begin{array}{l} E = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I&0\\ 0&0 \end{array}} \right],\;\bar A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A&0\\ 0&0 \end{array}} \right],\;\bar B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} B\\ 0 \end{array}} \right]\\ C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} C&F \end{array}} \right],\;{{\bar D}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}\\ 0 \end{array}} \right] \end{array} $$

                        顯然, 上述增廣過程并未采用任何的假設, 所以廣義系統(11)與原系統(1)完全等價. 因此, 若廣義系統(11)存在一個狀態觀測器, 則可估計出廣義系統(11)中的增廣狀態, 即實現對原始系統(1)中傳感器故障 $ {{{f}}}_k $ 的估計 $ \hat{{{{f}}}}_k $ .

                        針對系統(11)構造如下形式的狀態觀測器

                        $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\xi}}}_{k+1} = T\bar{A}\hat{\bar{{{{x}}}}}_k+T\bar{B}{{{u}}}_k+L({{{y}}}_k-\bar{C}\hat{\bar{{{{x}}}}}_k) \\\hat{\bar{{{{x}}}}}_k = {{{\xi}}}_k +N{{{y}}}_k \end{array}} \right. $$ (12)

                        其中, $ {{{\xi}}}_{k} \in {\bf R}^{n+s} $ 是狀態觀測器的狀態變量, $ \hat{\bar{{{{x}}}}}_k \in {\bf R}^{n+s} $ 是狀態估計向量. $ T\in{\bf R}^{(n+s)\times(n+s)} $ , $ N\in{\bf R}^{(n+s)\times p} $ $ L\in{\bf R}^{(n+s)\times p} $ 是待設計的參數矩陣, 且矩陣 $ T $ $ N $ 需滿足如下的等式約束:

                        $$ TE + N\bar{C} = I_{n+s} $$ (13)

                        注 1. 需要說明的是, 狀態觀測器(12)估計出的傳感器故障是點估計, 即 $ \hat{{{{f}}}}_k $ 是盡可能接近真實故障 $ {{{f}}}_k $ 的, 但其無法為故障提供一個估計區間 $ [{{{f}}}_k^-, \ {{{f}}}_k^+] $ . 為了實現故障的區間估計, 在設計狀態觀測器(12)得到故障的點估計 $ \hat{{{{f}}}}_k $ 后, 還需基于中心對稱多胞體表示的魯棒正不變集給出故障的區間估計結果.

                      • 本節介紹狀態觀測器(12)的設計方法, 具體的就是確定出狀態觀測器(12)中的未知參數矩陣 $ T $ , $ N $ $ L $ .

                        首先, 由式(1)和式(13)可得

                        $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\bar{{{{x}}}}_{k+1} = (TE + N\bar{C})\bar{{{{x}}}}_{k+1} = T\bar{A}\bar{{{{x}}}}_k+T\bar{B}{{{u}}}_k}+\\ N{{{y}}}_{k+1}+T\bar{D}_1{{{w}}}_k-ND_2{{{v}}}_{k+1} \end{array} $$ (14)

                        定義 $ {{{e}}}_k = \bar{{{{x}}}}_k-\hat{\bar{{{{x}}}}}_k $ , 則由式(12)和式(14)可得如下的誤差系統

                        $$ {{{e}}}_{k+1} = \left(T\bar{A}-L\bar{C}\right){{{e}}}_k+T\bar{D}_1{{{w}}}_k-LD_2{{{v}}}_k-ND_2{{{v}}}_{k+1} $$ (15)

                        為了簡化符號, 將式(15)寫成如下形式:

                        $$ {{{e}}}_{k+1} = {\widetilde{A}}{{{e}}}_k + {\widetilde{B}}{{{d}}}_k $$ (16)

                        其中

                        $$ {{{d}}}_k = \left[{{{w}}}^{{\rm T}}_k \quad {{{v}}}^{{\rm T}}_k \quad {{{v}}}^{{\rm T}}_{k+1}\right]^{{\rm T}} $$ (17)
                        $$ {\widetilde{A}}\! =\! T\bar{A}\!-\!L\bar{C}, \ {\widetilde{B}}\! =\! \left[\!T\bar{D}_1 \;\; \!-\!LD_2\;\; \!-\!ND_2\right]\! $$ (18)

                        基于所得到的誤差系統(16), 本文給出如下求解參數矩陣 $ T $ , $ N $ $ L $ 的定理.

                        定理 1. 對于給定的標量 $ \gamma > 0 $ , 如果存在一個對稱正定矩陣 $ P \in {\bf R}^{(n+s)\times (n+s)} $ , 一個矩陣 $ W \in {\bf R}^{(n+s)\times p} $ 和一個矩陣 $ Y \in {\bf R}^{(n+s)\times (n+s+p)} $ 使得如下不等式成立:

                        $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\!\!-P+I_{n+s} \!\!\!\!& \!\!\!\!\star & \!\!\!\!\star & \!\!\!\!\star & \star\\ 0 & -\gamma ^2I_r & \star & \star & \star\\ 0 & 0 & -\gamma^2I_l & \star & \star\\ 0 & 0 & 0 & -\gamma^2I_l & \star\\ \Omega_1 & \Omega_2 & \Omega_3 & \Omega_4 & -P \end{array}} \!\!\right]\!\! \prec 0 $$ (19)

                        則系統(16)是穩定的且其傳遞函數 $G_{{{{e}}}{{{d}}}}(z)\! = \! (zI_{n+s}\!-\! {\widetilde{A}})\!^{-1}$ $\!\times{\widetilde{B}}$ 滿足 $\! \Vert G_{{{{e}}}{{{d}}}}(z) \Vert _{\infty} \! < \! \gamma, \Omega_1 , \Omega_2 , \Omega_3$ $ \Omega_4 $ 的表達式為

                        $$ \begin{split} &\Omega_1 = P\Theta^{\dagger}\alpha_1\bar{A}+Y\Psi\alpha_1\bar{A}-W\bar{C}\\ &\Omega_2 = P\Theta^{\dagger}\alpha_1\bar{D}_1+Y\Psi\alpha_1\bar{D}_1 \\ &\Omega_3 = -WD_2 \\ & \Omega_4 = -P\Theta^{\dagger}\alpha_2D_2-Y\Psi\alpha_2D_2 \end{split} $$

                        其中, 矩陣 $ \Theta \in{\bf R}^{(n+s+p)\times(n+s)} $ , $ \Psi \in{\bf R}^{(n+s+p)\times (n+s+p)} $ , $ \alpha_1 \in $ $ {\bf R}^{(n+s+p)\times(n+s)} $ $ \alpha_2 \in{\bf R}^{(n+s+p)\times p} $ 分別為

                        $$ \begin{split} &\Theta = \left[\begin{array}{*{20}{c}} E\\ {\bar C} \end{array}\right],\;\;\;\;\;\;\Psi = {I_{n + s + p}} - \Theta {\Theta ^{\dagger} }\\ & {\alpha _1} = \left[\begin{array}{*{20}{c}} I_{n + s}\\ 0\end{array}\right],\;\;{\alpha_2} = \left[ \begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {I_p} \end{array}\right]\end{split} $$ (20)

                        如果式(19)中的線性矩陣不等式可解的話, 則矩陣 $ T $ , $ N $ $ L $ 可由下列等式求得

                        $$ T = \Theta^{\dagger}\alpha_1+P^{-1}Y\Psi\alpha_1 $$ (21)
                        $$ N = \Theta^{\dagger}\alpha_2+P^{-1}Y\Psi\alpha_2 $$ (22)
                        $$ L = P^{-1}W $$ (23)

                        證明. 注意到式(13)可以改寫為

                        $$ [T\;N]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} E\\ {\bar C} \end{array}} \right] = {I_{n + s}} $$ (24)

                        同時, 廣義系統(11)中的 $ E $ $ \bar{C} $ 滿足

                        $$ {\rm{rank}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} E\\ {\;\bar C} \end{array}} \right] = {\rm{rank}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_n}}&0\\ 0&0\\ C&F \end{array}} \right] = n + s $$ (25)

                        則根據引理1可得矩陣 $ T $ $ N $ 的通解為

                        $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {T = {\Theta ^{\dagger} }{\alpha _1} + S\Psi {\alpha _1}}\\ {N = {\Theta ^{\dagger} }{\alpha _2} + S\Psi {\alpha _2}} \end{array}} \right. $$ (26)

                        其中, $ S \in {\bf R}^{(n+s)\times(n+s+p)} $ 是可任意選取的矩陣, 矩陣 $ \Theta $ , $ \Psi $ , $ \alpha_1 $ $ \alpha_2 $ 的表達式如式(20)所示.

                        由引理2可知, 對于給定的標量 $ \gamma > 0 $ , 當存在一個對稱正定矩陣 $ P $ 使得如下不等式成立

                        $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\widetilde{A}}P{\widetilde{A}}^{{\rm T}}-P+I_{n+s}} & {\star}\\ {{\widetilde{B}}^{{\rm T}}P{\widetilde{A}}} & {{\widetilde{B}}^{{\rm T}}P{\widetilde{B}}-\gamma^2I_{r+2l}} \end{array}} \right] \prec 0 $$ (27)

                        則系統(16)是穩定的且滿足 $\Vert G_{{{{e}}}{{{d}}}}(z) \Vert _{\infty} < \gamma$ .

                        式(27)可以改寫為

                        $$ \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}I_{n+s} - P & \star \\ 0 & -\gamma^2I_{r+2l} \end{array}}\!\! \right]\!\! +\! \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\widetilde{A}}^{{\rm T}} \\ {\widetilde{B}}^{{\rm T}} \end{array}}\!\! \right]\!\! P \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\widetilde{A}} & {\widetilde{B}}\!\! \end{array}} \right]\!\!\prec 0 $$ (28)

                        注意到式(28)不是一個標準的線性矩陣不等式, 因此采用Schur補引理可將式(28)改寫為

                        $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}-P+I_{n+s} & \star & \star\\ 0 & -\gamma^2I_{r+2l} & \star\\ P{\widetilde{A}} & P{\widetilde{B}} & -P \end{array}} \right] \prec 0 $$ (29)

                        將式(18)和式(26)代入到式(29)中可得

                        $$\begin{align} & \left[\begin{array}{*{35}{l}} \quad\qquad\; -P\!+\!I_{n\!+\!s} &\! \qquad\qquad\; \star \\ \qquad\qquad\quad\; 0 &\! \quad\qquad\; -\gamma^2I_r \\ \qquad\qquad\quad\; 0 &\! \qquad\quad\quad\; 0 \\ P\Theta^{\dagger}\alpha_1\bar{A}\!+\!PS\Psi\alpha_1\bar{A}\!\!-\!\!PL\bar{C} & \!P\Theta^{\dagger}\alpha_1\bar{D}_1\!+\!PS\Psi\alpha_1\bar{D}_1 \end{array} \right. \\ & \left.\; \begin{array}{*{35}{l}} \quad\qquad \star & \qquad\qquad\quad \star & \;\;\star \\ \quad\qquad \star &\qquad\qquad\quad \star & \;\;\star \\ \quad\qquad 0 &\qquad\qquad\; -\gamma^2I_l & \;\;\star \\ \quad -PLD_2 & -P\Theta^{\dagger}\alpha_2D_2-PS\Psi\alpha_2D_2 & -P \end{array} \right]\; \prec 0 \end{align}$$ (30)

                        $ W = PL $ $ Y = PS $ , 即可得到式(19).

                        因此, 當線性矩陣不等式(19)成立時, 所設計的狀態觀測器(12)是穩定的且滿足 $\Vert G_{{{{e}}}{{{d}}}}(z) \Vert _{\infty} < \gamma$ . 當式(19)有解時, 則矩陣 $ L $ 可由式(23)求得, 矩陣 $ S $ 可由下列等式求得

                        $$ S = P^{-1}Y $$ (31)

                        將式(31)代入式(26)中, 由此可得式(21)和式(22).□

                        至此, 已經確定出所有的待設計得參數矩陣, 完成了針對廣義系統(11)的狀態觀測器設計.

                      • 本節介紹基于中心對稱多胞體表示的魯棒正不變集給出系統(1)中傳感器故障的區間估計的方法.

                        根據 $ {{{e}}}_k $ 的定義易得

                        $$ \bar{{{{x}}}}_k = \hat{\bar{{{{x}}}}}_k + {{{e}}}_k $$ (32)

                        其中, $ \hat{\bar{{{{x}}}}}_k $ 由式(12)中的狀態觀測器給出. 因此, 可以將 $ \bar{{{{x}}}}_k $ 區間估計轉換為誤差的 $ {{{e}}}_k $ 區間估計, 只要得到了誤差 $ {{{e}}}_k $ 的區間估計就可以得到系統狀態 $ \bar{{{{x}}}}_k $ 的區間估計.

                        根據式(2)和定義1, 可以得到

                        $$ {{{w}}}_k \in {\cal W} = \langle 0, W \rangle , \ {{{v}}}_k \in {\cal V} = \langle 0, V \rangle $$

                        其中, $ {\cal W} $ $ {\cal V} $ 為分別包含 $ {{{w}}}_k $ $ {{{v}}}_k $ 的中心對稱多胞體, $ W = $ ${\rm diag}\{\overline{{{{w}}}}\}$ , $V = {\rm diag}\{\overline{{{{v}}}}\}$ .

                        實際中的系統故障一般都是有界的, 即存在 $ |{{{f}}}_0 - {{{p}}}_f| \leq \overline{{{{f}}}} $ . 因此, 當假設 $ |{{{x}}}_0 - {{{p}}}_0| \leq \overline{{{{x}}}} $ 時, 則可得

                        $$ \left \vert \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}}_0 \\ {{{f}}}_0 \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{p}}}_0 \\ {{{p}}}_f \end{array}} \right] \right \vert \leq \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \overline{{{{x}}}} \\ \overline{{{{f}}}} \end{array}} \right] $$

                        由此, 根據定義2可知, $ \bar{{{{x}}}}_0 \in \bar{{\cal X}}_0 = \langle \bar{{{{p}}}}_0, \bar{H}_0 \rangle $ , 其中, $ \bar{{{{p}}}}_0 = [ {{{p}}}_0^{{\rm T}} \quad {{{p}}}_f^{{\rm T}}]^{{\rm T}} $ , $\bar{H}_0 = {\rm diag}\{[\overline{{{{x}}}}^{{\rm T}} \quad \overline{{{{f}}}}^{{\rm T}}]^{{\rm T}}\}$ .

                        選取 $ \hat{\bar{{{{x}}}}}_0 = \bar{{{{p}}}}_0 $ , 則可得 $ \bar{{{{x}}}}_0 \in \bar{{\cal X}}_0 = \langle \hat{\bar{{{{x}}}}}_0, \bar{H}_0 \rangle $ . 再由式(32)和中心對稱多胞體的性質(9a), 可得

                        $$ {{{e}}}_0 \in {\cal E}_0 = \langle \hat{\bar{{{{x}}}}}_0, \bar{H}_0 \rangle \oplus -\hat{\bar{{{{x}}}}}_0 = \langle 0, \bar{H}_0 \rangle $$

                        將式(15)進行迭代計算, 可得

                        $$\begin{split} {{{e}}}_k = \,& (T\bar{A}-L\bar{C})^k{{{e}}}_0 + { \sum \limits_{i = 0}^{k-1}}(T\bar{A}-L\bar{C})^i T\bar{D}_1{{{w}}}_{k-1-i} -\\ &{ \sum \limits_{i = 0}^{k-1}}(T\bar{A}\!\!-\!\!L\bar{C})^i LD_2{{{v}}}_{k\!-\!1\!-\!i} \!\!-\!\! { \sum \limits_{i = 0}^{k-1}}(T\bar{A}\!\!-\!\!L\bar{C})^i \!ND_2{{{v}}}_{k\!-\!i} \end{split} $$

                        注意到 $ w_k \in \langle 0, W \rangle $ , $ v_k \in \langle 0, V \rangle $ $ e_0 \in \langle 0, \bar{H}_0 \rangle $ , 則可得

                        $$ {{{e}}}_k \in {\cal E}_k = \langle 0, \bar{H}_k \rangle $$

                        由式(15)可知, $ {{{e}}}_{k+1} \in {\cal E}_{k+1} = \langle 0, \bar{H}_{k+1} \rangle $ $ {\cal E}_{k+1} $ 可被更新為

                        $$ \begin{split} {\cal E}_{k+1} = &\;\langle 0, \bar{H}_{k+1} \rangle =(T\bar{A}\!-\!L\bar{C})\! \odot\! \hat{{\cal E}}_k \;\oplus\! \\ & T\bar{D}_1 \!\odot\! {\cal W} \!\oplus\! LD_2\odot {\cal V} \!\oplus\! ND_2 \!\odot\! {\cal V} \end{split} $$

                        根據中心對稱多胞體的性質(9a)與(9b), 可得

                        $$ \bar{H}_{k+1}\! = \![(T\bar{A}\!-\!L\bar{C})\bar{H}_k \ \ T\bar{D}_1W \ \ \!-\!LD_2V \ \ -ND_2V] $$ (33)

                        最后, 由中心對稱多胞體的性質(9c)可求得一個能夠包含中心對稱多胞體的區間盒子, 因此可得增廣狀態向量 $ \bar{{{{e}}}}_k $ 的上界 $ \bar{{{{e}}}}_k^+ $ 和下界 $ \bar{{{{e}}}}_k^- $ 的表達式為

                        $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{e}}}_k^+(i) = \ \ { \sum \limits_{j = 1}^{s}}|\bar{H}_k(i, j)|, \;\;\ i = 1, \cdots , n+s\\ {{{e}}}_k^-(i) = - { \sum\limits_{j = 1}^{s}}|\bar{H}_k(i, j)|, \;\;\ i = 1, \cdots , n+s \end{array}} \right. $$

                        其中, $ |\bar{H}_k(i, j)| $ 表示矩陣 $ \bar{H}_k $ $ i $ 行第 $ j $ 列的元素的絕對值.

                        現在我們可以通過上述運算得到誤差 $ {{{e}}}_k $ 的區間估計, 但是從式(33)中易知, 隨著 $ k $ 值得不斷增大, 中心對稱多胞體 $ {\cal E}_k $ 的生成矩陣 $ \bar{H}_k $ 的階數會不斷增加, 由此就會造成估計 $ {{{e}}}_k $ 區間所需要的計算量不斷增加, 帶來巨大的計算成本甚至最終無法計算, 所以有必要找到一種降低區間估計計算量的方法, 為此本文給出如下定理.

                        定理 2. 對于誤差系統(16), 當其滿足 $ {{{e}}}_0 \in {\cal E}_0 = \langle 0, \bar{H}_0 \rangle $ $ {\cal E}_0 $ 為系統(16)的一個魯棒正不變集, 則任意 $ k $ 時刻的誤差變量 $ {{{e}}}_k $ 屬于如下的集合

                        $$ { e}_k \in \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cal E}_{k} = \langle 0,\bar{H}_k \rangle, & \, k \leq k^* \\ {B}^n_p(\epsilon) \oplus \Omega_{\infty}, & \ k > k^* \end{array}} \right. $$

                        其中, $ \bar{H}_k $ 滿足式(33)中的遞推形式, $ \epsilon>0 $ 為任意的正常數, ${ B}^n_p(\epsilon) = \lbrace {{{e}}}_{k^*} \in {\bf R}^n : \| {{{e}}}_{k^*} \|_p \leq \epsilon \rbrace$ , $ \| {{{e}}}_{k^*} \|_p $ 表示向量 $ {{{e}}}_{k^*} $ $ p $ 范數, $ \Omega_{\infty} $ 為一個中心對稱多胞體, $ k^* \in {\bf N}^+ $ 為一個正整數. $ \Omega_{\infty} $ 的具體形式和 $ k^* $ 的約束條件為

                        $$ \Omega_{\infty} = \lim\limits_{k \to \infty} { \sum \limits_{i = 1}^{k}{\widetilde{A}}^{i-1}{\widetilde{B}} \odot {\cal D}}, \ k^* \geq \dfrac{{\rm ln}(\frac{\epsilon}{\| {\cal E}_0 \|})}{{\rm ln}(\alpha)}, \ k^* \in {\bf N}^+ $$

                        其中, $ {{{d}}}_k \in {\cal D} = \langle 0, D \rangle $ , $D = {\rm diag}\{W, V , V\}$ , $ \| {\cal E}_0 \| $ 表示中心對稱多胞體 $ {\cal E}_0 $ 邊界與其中心之間的最大距離, $ 0 < \alpha <1 $ 為一個常數且需滿足下列不等式

                        $$ {\widetilde{A}} ^{{\rm T}} P{\widetilde{A}} - \alpha^2P < 0 $$

                        其中, $ P $ 為由線性矩陣不等式(19)求得的 $ P $ .

                        證明. 首先, 由 $ {{{d}}}_k = [{{{w}}}^{{\rm T}}_k \quad {{{v}}}^{{\rm T}}_k \quad {{{v}}}^{{\rm T}}_{k+1}]^{{\rm T}} $ , 同時根據式(2)和定義1, 可得

                        $$ {{{d}}}_k \in {\cal D} = \langle 0, D \rangle,\; \ |{{{d}}}_k| \leq \overline{{{{d}}}} $$

                        其中, $ {\cal D} $ 為包含 $ {{{d}}}_k $ 的中心對稱多胞體, $D = {\rm diag}\{\overline{{{{d}}}}\}, \ \overline{{{{d}}}} =$ $[\overline{{{{w}}}}^{{\rm T}} \quad \overline{{{{v}}}}^{{\rm T}} \quad \overline{{{{v}}}}^{{\rm T}}]^{{\rm T}}.$

                        根據引理2可知, 誤差系統(16)的存在一個如下形式的魯棒正不變集

                        $$ \widetilde{\Xi} = \lbrace {{{e}}}_k : | \widetilde{U}^{-1}{{{e}}}_k| \leq (I - |\widetilde{J}|)^{-1} |\widetilde{U}^{-1} {\widetilde{B}}| \overline{{{{d}}}} + \widetilde{{{{\theta}}}} \rbrace $$ (34)

                        其中, $ \widetilde{U} $ $ {\widetilde{A}} $ 的約當分解矩陣, 滿足 $ {\widetilde{A}} = \widetilde{U}\widetilde{J}\widetilde{U}^{-1} $ , $ \widetilde{{{{\theta}}}} $ 為任意小的元素全為正數的向量.

                        $ \Lambda = (I - |\widetilde{J}|)^{-1} |\widetilde{U}^{-1} {\widetilde{B}}| \overline{{{{d}}}} + \widetilde{{{{\theta}}}}, $ 則式(34)可改寫為

                        $$ \begin{split} &| \widetilde{U}^{-1}{{{e}}}_k | \leq \Lambda \Rightarrow -\Lambda \leq \widetilde{U}^{-1}{{{e}}}_k \leq \Lambda\Rightarrow \\ &\qquad -\widetilde{U}\Lambda \leq {{{e}}}_k \leq \widetilde{U}\Lambda \Rightarrow | {{{e}}}_k | \leq \widetilde{U}\Lambda \end{split}$$ (35)

                        根據定義1和式(35)可知, 魯棒正不變集 $ \widetilde{\Xi} $ 可以等價為一個中心對稱多胞體:

                        $$ \Xi = {\cal E} = \langle 0, \bar{H} \rangle, \ \bar{H} = {\rm diag}\{\widetilde{U}\Lambda\} $$

                        $ {{{e}}}_0 \in {\cal E}_0 = \langle 0, \bar{H}_0 \rangle = {\cal E} = \langle 0, \bar{H} \rangle $ , 由式(16)可得

                        $$ {{{e}}}_{k+1} \in {\cal E}_{k+1} = \langle 0, \bar{H}_{k+1} \rangle = {\widetilde{A}} \odot {\cal E}_k \oplus {\widetilde{B}} \odot {\cal D} $$ (36)

                        根據中心對稱多胞體的性質(9a), (9b)和式(18), 可得

                        $$ \bar{H}_{k+1} = [(T\bar{A}-L\bar{C})\bar{H}_k \ \ T\bar{D}_1W \ \ -LD_2V \ \ -ND_2V] $$

                        通過迭代可將式(36)寫為

                        $$ {\cal E}_k = {\widetilde{A}}^k \odot {\cal E}_0 \oplus { \sum \limits_{i = 1}^{k}{\widetilde{A}}^{i-1}{\widetilde{B}} \odot {\cal D}} $$

                        $ \Omega_k = { \sum \nolimits_{i = 1}^{k}{\widetilde{A}}^{i-1}{\widetilde{B}} \odot {\cal D}} $ , 則可得

                        $$ \begin{split}\Omega_{\infty} = \,&\lim\limits_{k \to \infty} \Omega_k = { \sum \limits_{i = 1}^{\infty}{\widetilde{A}}^{i-1}{\widetilde{B}} \odot {\cal D}}=\\ & ( { \sum \limits_{i = k+1}^{\infty}{\widetilde{A}}^{i-1}{\widetilde{B}} \odot {\cal D}} ) \oplus \Omega_k \end{split}$$ (37)

                        由式(37)可得

                        $$ \Omega_k \subset \Omega_{\infty} \Rightarrow {\cal E}_k = {\widetilde{A}}^k \odot {\cal E}_0 \oplus \Omega_k \subset {\widetilde{A}}^k \odot {\cal E}_0 \oplus \Omega_{\infty} $$

                        因為誤差系統(15)是穩定的, 故有 $ {\rm eig}({\widetilde{A}}) < 1 $ , 則可得

                        $$ \begin{array}{l} \lim\limits_{k \to \infty} {\widetilde{A}}^k \odot {\cal E}_0 = 0 \Rightarrow \exists \ k^* \in {\bf N}^+, {\widetilde{A}}^{k^*} \odot {\cal E}_0 \subseteq { B}^n_p(\epsilon)\Rightarrow \\ \;\;\;\;\;\;\;\; \exists \ k^* \in {\bf N}^+, {\cal E}_{k^*} \subseteq { B}^n_p(\epsilon) \oplus \Omega_{\infty} \end{array}$$

                        根據性質2可知, 下列從屬關系成立:

                        $$ {\cal E}_{k+1} \subset {\cal E}_k \subset \cdots \subset {\cal E}_1 \subset {\cal E}_0 $$

                        則當 $ k > k^* $ 時, 有 ${{{e}}}_k \in {\cal E}_{k} \subseteq {B}^n_p(\epsilon) \oplus \Omega_{\infty}$ 恒成立, 故當 $ k > k^* $ 時可使用集合 ${ B}^n_p(\epsilon) \oplus \Omega_{\infty}$ 來表示中心對稱對稱胞體 $ {\cal E}_{k} $ , 而不需要直接計算 $ {\cal E}_{k} $ , 從而可解決估計 $ {{{e}}}_k $ 過程中中心對稱多胞體階數增長帶來的高計算量問題, 所提出的方法可寫為

                        $$ {{{e}}}_k \in \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cal E}_{k} = \langle 0, \bar{H}_k \rangle, & \, k \leq k^* \\ { B}^n_p(\epsilon) \oplus \Omega_{\infty}, & \ k > k^* \end{array}} \right. $$

                        其中, $ \bar{H}_k $ 滿足式(33)中的遞推形式.

                        至此, 已經證明了定理2中 $ {{{e}}_k} $ 的集合取值問題, 現在開始證明 $ k^* $ 的取值約束條件. 因為 $ {\widetilde{A}}^{k^*} \odot {\cal E}_0 $ 的邊界不易描述, 使得尋找 $ k^* $ 的取值范圍很困難, 因此考慮選取參數 $ \alpha $ 使得下式成立

                        $$ {\widetilde{A}}^{k^*} \odot {\cal E}_0 \subseteq \alpha^{k^*}{\cal E}_0 \subseteq { B}^n_p(\epsilon) $$ (38)

                        其中, $ \alpha $ 為一個常數且需滿足下列不等式

                        $$ {\widetilde{A}} ^{{\rm T}} P{\widetilde{A}} - \alpha^2P < 0,\; 0 < \alpha <1 $$ (39)

                        易知, 滿足式(39)條件的 $ \alpha $ 能夠保證 $ {\widetilde{A}}^{k^*} \odot {\cal E}_0 \subseteq \alpha^{k^*}{\cal E}_0 $ 恒成立. 同時, $\alpha^{k^*}{\cal E}_0 \subseteq { B}^n_p(\epsilon)$ 成立的一個充分條件是 $ \alpha^{k^*}\| {\cal E}_0 \| $ $ \leq \epsilon $ , 則由此可求得 $ k^* $ 的取值范圍為

                        $$ k^* \geq \dfrac{{\rm ln}(\frac{\epsilon}{\| {\cal E}_0 \|})}{{\rm ln}(\alpha)}, \;\;\ k^* \in {\bf N}^+ $$ (40)

                        式(40)即為 $ k^* $ 的約束條件. □

                        因此可得誤差向量 $ {{{e}}}_k $ 的上界 $ {{{e}}}_k^+ $ 和下界 $ {{{e}}}_k^- $ 的表達式為

                        $$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l}\!\!\!\!\!\!\!{{{e}}}_k^+(i) \!=\! \ \ { \sum \limits_{j = 1}^{s}}|\bar{H}_k(i, j)|, \;\; \;i\! =\! 1, \cdots , n+s,\\ \!\!\!\!\!\!\! {{{e}}}_k^-(i) \!=\! - { \sum\limits_{j = 1}^{s}}|\bar{H}_k(i, j)|, \;\; i\! =\! 1, \cdots , n+s, \end{array}& k \leq k^* \end{array}} \right. \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l}\!\!\!\!\!\!\!{{{e}}}_k^+(i) \!= \!\ \ { \sum \limits_{j = 1}^{s}}|\Omega_{\infty}(i, j)| + \epsilon, \;\; \;i \!=\! 1, \cdots , n+s,\\ \!\!\!\!\!\!\! {{{e}}}_k^-(i) \!=\! - { \sum\limits_{j = 1}^{s}}|\Omega_{\infty}(i, j)| - \epsilon, \;\; i \!=\! 1, \cdots , n+s, \end{array}&\!\!\! \!\!\! k > k^* \end{array}} \right. \end{array}$$

                        其中, $ |\bar{H}_k(i, j)| $ $ |\Omega_{\infty}(i, j)| $ 表示矩陣 $ \bar{H}_k $ $ \Omega_{\infty} $ $ i $ 行第 $ j $ 列的元素的絕對值.

                        根據式(32), 可得增廣狀態向量 $ \bar{{{{x}}}}_k $ 的上界 $ \bar{{{{x}}}}_k^+ $ 和下界 $ \bar{{{{x}}}}_k^- $ 的表達式為

                        $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\bar{{{{x}}}}_k^+(i) = \hat{\bar{{{x}}}}_k(i) + {{{e}}}_k^+(i), \;\; i = 1, \cdots , n+s\\ \bar{{{{x}}}}_k^-(i) = \hat{\bar{{{x}}}}_k(i) + {{{e}}}_k^-(i), \;\; i = 1, \cdots , n+s \end{array}} \right. $$

                        最后, 由式(10)可得系統(1)中的傳感器故障 $ {{{f}}}_k $ 的上界 $ {{{f}}}_k^+ $ 和下界 $ {{{f}}}_k^- $ 的表達式為

                        $$ {{{f}}}_k^+ = \beta \bar{{{{x}}}}_k^+ , \ {{{f}}}_k^- = \beta \bar{{{{x}}}}_k^- $$

                        其中, $ \beta = [0 \quad I_s] $ , $ s $ $ \bar{H}_k $ 的列數

                      • 本節通過文獻[33]中的一個垂直起降(Vertical take-off and lending, VTOL)飛行器線性化模型來驗證所提出方法的有效性和優越性, 該模型的狀態空間表達式為

                        $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \dot{{{{x}}}}(t) = A_t{{{x}}}(t) + B_t{{{u}}}(t)+D_{1t}{{{w}}}(t) \\ {{{y}}}(t) = C_t{{{x}}}(t)+D_{2t}{{{v}}}(t) \end{array}} \right. $$ (41)

                        其中, 狀態變量 $ {{{x}}}(t) = [V_h(t) \quad V_v(t) \quad q \quad \theta]^{{\rm T}} $ , 各分量分別為水平速度、垂直速度、俯仰角速率、俯仰角; 輸入量 $ u(t) = $ $ [\delta_c \quad \delta_l]^{{\rm T}} $ , 各分量分別為總槳距和縱向周期槳距. 仿真采樣周期設為 $ dt = 0.1 \;{\rm s} $ , 對系統(41)利用歐拉一步法進行離散化并考慮傳感器加性故障后得到如式(1)形式的離散系統, 相關的參數矩陣為

                        $$ \begin{array}{l} A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0.00523 &\;-0.07476 & 0.02632 &\quad 0.50337 \\5.21659 & \quad 1.27452 & 0.55532 &\; -2.44221 \\ 2.60922 &\quad 0.26361 & 0.58025 &\; -1.92774 \\0 & 0 & 0.1 & 1 \end{array}} \right] \\ B = \left[ \!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} \quad0.04422 \!\! & \!\!\quad 0.01761 \\\quad0.35446 \!\!&\!\! \;-0.75922 \\\;-0.55200 \!\!&\!\! \quad0.44900 \\0 & 0 \end{array}}\!\! \right] ,\;\; C\! =\! \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 & 1 \end{array}}\!\! \right] \\ D_1 \!=\! \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 \\0 & 0.1 \\0.1 & 0 \\0 & 0 \end{array}} \!\!\right], D_2 \!=\! \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0.2 \\0 & 0.1 \\0.3 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}} \!\!\right], F \!=\! \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1.2 \\1.5 \\1.2 \\ 1.5 \end{array}}\!\! \right] \end{array} $$

                        則可得廣義系統(11)的矩陣參數為

                        $$ \begin{array}{l} \bar{A} \!=\! \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 0.00523 \!&\! \;-0.07476 \!&\! 0.02632 \!&\!\quad 0.50337 \!&\! 0 \\5.21659 \!&\!\quad 1.27452 \!&\! 0.55532 \!&\! \;-2.44221 \!&\! 0 \\2.60922 \!&\! \quad0.26361 \!&\! 0.58025 \!&\!\; -1.92774 \!&\! 0 \\0 \!&\! 0 \!&\! 0.1 \!&\! 1 \!&\! 0 \\ 0 \!& \! 0 \! &\! 0 \! &\! 0 \!&\! 0 \end{array}} \!\!\right]\\ \bar{B} \!=\! \left[ \!\!{\begin{array}{*{20}{c}} \quad 0.04422 \!&\! \quad0.01761 \\\quad0.35446 \!&\! \;-0.75922 \\ \;-0.55200 \!&\!\quad0.44900 \\0 \!&\! 0 \\0 \!&\! 0 \end{array}}\!\! \right], \bar{D}_1 \!=\! \left[ \!\!{\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 \\0 & 0.1 \\0.1 & 0 \\0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}} \!\!\right] \\ \bar{C} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 & 0 & 1.2 \\0 & 1 & 0 & 0 & 1.5 \\0 & 0 & 1 & 0 & 1.2 \\0 & 1 & 1 & 1 & 1.5 \end{array}} \right], \;\;D_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0.2 \\ 0 & 0.1 \\ 0.3 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}} \right] \end{array}$$

                        選取 $ \gamma = 1.0 $ , 則求解式(19)可以得到矩陣 $ T $ , $ N $ $ L $ 分別為

                        $$ \begin{array}{l} T\! =\! \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} \quad0.8586 & \quad 0.0298 & \quad 0.0218 & \;-0.0823 & 0 \\\quad 0.8745 & \quad0.0911 & \;-0.1136 & \;-0.3753 & 0 \\ \quad0.4506 & \;-0.2306 & \quad 0.4179 &\; -0.4197 & 0 \\ \;-0.2335 & \quad 0.0540 & \;-0.0015 & \quad0.8325 & 0 \\\;-0.6603 & \quad 0.0253 & \;-0.1153 & \quad0.0894 & 0 \end{array}} \!\!\!\right] \\ N = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \quad0.1414 & \;-0.1121 & \;-0.1042 & \quad0.0823 \\ \;-0.8745 & \quad 0.5337 & \;-0.2617 & \quad0.3753 \\ \;-0.4506 & \;-0.1891 & \quad 0.1623 &\quad 0.4197 \\ \quad0.2335 &\; -0.2215 & \;-0.1660 & \quad 0.1675 \\ \quad0.6603 & \quad 0.0641 & \quad 0.2047 &\; -0.0894 \end{array}} \right] \\ L = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \quad0.1773 &\; -0.2460 & \; -0.0991 & \quad 0.1934 \\ \quad0.1177 & \;-0.0843 & \;-0.0713 & \quad0.0609 \\\; -0.0741 & \quad 0.1328 & \quad 0.2464 & \;-0.2956 \\ \quad0.2330 & \;-0.4344 & \;-0.2342 &\quad 0.4613 \\\; -0.1321 & \quad0.1689 & \quad 0.0278 & \;-0.0924 \end{array}} \right] \end{array} $$

                        選取 $ \widetilde{{{{\theta}}}} = 10^{-5}[1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1]^{{\rm T}}, \ \epsilon = 0.0001 ,$ 通過求解式(39)和式(40), 可得 $\alpha = 0.4767 , \ k^* \geq 9 , \ k^* \in {\bf N}^+$ . 在本文中取輸入向量 ${{u}}_k = [2{\rm sin}(k) \quad {3{\rm sin}(k)]^{\rm{T}}},$ 設系統所受干擾和噪聲滿足 $|{{w}}_k| \leq [0.5 \quad 0.5]^{{\rm T}}$ $|{{v}}_k| \leq [0.01 \quad 0.01]^{{\rm T}},$ 取系統的初始狀態向量為 ${{x}}_0 =[ 0.2 \quad 0.2 \quad 0.2 \quad 0.2]^{{\rm T}}.$ 假設系統傳感器故障 $ f_k $ 的形式為

                        $$ {f_k} = \left\{ \begin{split} & 0, \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{0 \le k < 40}\\ &{0.5(0.1k - 4)},\;\;{40 \le k < 80}\\ & 2,\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {80 \le k \le 100} \end{split} \right. $$

                        區間估計的仿真結果如圖1所示. 仿真結果表明本文提出的方法能夠在系統傳感器發生故障時, 快速地對故障做出一個較為精確的區間估計.

                        圖  1  垂直起降飛行器線性化模型的傳感器故障及其區間估計結果

                        Figure 1.  Sensor fault and its interval estimation results of the VTOL aircraft linear model

                        需要說明的是, 本文提出的方法除了可以得到故障的區間估計, 也可以得到較為準確的故障點估計. 為了說明本文所提方法的優越性, 我們將所提方法與文獻[34]中提出的故障點估計方法進行對比. 為了更直觀的顯示比較結果, 我們采用故障估計的誤差信息來進行仿真, 故障估計誤差定義為

                        $$ r_k = |\hat{f}_k - f_k| $$

                        $ r_{k1} $ 為本文方法得到的故障估計值與實際值之間的誤差, $ r_{k2} $ 為文獻[34]中方法得到的故障估計值與實際值之間的誤差, 由此可以得到如圖2所示的仿真結果, 仿真結果表明本文提出的方法相較于文獻[34]中的方法能夠在系統傳感器發生故障時, 給出更加精確的點估計結果.

                        圖  2  傳感器故障估計誤差對比結果

                        Figure 2.  Sensor fault estimation error comparison result

                      • 本文針對具有傳感器故障的和未知擾動與測量噪聲的線性離散系統, 提出了一種新的傳感器故障區間估計方法. 通過將傳感器故障視為增廣狀態, 將原始系統轉換為一個不受傳感器故障影響的等效廣義系統. 基于有界實引理設計了魯棒狀態觀測器用于得到故障的近似估計同時抑制系統受到的干擾和噪聲, 并且將狀態觀測器的設計問題轉化為易于求解的線性矩陣不等式形式. 基于設計出的狀態觀測器, 使用中心對稱多胞體來對傳感器故障進行區間估計. 同時, 利用魯棒正不變集給出了一種降低中心對稱多胞體區間估計過程中的計算量的可行方法. 最后, 通過一個垂直起降飛行器線性化模型的仿真算例來驗證所提出方法的有效性. 同時, 目前針對非線性系統故障區間估計的研究成果并不多, 但本文中所提出線性系統故障區間估計的方法可以通過線性變參數模型近似的方式推廣到非線性系統, 這將是我們下一步的研究工作.

                    參考文獻 (34)

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