2.793

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                    SEAs導納控制的μ綜合方法

                    李思奇 黃遠燦

                    李思奇, 黃遠燦. SEAs導納控制的 μ綜合方法. 自動化學報, 2019, 45(x): 1?9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
                    引用本文: 李思奇, 黃遠燦. SEAs導納控制的 μ 綜合方法. 自動化學報, 2019, 45(x): 1?9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
                    Li Si-Qi, Huang Yuan-Can. μ-Synthesis for admittance control of SEAs. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1?9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
                    Citation: Li Si-Qi, Huang Yuan-Can. μ-Synthesis for admittance control of SEAs. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1?9. doi: 10.16383/j.aas.c180576

                    SEAs導納控制的μ綜合方法


                    DOI: 10.16383/j.aas.c180576
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      北京理工大學機電學院博士研究生. 2011年獲得太原科技大學機械工程碩士學位. 主要研究方向為電路設計, 魯棒控制, 人 ? 機交互控制. E-mail: rxjrlsq@163.com

                      北京理工大學機電學院副教授. 主要研究方向為柔性機器人, 阻抗控制和非線性系統控制. 本文通信作者. E-mail: yuancanhuang@bit.edu.cn

                    • 基金項目:  國家自然科學基金(61773065, 61075080), 哈爾濱工業大學機器人與系統國家重點實驗室開放式基金(SKLRS-2017-KF-05)資助

                    μ-Synthesis for Admittance Control of SEAs

                    More Information
                    • Fund Project:  Supported by National Natural Science Foundation of China (61773065, 61075080), State Key Laboratory of Robotics and System, Harbing Institute of Technology (SKLRS-2017-KF-05)
                    • 摘要: SEAs具有在確保機器人性能的基礎上兼顧其安全性的特點, 因此被廣泛地應用在康復機器人中. 為實現良好的康復訓練效果, 機器人需根據實際要求呈現不同的阻抗特性. 本文采用μ綜合技術解決了SEAs導納控制器的設計問題. 首先, 考慮參數攝動, 傳感器噪聲, 輸入干擾及控制輸入限制等不確定性因素, 建立SEAs模型. 其次, 應用混合穩定性原理分析系統的交互穩定性. 由于無源環境的阻抗在高頻段必然呈現小增益特性, 所以, 當端口導納在低頻段滿足無源性, 高頻段具有小增益時, 就能確保交互的穩定性. 然后, 將SEAs的導納控制綜合問題轉化為實際端口導納與期望導納匹配的μ綜合問題. 最后, 通過調節加權函數, 不僅讓SEAs閉環系統的端口導納逼近期望的端口導納, 還能同時滿足交互穩定性條件, 從而可以獨立于環境因素來設計導納控制器. 仿真結果表明, 基于μ綜合方法設計的控制器, 能精確地逼近期望的端口導納, 且確保交互穩定性. 另外, 通過Hankel逼近方法得到的降階控制器也具有滿意的控制效果.
                    • 圖  1  SEAs模型

                      Fig.  1  The SEAs model

                      圖  2  SEAs結構框圖

                      Fig.  2  The block diagram of SEAs equation

                      圖  3  混合交互穩定性實例

                      Fig.  3  A example of “mix” interaction stability

                      圖  11  導納模式(彈簧 ? 阻尼 ? 質量塊并聯模型)控制器降階前后的比較

                      Fig.  11  Demotion of the admittance mode controller (spring-damper-mass connect in parallel)

                      圖  4  廣義對象結構簡圖

                      Fig.  4  Generalized plant structure diagram

                      圖  5  導納控制結構

                      Fig.  5  Admittance control configuration

                      圖  6  導納控制器的求解過程

                      Fig.  6  The solving procedure of admittance controller

                      圖  10  四種導納模式的交互設計

                      Fig.  10  Interactive design of four admittance modes

                      圖  7  人手臂阻抗圖

                      Fig.  7  Impedance of human arm

                      圖  8  控制器求解和交互仿真驗證流程圖

                      Fig.  8  Flow chart of controller solving and interactive simulation verification

                      圖  9  零阻抗的頻率響應圖

                      Fig.  9  Bode diagrams of zero impedance

                      圖  12  零阻抗的交互仿真

                      Fig.  12  Interactive simulation of zero impedance

                      圖  13  導納模式(彈簧-阻尼-質量塊并聯模型)的交互仿真

                      Fig.  13  Interactive simulation of admittance mode (spring-damper-mass connect in parallel)

                      表  1  SEAs仿真參數

                      Table  1  The SEAs simulation parameter values

                      參數 單位 參數 單位
                      $M_{mn}$ $0.61$ $kg\cdot m^2$ $m_{hn}$ $0.4$ $kg\cdot m^2$
                      $\delta_{m}$ $0.06$ $---$ $m_{hd}$ $0.1$ $kg\cdot m^2$
                      $D_{mn}$ $4.9$ $N\cdot m\cdot s/rad$ $b_{hn}$ $2.1$ $N\cdot m\cdot s/rad$
                      $D_{md}$ $1.0$ $N\cdot m\cdot s/rad$ $b_{hd}$ $0.5$ $N\cdot m\cdot s/rad$
                      $k_{n}$ $696.9$ $N\cdot m/rad$ $k_{hn}$ $30$ $N\cdot m/rad$
                      $k_{d}$ $20$ $N\cdot m/rad$ $k_{hd}$ $5$ $N\cdot m/rad$
                      $M_{l}$ $0.14$ $kg\cdot m^2$ $D_{l}$ $0.01$ $N\cdot m\cdot s/rad$
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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2018-08-29
                    • 錄用日期:  2018-12-24
                    • 網絡出版日期:  2019-12-30

                    SEAs導納控制的μ綜合方法

                    doi: 10.16383/j.aas.c180576
                      基金項目:  國家自然科學基金(61773065, 61075080), 哈爾濱工業大學機器人與系統國家重點實驗室開放式基金(SKLRS-2017-KF-05)資助
                      作者簡介:

                      北京理工大學機電學院博士研究生. 2011年獲得太原科技大學機械工程碩士學位. 主要研究方向為電路設計, 魯棒控制, 人 ? 機交互控制. E-mail: rxjrlsq@163.com

                      北京理工大學機電學院副教授. 主要研究方向為柔性機器人, 阻抗控制和非線性系統控制. 本文通信作者. E-mail: yuancanhuang@bit.edu.cn

                    摘要: SEAs具有在確保機器人性能的基礎上兼顧其安全性的特點, 因此被廣泛地應用在康復機器人中. 為實現良好的康復訓練效果, 機器人需根據實際要求呈現不同的阻抗特性. 本文采用μ綜合技術解決了SEAs導納控制器的設計問題. 首先, 考慮參數攝動, 傳感器噪聲, 輸入干擾及控制輸入限制等不確定性因素, 建立SEAs模型. 其次, 應用混合穩定性原理分析系統的交互穩定性. 由于無源環境的阻抗在高頻段必然呈現小增益特性, 所以, 當端口導納在低頻段滿足無源性, 高頻段具有小增益時, 就能確保交互的穩定性. 然后, 將SEAs的導納控制綜合問題轉化為實際端口導納與期望導納匹配的μ綜合問題. 最后, 通過調節加權函數, 不僅讓SEAs閉環系統的端口導納逼近期望的端口導納, 還能同時滿足交互穩定性條件, 從而可以獨立于環境因素來設計導納控制器. 仿真結果表明, 基于μ綜合方法設計的控制器, 能精確地逼近期望的端口導納, 且確保交互穩定性. 另外, 通過Hankel逼近方法得到的降階控制器也具有滿意的控制效果.

                    English Abstract

                    李思奇, 黃遠燦. SEAs導納控制的 μ綜合方法. 自動化學報, 2019, 45(x): 1?9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
                    引用本文: 李思奇, 黃遠燦. SEAs導納控制的 μ 綜合方法. 自動化學報, 2019, 45(x): 1?9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
                    Li Si-Qi, Huang Yuan-Can. μ-Synthesis for admittance control of SEAs. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1?9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
                    Citation: Li Si-Qi, Huang Yuan-Can. μ-Synthesis for admittance control of SEAs. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1?9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
                    • 串聯彈性驅動器[1](Series elastic actuators, SEAs)是一種將彈性組件串聯于電機和負載之間的柔性驅動器, 它具有吸收沖擊, 降低輸出阻抗和高精度力矩輸出等優點[2-5]. 因此被廣泛應用于機器人中, 以提高人機接觸的安全性和舒適性, 如美國Rethink Robotics公司的Baxter機器人[6], 荷蘭Twente大學的下肢動力外骨骼LOPES[7]等各種康復/助力機器人.

                      為實現良好的交互行為, Hogan[8]提出阻抗控制方法. 隨后Colgate等人[9-10]將無源性理論用于阻抗控制的交互穩定性. Pratt等人利用前饋補償結合PID力控方法, 提高交互性能[1]. 串級結構被廣泛地應用于SEAs控制, 其中以力矩外環嵌速度或位置內環最流行[11-13], 該結構可以實現低阻抗, 但由于無源性約束, 視在剛度不能超過SEAs的物理剛度. 文獻[14]設計了基于雙曲正弦函數的魯棒模糊滑??刂品椒? 解決柔性關節的力矩受限問題. 文獻[15]提出前饋補償和模糊滑模相結合的魯棒控制器, 實現良好的位置跟蹤性能和抗干擾能力. 文獻[16]設計基于RISE反饋的最優控制方法, 克服SEAs的模型參數不確定和有界擾動, 實現快速平穩的力矩跟蹤.

                      $ H_\infty $控制能有效地處理非結構不確定性問題[17], 而$ \mu $綜合方法通過不確定性結構降低了保守性[18]. 文獻[19]針對兩自由度柔性關節機器人運用$ \mu $綜合方法, 設計魯棒位置運動控制器. 文獻[20]采用$ \mu $綜合方法抑制柔性關節臂的振動問題. 文獻[21]在考慮參數變化和外界干擾的基礎上, 通過$ \mu $綜合方法設計剛性并聯機器人的柔順力控制, 模擬空間對接過程.

                      在康復機器人應用中, 根據不同的康復訓練模式, 要求機器人能呈現大范圍的阻抗變化. 因此, 尋找一種能任意逼近期望端口阻抗的設計方法, 成為康復機器人實用化的關鍵. 本文依據阻抗匹配的思想, 利用$ \mu $綜合方法設計SEAs的導納控制器, 實現端口導納的大范圍變化.

                      文章的結構如下: 第一節建立SEAs的雙質量塊模型, 并考慮參數攝動; 第二節提出了混合交互穩定性的概念; 第三節基于$ \mu $綜合方法設計了SEAs的導納控制器, 在滿足匹配精度的同時保持交互穩定性; 第四節仿真實現五種導納模式, 驗證$ \mu $綜合方法設計導納控制器的有效性; 最后總結全文.

                      • 圖1是SEAs的雙質量塊模型示意圖, 其中$ M_{m} $表示直流無刷電機的轉動慣量; $ k $表示SEAs的等效剛度; $ D_{m} $表示與電機速度相關的粘性摩擦系數; $ M_{l} $表示連桿的轉動慣量; $ D_{l} $表示連桿軸承的粘性摩擦系數; $ \tau_{m} $是電機的控制力矩; $ \tau_{ext} $是交互端口所受的外力. $ q_{m} $$ q_{l} $分別表示電機側和連桿側的角位移. 模型中忽略了彈簧的結構阻尼.

                        圖  1  SEAs模型

                        Figure 1.  The SEAs model

                        根據牛頓運動定律, 列寫出SEAs的動力學方程:

                        $$ \left\{\begin{aligned} &M_{m}\ddot{q}_{m}+ D_m\dot{q}_{m} = \tau_{m}-\tau_{s}\\ &M_{l}\ddot{q}_{l}+ D_{l}\dot{q}_{l} = \tau_{s}+\tau_{ext}\\ &\tau_{s} = k(q_{m}-q_{l})\\ \end{aligned} \right. $$ (1)

                        式中, $ \tau_{s} $為彈簧恢復力.

                        圖2是描述SEAs動力學關系的信號流圖.

                        圖  2  SEAs結構框圖

                        Figure 2.  The block diagram of SEAs equation

                        在魯棒控制中, 可以將不確定性建模為外部干擾或標稱模型的攝動[17]. 本文將摩擦中不能用與速度相關的粘性模型描述的部分, 輸入力矩脈動和噪聲等建模為外部干擾. 另外, 通過等效慣量$ M_{m} $, 摩擦系數$ D_{m} $以及等效剛度$ k $的參數攝動描述諧波減速器和軸承等組件的不確定性[13, 22]. $ M_m $, $ D_m $$ k $的參數攝動分別描述如下:

                        $$ \left\{\begin{aligned} &M_m = M_{mn}(1+\delta_m\Delta_{M_m})\\ &D_m = D_{mn}+D_{md}\Delta_{D_m}\\ &k = k_n+k_d\Delta_k \\ \end{aligned} \right. $$ (2)

                        式中, $ M_{mn} $, $ D_{mn} $$ k_n $為相應參數的標稱值; $ M_{mn}\delta_m $, $ D_{md} $$ k_d $為相應參數的最大偏差值; $ \Delta_{M_m} $, $ \Delta_{D_m} $$ \Delta_k $分別表示范數小于1的參數攝動.

                        下面, 使用LFT形式描述參數不確定性. 首先, 依據參數攝動模型, 用$ y_k $, $ y_{D_m} $, $ y_{M_m} $$ u_k $, $ u_{D_m} $, $ u_{M_m} $ 分別表示$ \Delta_k $, $ \Delta_{D_m} $$ \Delta_{M_m} $的輸入和輸出, 分離攝動參數. 然后, 將標稱值部分表示為標稱系統, 并把參數攝動集中在一起與該標稱系統反饋連接. LFT形式的狀態空間方程如下:

                        $$ \left[\begin{array}{*{20}{c}} \dot{x} \\ \hline y_\Delta\\ q_l \\ q_m\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c} A & B \\ \hline C & D \\ \end{array} \right] \left[\begin{array}{*{20}{c}} x \\ \hline u_\Delta \\ \tau_m \\ \tau_{ext} \\ \end{array} \right] $$ (3)

                        其中, $x=\left[\begin{array}{*{20}{c}} q_m \\ \dot{q}_m \\ q_l \\ \dot{q}_l \end{array} \right], $$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0&0\\{ - \dfrac{{{k_n}}}{{{M_{mn}}}}}&{ - \dfrac{{{D_{mn}}}}{{{M_{mn}}}}}&{\dfrac{{{k_n}}}{{{M_{mn}}}}}&0\\0&0&0&1\\{\dfrac{{{k_n}}}{{{M_l}}}}&0&{ - \dfrac{{{k_n}}}{{{M_l}}}}&{ - \dfrac{{{D_l}}}{{{M_l}}}}\end{array}} \right],$

                        $$ B=\left[\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\dfrac{1}{M_{mn}} & -\dfrac{1}{M_{mn}} & -\dfrac{\delta_m}{M_{mn}} & \dfrac{1}{M_{mn}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \dfrac{1}{M_l} & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{M_l} \\ \end{array} \right], $$
                        $$ C=\left[\begin{array}{*{20}{c}} k_d & 0 & -k_d & 0 \\ 0 & D_{md} & 0 & 0 \\ -k_n & -D_{mn} & k_n & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right], \hspace{80pt}$$
                        $$ D=\left[\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -\delta_m & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right], \hspace{80pt}$$
                        $$ y_{\Delta}=\left[\begin{array}{*{20}{c}} y_k \\ y_{D_m}\\ y_{M_m} \\ \end{array} \right], \hspace{150pt}$$
                        $$ u_{\Delta}=\left[\begin{array}{*{20}{c}} u_k \\ u_{D_m} \\ u_{M_m} \\ \end{array} \right]. \hspace{150pt}$$
                      • 無源性和小增益定理是兩種常用的判斷反饋互聯系統輸入輸出穩定性的方法. 小增益理論陳述的是, 如果兩個穩定系統增益的乘積小于1, 那么這兩個系統的反饋互聯是穩定的[23]; 無源性理論表明, 兩個無源系統的反饋連接仍然是無源的[24]. 然而, 高頻動態經常破壞系統的無源性. 文獻[25]中提出基于頻域的混合穩定性判據, 其要求反饋互聯的兩個子系統, 在低頻段滿足無源性, 在高頻段滿足小增益定理. 通過例1闡明混合穩定性判據的基本思想.

                        例1: 給出兩個穩定單輸入 ? 輸出線性時不變系統的傳遞函數分別為$ m_1 = \dfrac{3}{(s+1)(s+2)} $$m_2 = \dfrac{6}{(s+2)(s+3)} $, 它們的Nyquist曲線如圖3中的點畫線和虛線曲線所示, 其中, $ m_1(s) $在低頻段$ (0,1.43]rad/s $是無源的, $ m_2(s) $在低頻段$ (0,2.46]rad/s $是無源的. 兩個系統反饋互聯后, 在低頻段$ (0,1.43]rad/s $維持無源性, 但在高頻段$ (1.43,\infty]rad/s $ 的增益乘積小于1. 圖3中的實線沒有圍繞點$ -1+j0 $, 所以反饋互聯后的系統是穩定的.

                        圖  3  混合交互穩定性實例

                        Figure 3.  A example of “mix” interaction stability

                        本文在使用$ \mu $綜合方法設計導納控制器時, 使被控的SEAs系統端口導納在低頻段匹配期望導納, 從而在低頻段具有無源性. 由于端口導納在高頻段的增益很小, 因此在與人手臂環境進行交互時, 通常能滿足混合穩定性條件(詳見圖11(c)的說明).

                        圖  11  導納模式(彈簧 ? 阻尼 ? 質量塊并聯模型)控制器降階前后的比較

                        Figure 11.  Demotion of the admittance mode controller (spring-damper-mass connect in parallel)

                      • $ \mu $綜合是有效的魯棒控制器設計工具. 本文采用$ D-K $迭代算法, 進行結構奇異值尋優, 設計保守性較低的魯棒控制器.

                        在本文中, 調節變量$ z_1 = W_e(q_l-\tau_{ext}Y_ds^{-1}) $衡量在設計頻段上端口導納與期望導納的匹配精度, 其實質是極小化實際位置與期望導納依據外力給出的期望位置的差, 進而實現導納匹配. 在零阻抗時, 等價于接觸力最小, 即$ z_1 = W_e\tau_s $.

                        圖4是考慮外部干擾和噪聲后的廣義被控對象, 其中, $ P $是輸入到輸出的傳遞函數; 外部干擾$ w $包括外力, $ n_m $$ n_l $表示傳感器噪聲, $ d_i $為輸入干擾(包含力矩脈動和摩擦等外部干擾); $ u $是控制輸入, $ u_{\Delta} $為參數攝動輸入. $ y $是傳感器輸出; $ z $是調節變量, 包括導納匹配$ z_1 $和控制輸入限制$ z_2 $; $ y_{\Delta} $是攝動輸出. $ K $即為需要設計的反饋控制器.

                        圖  4  廣義對象結構簡圖

                        Figure 4.  Generalized plant structure diagram

                        圖5是帶加權矩陣的導納控制結構, 其中, $ Y_1 $是零阻抗時的彈簧力, $ Y_2 $是位置誤差. 其中, $ W_n $表示測量噪聲的加權函數. 本設計選擇光電編碼器對角度位置進行測量, 其分辨率為$ 0.036^{\circ} $, 選取$ W_n = 0.036 $; $ W_i $表示輸入干擾的加權函數, 該加權函數設計為一階低通濾波器, 其在$ 0.25rad/s $存在一個極點[26, 27], 選取$ W_i = (4s+1)^{-1} $; $ z_2 $衡量控制量的大小, 通過選擇加權函數$ W_u $抑制驅動器的飽和問題[19, 28], 選取$ W_u = (0.01s+0.1)(0.001s+1)^{-1} $. $ W_e $表示對導納匹配精度的頻率加權函數. 以人臂的康復訓練為例時, 在小于$ 100rad/s $的頻段內, 精確匹配導納, 選取$ W_e = \zeta(0.01s+1)^{-1} $, 其中, $ \delta $是設計參數, 根據導納匹配精度和交互穩定性確定(詳見圖6). 我們實現4種導納模型: 純彈簧, 彈簧$ - $阻尼并聯, 彈簧 ? 阻尼串聯和彈簧 ? 阻尼 ? 質量塊并聯.

                        圖  5  導納控制結構

                        Figure 5.  Admittance control configuration

                        圖  6  導納控制器的求解過程

                        Figure 6.  The solving procedure of admittance controller

                        如果只從設計導納控制器的角度, 單輸出$ q_m $$ q_l $均能實現上述控制目標. 然而, 文獻[29]指出, 當系統存在參數不確定性時, 多傳感器反饋能更好地魯棒無源化. 因此, 本文采用$ q_m $$ q_l $雙反饋. 與單反饋的比較見第4節圖10(f).

                        圖  10  四種導納模式的交互設計

                        Figure 10.  Interactive design of four admittance modes

                        衡量導納匹配精度的指標如下[30]:

                        $$ E = \int_{\omega_a}^{\omega_b}\log\frac{\mid Y_a(j\omega)\mid}{\mid Y_d(j\omega)\mid} $$ (4)

                        式中, $ Y_a $$ Y_d $分別表示實際和期望的端口導納. 本文取$ \omega_a = 10^{-2}rad/s $$ \omega_b = 10^2rad/s $.

                        圖6給出了基于導納匹配精度并滿足交互穩定性的$ \mu $綜合方法.

                        在零阻抗設計時, 需要對照圖5修改$ z_1 $, 其他不變, 但$ \zeta $的取值可依據實際情況調整. 選擇不同的初值得到不同的控制器. 所以, 可根據控制器階數和匹配精度, 選出合適的控制器.

                      • 依據實際的柔性關節[31-33]以及文獻中人手臂的參數[30, 34, 35], 得到如表1所示的仿真參數. 假設人手臂的反應頻率$ f $上限為$ 70rad/s $, 即, 超過該頻率后, 手臂的阻抗開始衰減. 于是, 人體手臂的阻抗模型為:

                        表 1  SEAs仿真參數

                        Table 1.  The SEAs simulation parameter values

                        參數 單位 參數 單位
                        $M_{mn}$ $0.61$ $kg\cdot m^2$ $m_{hn}$ $0.4$ $kg\cdot m^2$
                        $\delta_{m}$ $0.06$ $---$ $m_{hd}$ $0.1$ $kg\cdot m^2$
                        $D_{mn}$ $4.9$ $N\cdot m\cdot s/rad$ $b_{hn}$ $2.1$ $N\cdot m\cdot s/rad$
                        $D_{md}$ $1.0$ $N\cdot m\cdot s/rad$ $b_{hd}$ $0.5$ $N\cdot m\cdot s/rad$
                        $k_{n}$ $696.9$ $N\cdot m/rad$ $k_{hn}$ $30$ $N\cdot m/rad$
                        $k_{d}$ $20$ $N\cdot m/rad$ $k_{hd}$ $5$ $N\cdot m/rad$
                        $M_{l}$ $0.14$ $kg\cdot m^2$ $D_{l}$ $0.01$ $N\cdot m\cdot s/rad$
                        $$ Z_h(s) = \left(m_hs+b_h+\frac{k_h}{s}\right)(f^{-1}s+1)^{-2} $$ (5)

                        式中, $ m_h = m_{hn}+m_{hd}\Delta $, $ b_h = b_{hn}+b_{hd}\Delta $, $k_h = $$ k_{hn}+k_{hd}\Delta $; $ m_h $, $ b_h $, $ k_h $分別表示人手臂質量, 阻尼和剛度; $ m_{hn} $, $ b_{hn} $, $ k_{hn} $為標稱值; $ m_{hd} $, $ b_{hd} $, $ k_{hd} $為最大偏差值, $ \Delta $的范數小于1.

                        圖7給出了理想和實際的人手臂標稱阻抗模型的Nyquist圖. 從圖中看出, 在高頻段, 人手臂的實際阻抗隨著頻率的增大而減小.

                        圖  7  人手臂阻抗圖

                        Figure 7.  Impedance of human arm

                        圖8為控制器求解以及如何進行交互仿真驗證的流程圖.

                        圖  8  控制器求解和交互仿真驗證流程圖

                        Figure 8.  Flow chart of controller solving and interactive simulation verification

                      • 首先根據期望的端口導納進行控制器的求解. 圖9圖10(a)(d)中虛線為含有參數不確定性的一簇實際端口阻抗/導納頻響曲線, 點畫線表示不控制時SEAs標稱模型端口阻抗/導納, 實線為標稱模型對應的實際端口阻抗/導納頻響曲線, 點線為期望的端口導納.

                        圖  9  零阻抗的頻率響應圖

                        Figure 9.  Bode diagrams of zero impedance

                        1) 零阻抗模式

                        圖9給出了滿足無源性的零阻抗交互實現. 從圖9中可以看到在頻率小于$ 1rad/s(0.16Hz) $時, 端口呈現很低的阻尼特性, 大于該頻率后, 端口呈現近似$ M_l $質量塊的頻率特性, 端口阻抗的相角在$ \pm\,90^{\circ} $之間, 滿足無源性.

                        2) 四種導納模式

                        四種期望導納的傳遞函數形式分別為: $ \dfrac{s}{k_{vir}} $表示純彈簧形式; $ \dfrac{s}{k_{vir}+b_{vir}s} $表示彈簧與阻尼并聯形式; $ \dfrac{k_{vir}+b_{vir}s}{k_{vir}b_{vir}} $表示彈簧與阻尼串聯形式; $ \dfrac{s}{k_{vir}+b_{vir}s+m_{vir}s^2} $表示彈簧, 阻尼與質量塊并聯形式; 其中$ k_{vir} $表示期望的剛度值, $ b_{vir} $表示期望的阻尼值, $ m_{vir} $表示期望的質量塊值.

                        圖10分別給出了四種導納交互模式下的端口導納. 依據混合穩定性判據, 均能與人手臂進行穩定交互.

                        圖10(a)中實現了$ 1\;000\;N/m $超過彈簧物理剛度的端口導納, 其(a), (b)和(d)圖均能在設定的頻率段實現期望導納, 但(c)圖在高頻段出現了一定的匹配誤差, 其設計的端口導納參數已分別在圖中標注.

                        圖10(e)給出了圖10(a)(d)中四種形式分別與期望導納的誤差圖, 虛線表示純彈簧形式, 點畫線表示彈簧阻尼并聯形式, 點線表示彈簧阻尼串聯, 實線為彈簧阻尼質量塊并聯形式. 四條誤差曲線均隨著頻率的增大而增大, 其中實線的誤差值最小. 根據式(4)計算四條曲線在$ [10^{-2},10^2]rad/s $頻率范圍內的匹配精度值(已在圖中標明), 在該范圍內彈簧 ? 阻尼 ? 質量塊并聯形式與期望的導納最接近. 誤差曲線可準確的表征在設計期望的端口導納過程中, 不同的設計方法對應的實際端口導納匹配情況, 匹配精度值能全局衡量頻段內與期望導納的接近程度.

                        圖10(f)給出彈簧 ? 阻尼 ? 質量塊并聯情況下(期望的端口參數見圖10(d)所示), 采用不同反饋情況下的誤差曲線(實線為雙反饋, 點畫線為$ q_m $反饋, 虛線為$ q_l $反饋). 從該圖中可以清楚的看到雙反饋控制的誤差要小于單反饋控制.

                        3) 舉例說明控制器降階及混合穩定性的應用

                        該節以導納設計中的彈簧 ? 阻尼 ? 質量并聯形式為例, 對該控制器進行降階并說明混合穩定性的應用. 參數值如圖10(d)所示. 原控制器為9階, 在對控制器的Hankel奇異值進行評估, 可知降為7階時誤差最小, 采用平方根平衡截斷法進行降階, 降階后的控制器如式(6)所示.

                        圖11(a)為控制器降階前后的誤差曲線比較, 實線為降階前的誤差曲線, 虛線為降階后的誤差曲線, 二者的匹配精度值相差$ 0.6 $. 同時圖11(b)給出了降階前后的端口導納Nyquist圖比較. 圖11(c)表示交互的Nyquist圖, 其控制器降階前后的實際端口導納見圖11(b), 人手臂模型的端口阻抗圖見圖7, 實線為原控制器交互的Nyquist曲線, 虛線為控制器降階的交互曲線, 降階前后, 該曲線均沒有圍繞$ -1+j0 $點, 即控制器在與人手臂接觸時穩定, 因此降階前后控制器均滿足混合穩定性要求.

                      • 在Simulink中搭建交互仿真平臺, 通過模擬人手臂推動SEAs關節末端的過程, 驗證求解出的控制器. 圖12(a)中的虛線是給定的人手臂輸出速度曲線, 即人手臂緩慢加速在3 s后以恒定的速度推動負載端.

                        圖  12  零阻抗的交互仿真

                        Figure 12.  Interactive simulation of zero impedance

                        1) 零阻抗模式

                        圖12為零阻抗時的端口行為,(a)圖中實線為SEAs負載末端即連桿的速度, 在控制器使端口呈現零阻抗時, (a)圖兩條曲線基本吻合, 實現了SEAs的跟隨運動過程; 圖(b)中曲線為SEAs末端連桿側的位置曲線, 隨著施加外力, 負載端的位置逐漸增大; 圖(c)中實線為在實現期望速度過程中人手臂的施力曲線, 虛線為SEAs中彈簧的受力曲線, 因SEAs系統考慮了電機側和接口側的摩擦特性, 故彈簧力應克服電機側摩擦力; 人臂施力應克服接口軸承的摩擦力和彈簧力, 圖中曲線符合運動過程的受力平衡情況, 因此整個過程符合零阻抗的設計要求.

                        $$ \left\{\begin{split} &K_{q_l-\tau _m}^7 = \frac{1\;364(s+0.46)(s-29.44)(0.01\;s^2+2.49\;s+254)(0.01\;s^2+4.38\;s+1107)} {(0.1\;s+8.79)(0.1\;s+0.34)(0.1\;s+0.03)(0.01\;s^2+21.04\;s+1\;439)(0.01\;s^2+10.52\;s+7\;580)} \\ &K_{q_m-\tau _m}^7 = \frac{43(s+187.4)(s+0.4615)(0.01\;s^2+1.46\;s+234)(0.01\;s^2+1.15\;s+7021)} {(0.1\;s+8.79)(0.1\;s+0.34)(0.1\;s+0.03)(0.01\;s^2+21.04\;s+1\;439)(0.01\;s^2+10.52\;s+7\;580)} \end{split} \right. $$ (6)

                        2) 導納模式

                        以導納模式中的彈簧 ? 阻尼 ? 質量塊并聯情況為例, 驗證控制器降階前后的交互過程, 如圖13所示.

                        圖  13  導納模式(彈簧-阻尼-質量塊并聯模型)的交互仿真

                        Figure 13.  Interactive simulation of admittance mode (spring-damper-mass connect in parallel)

                        期望的端口導納參數如圖10(d)所示, 實線為原9階控制器, 虛線為降階后的7階控制器, 因實際端口導納中存在彈簧特性, SEAs中的物理彈簧受力會與外力平衡, 故負載端的位置最終會處于靜止狀態. 對比兩種曲線可知降階前后的控制器在運動過程雖略有差別, 但總體影響不大, 因此控制器的求解及降階符合設計要求.

                      • 本文使用$ \mu $綜合解決了含有不確定性SEAs的導納控制問題. 不確定性包括模型參數攝動, 傳感器噪聲, 輸入干擾和控制輸入限制等. 通過選擇$ z_1 $加權函數使受控系統的端口導納逼近期望導納, 呈現低頻段無源, 高頻段小增益的特點, 解決了系統與環境的交互穩定性問題, 實現獨立于環境的導納控制器設計. 以零阻抗和4種導納模型的端口導納特性為例, 設計滿足混合穩定性條件的導納控制器, 并對控制器進行了降階. 仿真結果表明, 該方法能有效地設計SEAs魯棒導納控制器.

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