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                    四旋翼吊掛運輸系統動態反饋線性化軌跡控制

                    梁曉 胡欲立

                    梁曉, 胡欲立. 四旋翼吊掛運輸系統動態反饋線性化軌跡控制. 自動化學報, 2020, 46(9): 1993?2002. doi: 10.16383/j.aas.c180857
                    引用本文: 梁曉, 胡欲立. 四旋翼吊掛運輸系統動態反饋線性化軌跡控制. 自動化學報, 2020, 46(9): 1993?2002. doi: 10.16383/j.aas.c180857
                    Liang Xiao, Hu Yu-Li. Trajectory control of quadrotor with cable-suspended load via dynamic feedback linearization. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1993?2002. doi: 10.16383/j.aas.c180857
                    Citation: Liang Xiao, Hu Yu-Li. Trajectory control of quadrotor with cable-suspended load via dynamic feedback linearization. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1993?2002. doi: 10.16383/j.aas.c180857

                    四旋翼吊掛運輸系統動態反饋線性化軌跡控制


                    DOI: 10.16383/j.aas.c180857
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      西北工業大學航海學院兵器科學與技術專業博士研究生.主要研究方向為無人機運輸系統控制.本文通信作者. E-mail: lzy20131110@sina.com

                      西北工業大學航海學院水下航行器研究所教授. 主要研究方向為水下航行器設計與制造. E-mail: zx670821@nwpu.edu.cn

                    Trajectory Control of Quadrotor With Cable-Suspended Load via Dynamic Feedback Linearization

                    More Information
                    • 摘要: 三維空間下的四旋翼吊掛運輸系統是一種欠驅動、強耦合、多變量的非線性系統. 根據系統的動力學特點, 將系統分解為雙質點系繩連接子系統和四旋翼姿態控制子系統. 選擇與系統自由度維數相同的廣義坐標并基于虛位移原理計算對應的廣義力, 從而建立系統的拉格朗日動力學方程. 利用微分平滑特性證明了運輸系統存在平凡零動態, 因此可通過動態反饋轉化為線性和能控系統. 經過2次動態擴展和變量代換, 原系統擴展為總相對階等于系統狀態維度的線性能控系統. 基于赫爾維茨穩定性判據, 設計了跟蹤誤差指數收斂的動態反饋控制律. 該方法可作為一類非線性系統控制器設計的標準方法. 最后以三維空間的螺旋曲線及水平面內頻率變化的圓周曲線為參考軌跡進行仿真, 仿真結果驗證了控制系統的有效性.
                    • 圖  1  四旋翼吊掛運輸系統

                      Fig.  1  A quadrotor with cable-suspended load

                      圖  2  跟蹤控制系統結構圖

                      Fig.  2  Tracking controller block diagram

                      圖  3  兩種控制方法下螺旋曲線跟蹤軌跡對比((a)動態反饋控制方法; (b)幾何控制方法)

                      Fig.  3  Track a spiral curve via two control methods. ((a) Dynamic feedback control; (b) Geometry control)

                      圖  4  兩種控制方法下跟蹤螺旋曲線誤差收斂情況對比((a)動態反饋控制方法; (b)幾何控制方法)

                      Fig.  4  Position errors convergence when tracking a spiral curve via two control methods. ((a) Dynamic feedback control; (b) Geometry control)

                      圖  5  xoy平面螺旋曲線跟蹤軌跡

                      Fig.  5  Trajectory in xoy plane when tracking a spiral curve

                      圖  6  xoz平面螺旋曲線跟蹤軌跡

                      Fig.  6  Trajectory in xoz plane when tracking a spiral curve

                      圖  7  螺旋曲線跟蹤過程中控制力曲線

                      Fig.  7  Curve of the control force when tracking a spiral curve

                      圖  8  螺旋曲線跟蹤過程中系繩振蕩角曲線

                      Fig.  8  Curve of swing angel on the cable when tracking a spiral curve

                      圖  9  兩種控制方法跟蹤圓周曲線軌跡對比(a)動態反饋控制方法; (b)分段控制方法

                      Fig.  9  Track a circle via two control methods. (a) Dynamic feedback control; (b) Two-time-scale control

                      圖  10  兩種控制方法跟蹤圓周曲線誤差收斂情況對比((a)動態反饋方法; (b)分段控制方法)

                      Fig.  10  Position errors convergence when tracking a circle curve via two control methods. ((a) Dynamic feedback control; (b) Two-time-scale control)

                      圖  11  跟蹤過程中四旋翼位置變化曲線

                      Fig.  11  Position curve of quadrotor when tracking

                      圖  12  跟蹤過程中 $ \beta $ 角變化曲線

                      Fig.  12  Curve of $ \beta $ when tracking

                      表  1  仿真中使用的模型參數

                      Table  1  Model parameters in the simulations

                      變量 參數 單位
                      mq 0.4 kg
                      ml 0.1 kg
                      l1 0.8 m
                      l2 0.2 m
                      g ?9.8 m·s?2
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                    • 加載中
                    圖(12) / 表(1)
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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2018-12-27
                    • 錄用日期:  2019-06-02
                    • 網絡出版日期:  2020-09-28
                    • 刊出日期:  2020-09-28

                    四旋翼吊掛運輸系統動態反饋線性化軌跡控制

                    doi: 10.16383/j.aas.c180857
                      作者簡介:

                      西北工業大學航海學院兵器科學與技術專業博士研究生.主要研究方向為無人機運輸系統控制.本文通信作者. E-mail: lzy20131110@sina.com

                      西北工業大學航海學院水下航行器研究所教授. 主要研究方向為水下航行器設計與制造. E-mail: zx670821@nwpu.edu.cn

                    摘要: 三維空間下的四旋翼吊掛運輸系統是一種欠驅動、強耦合、多變量的非線性系統. 根據系統的動力學特點, 將系統分解為雙質點系繩連接子系統和四旋翼姿態控制子系統. 選擇與系統自由度維數相同的廣義坐標并基于虛位移原理計算對應的廣義力, 從而建立系統的拉格朗日動力學方程. 利用微分平滑特性證明了運輸系統存在平凡零動態, 因此可通過動態反饋轉化為線性和能控系統. 經過2次動態擴展和變量代換, 原系統擴展為總相對階等于系統狀態維度的線性能控系統. 基于赫爾維茨穩定性判據, 設計了跟蹤誤差指數收斂的動態反饋控制律. 該方法可作為一類非線性系統控制器設計的標準方法. 最后以三維空間的螺旋曲線及水平面內頻率變化的圓周曲線為參考軌跡進行仿真, 仿真結果驗證了控制系統的有效性.

                    English Abstract

                    梁曉, 胡欲立. 四旋翼吊掛運輸系統動態反饋線性化軌跡控制. 自動化學報, 2020, 46(9): 1993?2002. doi: 10.16383/j.aas.c180857
                    引用本文: 梁曉, 胡欲立. 四旋翼吊掛運輸系統動態反饋線性化軌跡控制. 自動化學報, 2020, 46(9): 1993?2002. doi: 10.16383/j.aas.c180857
                    Liang Xiao, Hu Yu-Li. Trajectory control of quadrotor with cable-suspended load via dynamic feedback linearization. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1993?2002. doi: 10.16383/j.aas.c180857
                    Citation: Liang Xiao, Hu Yu-Li. Trajectory control of quadrotor with cable-suspended load via dynamic feedback linearization. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1993?2002. doi: 10.16383/j.aas.c180857
                    • 四旋翼無人飛行器與單旋翼直升機類似,具有靈活的運動機能和垂直起降的特點,但機械結構更簡單, 能源利用率和安全性更高, 具有廣泛的應用前景[1]. 與此同時, 基于四旋翼飛行器的無人運輸系統作為一種便捷的航空運輸手段, 也出現在軍用和民用的各個領域, 比如物資補給或災區救援. 然而由于運輸可靠性和飛行安全性方面面臨的困難, 目前這些應用都還處于小范圍的試用階段. 因此, 設計穩定可靠的四旋翼運輸控制系統具有重要的理論和應用價值.

                      四旋翼運送載荷最初采用安裝運輸裝置的方式. 但這種裝置會增加飛行器的附加慣性, 導致其姿態響應緩慢. 一種替代方法是使用系繩吊掛結構, 吊掛結構不需要考慮飛行器與載荷外形之間的匹配問題及裝載容積的限制問題, 同時保留飛行器姿態操作靈活性, 適應性更好. 吊掛結構還能使飛行器與載荷之間保持一定距離, 特別適合于一些對飛行器機體造成安全威脅的環境, 如地震災區救援或雷區探測掃描.

                      四旋翼吊掛運輸系統具有欠驅動, 強耦合和非線性的特點, 近年來針對該類系統的控制問題開展了大量研究. 文獻[2]基于拉格朗日方程設計了迭代型線性二次最優控制器. 該控制器將模型線性化為不考慮載荷影響的獨立飛行器模式和考慮載荷影響的運輸系統模式, 實現精確跟蹤的同時能有效擬制吊繩振蕩. 但這種局部線性化方法僅在平衡點附近可以較好地描述系統特性, 當系統偏離平衡點嚴重時難以保證控制精度. 文獻[1]通過相平面內的幾何分析, 設計了兩個軸向上分段式加速度軌跡. 然后基于反步法設計了非線性軌跡跟蹤控制器. 文獻[3-4] 針對吊掛飛行系統的位置控制及負載擺動抑制問題, 基于能量法設計了非線性控制器, 并對未知載荷質量和空氣阻尼進行了參數估計. 但文獻[1,3]中的動力學模型和控制器均局限于二維平面. 擴展到三維空間后, 系統狀態變量增加4 維, 非線性項更加復雜, 原來的設計方法很難進行擴展. 因此, 在保留系統非線性的前提下將控制系統擴展到三維空間就成為當前重點研究方向. 文獻[5] 證明了系統是以載荷位置和飛行器偏航角為平滑輸出的微分平滑系統, 然后設計了三維空間下的非線性幾何控制器, 控制器將系統分為四旋翼姿態, 系繩方位和載荷位置內外三個控制通道, 設計外通道時假設內通道狀態已經確定, 這種控制器雖然可以使跟蹤誤差接近全局指數收斂. 但省略了內外通道之間的非線性耦合關系, 未考慮同時變化的情況. 文獻[6] 重點考察了起飛過程. 將其分解為起飛, 拉伸和上升三種離散狀態.通過一系列與狀態相關的路徑點來生成軌跡, 然后設計了非線性控制器來跟蹤這一軌跡, 但未涉及運輸過程中的軌跡跟蹤問題. 文獻[7] 在三維空間下設計了時間上分段控制的非線性控制器. 將吊繩振蕩抑制設計為快動態, 軌跡跟蹤設計為慢動態. 當運輸過程中產生較大振蕩時, 控制系統先對吊繩振蕩進行抑制, 待振蕩消除后再執行軌跡跟蹤. 因此該控制器僅適合于執行無時效性要求的普通運輸任務.

                      本文研究四旋翼吊掛運輸系統執行緊急任務時的軌跡控制問題. 所設計的軌跡跟蹤控制器能實現三維空間下光滑曲線軌跡的跟蹤, 同時允許吊繩在運輸過程中發生較大角度的振蕩. 本文創新點包括: 1) 推導出形式更為簡單的動力學模型. 在求解模型時, 選擇系統質心位置作為廣義坐標, 而不是文獻[4, 7]中選擇的載荷位置, 這樣將系統平動和轉動解耦, 使獲得的動力學方程形式上更簡單; 2) 提出一種判斷非線性系統可動態反饋線性化的簡單方法. 經典的非線性控制理論中, 判斷一個系統能否實現動態反饋線性化, 需要將系統方程轉化為正則形式[8], 對于非線性項較復雜的多變量系統, 這個轉化過程通常是比較困難的. 本文基于微分平滑性提出了一種較簡單的判斷方法; 3)提出一種實現多變量微分平滑系統反饋線性化的標準算法. 文獻[5]中證明了四旋翼系繩運輸系統是微分平滑的, 但對于如何實現微分平滑系統的反饋線性化, 相關文獻并未給出方法. 對于較簡單的系統尚可通過觀察和嘗試的方法進行, 當系統維數較多時(如本文涉及的吊掛運輸系統), 反饋線性化較難實現. 本文將動態擴展算法應用于微分平滑系統, 給出了適合計算機編程實現的標準算法, 該算法可擴展應用于一類具有微分平滑性的非線性系統.

                      本文內容安排如下: 第1節基于廣義拉格朗日方程建立系統的動力學模型. 第2節基于微分平滑和動態反饋線性化理論設計軌跡跟蹤控制系統. 第3節通過仿真驗證控制系統的有效性. 第4節對本文進行總結, 并對后續研究進行展望.

                      • 考察如圖1所示的四旋翼系繩運輸系統, 假設系繩系于四旋翼飛行器質心位置并且系繩不可伸縮, 因此繩上張力相對四旋翼質心的力矩為0, 四旋翼姿態控制與系繩方位控制獨立. 根據此特點, 整個運輸系統可以分解為[9]四旋翼姿態控制子系統 $ {\Sigma _1} $ 和雙質點系繩連接子系統 $ {\Sigma _2} $ .

                        圖  1  四旋翼吊掛運輸系統

                        Figure 1.  A quadrotor with cable-suspended load

                        兩個子系統通過四旋翼合升力 $ {u_o} $ 進行耦合. 在子系統 $ {\Sigma _1} $ 中, $ {u_o} $ 的方位對應飛行器期望的俯仰角和橫滾角(偏航角由用戶自由設定), 通過與飛行器的實際姿態比較, 產生姿態誤差信號. 四旋翼姿態控制器根據這一誤差信號, 得到三個軸向的控制力矩. 四旋翼四個螺旋槳的轉速可以通過控制力矩和 $ {u_o} $ 的幅值求出, 其計算式見文獻[10]. 因此, 只要得到 $ {u_o} $ 的值, 結合四旋翼姿態控制器即可確定飛行器輸入信號. 由于四旋翼姿態控制問題已在相關文獻中進行研究[11], 本文不再贅述. 本文的控制目標是在子系統 $ {\Sigma _2} $ 中設計合適的 $ {u_o} $ , 使載荷跟蹤期望軌跡.

                        以子系統 $ {\Sigma _2} $ 質心O為原點建立運動坐標系 $ Ox'y'z' $ , 如圖1所示. 用 $ {m_q} $ , $ {m_l} $ 分別表示四旋翼和載荷的質量, 用 $ {l_1} $ , $ {l_2} $ 分別表示四旋翼和載荷質心到O點的距離. 當系繩張緊時, 子系統 $ {\Sigma _2} $ 的自由度為5, 選擇廣義坐標 $ q (x,y,z,\alpha ,\beta ) $ , 其中, $ {{X}} = {\left[ {\begin{array}{c} x\;\;y \;\; z \\ \end{array} } \right]^{\rm{T}}} $ $\in {{{{\bf{R}}}}^3}$ O點在慣性系的坐標, $ \alpha $ 是系繩在 $ Ox'y' $ 平面投影與 $ Ox' $ 軸正向的夾角, $ \beta $ 是系繩與 $ Oz' $ 軸正向的夾角.下面基于拉格朗日廣義動力學方程建立系統模型.

                        1. 本文建立模型時已假定系繩處于張緊狀態, 在系統起飛階段, 系繩會經歷從松弛到張緊的過渡過程. 這個過程可以分解為起飛、拉伸、上升三個階段分別進行控制, 詳細說明參見文獻[6].

                      • 系統的拉格朗日函數由平動動能, 轉動動能和勢能組成, 當選擇系統質心O為參考點時, 系統的平動動能和勢能可以很容易的得到[12]

                        $$\begin{split} &{T_{{\rm{trans}}}} = \frac{1}{2}m{{\dot X}^{\rm{T}}} \dot X \\ &V = mgz \end{split}$$ (1)

                        其中, $ {m = m_q+m_l} $ 表示系統總質量, 勢能V以地面為0勢能面. 為了求出系統的轉動動能, 考慮先求飛行器質心的線速度, 再求系繩轉動角速度 $ \omega $ , 最后求轉動動能. 用 $ {{{X}} _q} $ 表示四旋翼質心位置, 首先寫出其關于廣義坐標的表達式

                        $$ {{{X}} _q} = \left[ {\begin{array}{c} {{x_q}} \\ {{y_q}} \\ {{z_q}} \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{c} {x + {l_1}{S_\beta }{C_\alpha }}\\ {y + {l_1}{S_\beta }{S_\alpha }} \\ {z + {l_1}{C_\beta }} \\ \end{array} } \right] $$ (2)

                        其中, ${S_x} = \sin x,\;{C_x} = \cos x$ . 由于轉動動能與質心O的位置無關, 不考慮式中的質心位置, 對 $ {{{X}}_q} $ 求導有

                        $$ {{\omega}} = { \frac{{\dot {{X}}}_q}{l_1} }= \left[ {\begin{array}{c} {\dot \beta {C_\beta }{C_\alpha } - \dot \alpha {S_\beta }{S_\alpha }} \\ {\dot \beta {C_\beta }{S_\alpha } + \dot \alpha {S_\beta }{C_\alpha }} \\ { - \dot \beta {S_\beta }} \\ \end{array} } \right] $$ (3)

                        于是系統轉動動能為

                        $$ {T_{{\rm{rot}}}} = \frac{1}{2}{{I}}{ {{\omega}} ^T}{{\omega}} = \frac{1}{2}{{I}}({{\dot \beta }^2} + {{\dot \alpha }^2}S_\beta ^{^2}) $$ (4)

                        其中, I為系繩繞質心O的轉動慣量, 且 ${I} = {m_q}l_1^2 +$ $ {m_l}l_2^2 = {m_q}{l_1}l $ , 聯立式(1)和式(4), 得到系統的拉格朗日函數為

                        $$ \begin{split} L =& \;{T_{{\rm{trans}}}} + {T_{{\rm{rot}}}} - V = \\& \frac{1}{2}m{ {\dot {{X}}}^{\rm{T}}} {{X}}+ \frac{1}{2}{m_q}{l_1}l({{\dot \beta }^2} + {{\dot \alpha }^2}S_\beta ^{\rm{2}}){\rm{ - }}mgz \end{split} $$ (5)
                      • 下面利用虛功原理求各廣義坐標對應的廣義力, 首先寫出子系統 $ {\Sigma _2} $ 所受主動力做的虛功

                        $$ {A_{{u_o}}} = {u_{ox}}\delta {x_q} + {u_{oy}}\delta {y_q} + {u_{oz}}\delta {z_q} $$ (6)

                        其中, $ (\delta {x_q},\delta {y_q},\delta {z_q}) $ 表示 $ {X_q} $ 笛卡爾坐標的變分, 根據式(2)寫出它們關于廣義坐標的表達式

                        $$ \begin{split} &\delta {x_q} =\; \delta x + {l_1}{C_\beta }{C_\alpha } \times \delta \beta - {l_1}{S_\beta }{S_\alpha } \times \delta \alpha \\ & \delta {y_q} =\delta y + {l_1}{C_\beta }{S_\alpha } \times \delta \beta + {l_1}{S_\beta }{C_\alpha } \times \delta \alpha \\ & \delta {z_q} =\delta z - {l_1}{S_\beta } \times \delta \beta \end{split} $$ (7)

                        $ \delta \alpha = \delta x = \delta y = \delta z = 0,\delta \beta \ne 0 $ , 聯立式(6)和式(7), 得

                        $$ {Q_\beta } = \frac{{{A_{{u_o}}}}}{{\delta \beta }} = {l_1}({u_{ox}}{C_\beta }{C_\alpha } + {u_{oy}}{C_\beta }{S_\alpha } - {u_{oz}}{S_\beta }) $$ (8)

                        其中, $ {Q_\beta } $ 為廣義坐標 $ {\beta} $ 對應的廣義力. 同理, 令 $ \delta \beta = $ $\delta x = \delta y = \delta z = 0,\delta \alpha \ne 0 ,$

                        $$ {Q_\alpha } = {l_1}( - {u_{ox}}{S_\beta }{S_\alpha } + {u_{oy}}{S_\beta }{C_\alpha }) $$ (9)

                        類似地, 可以求出坐標 $ {x,y,z} $ 對應的廣義力

                        $$ \begin{array}{c} {Q_{_x}^{} = {u_{ox}},} \;\;{Q_{_y}^{} = {u_{oy}},} \;\;{Q_{_z}^{} = {u_{oz}}} \\ \end{array} $$ (10)

                        2. 求廣義力時, 不需考慮系統所受的保守力, 因此子系統 $ {\Sigma _2} $ 僅有唯一的主動力 $ {u_{o}} $ , 具體參見文獻[12].

                      • 將式(5)和式(8)~(10)代入拉格朗日動力學方程

                        $$ \frac{\rm{d}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_i}}} - \frac{{\partial L}}{{\partial {q_i}}} = {Q_{{q_i}}} $$

                        其中, $ {q_i} $ 表示第i個廣義坐標. 整理得

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {\ddot x = \frac{u_{ox}}m} \\ & {\ddot y = \frac{u_{oy}}m} \\ & {\ddot z =\frac {u_{oz}}m + g} \\ & {\ddot \beta = \dfrac{{{u_{ox}}{C_\beta }{C_\alpha } + {u_{oy}}{C_\beta }{S_\alpha } - {u_{oz}}{S_\beta }}}{{{m_1}l}} + {{\dot \alpha }^2}{S_\beta }{C_\beta }} \\ & {\ddot \alpha = \dfrac{{ - {u_{ox}}{S_\alpha } + {u_{oy}}{C_\alpha }}}{{{m_1}l{S_\beta }}} - \dfrac{{2\dot \alpha \dot \beta {C_\beta }}}{{{S_\beta }}}} \\[-15pt]\end{aligned} } \right. $$ (11)

                        式(11)即為子系統 $ {\Sigma _2} $ 的動力學微分方程, 求出 $ ({{X}},\alpha ,\beta ) $ 后, 載荷軌跡為

                        $$ {{{X}}_l} = \left[ {\begin{array}{c} {{x_l}} \\ {{y_l}} \\ {{z_l}} \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{c} {x - {l_2}{S_\beta }{C_\alpha }} \\ {y - {l_2}{S_\beta }{S_\alpha }} \\ {z - {l_2}{C_\beta }} \\ \end{array} } \right] $$ (12)

                        式(11)和式(12)分別構成系統的狀態方程和輸出方程, 軌跡跟蹤控制系統設計的目標是找到合適的 $ {u_o} $ , 使載荷軌跡 $ {{{X}}_l} $ 穩定跟蹤期望軌跡 $ {{{X}}_l^*} $ .

                      • 對于式(11)和式(12)表示的非線性系統, 首先提出的問題是它是否是能控的. 下面的理論[13-15]給出了分析非線性系統能控性的一條途徑.

                        考慮如下仿射形式的多變量非線性系統

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {{\dot {{\xi}}} = f( {{{\xi}} }) + \sum\limits_{i = 1}^m {{g_i}( {{{\xi}}} ){u_i}} } \\ & {{\rho _i} = {h_i}( {{\xi}} ),\;\;\;i = 1, \cdots, m} \\ \end{aligned} } \right. $$ (13)

                        其中, $ f( {{\xi}} ),{g_i}({{\xi}} ) $ 是光滑向量場, $ {u_i} $ , $ {{\rho _i}} $ 分別是系統輸入和輸出.

                        定義 1(向量相對階). 對式(13)表示的多變量非線性系統, 在 $ {{{\xi}} _0} $ 處有一個向量相對階 $ ({r_1}, \cdots ,{r_m}) $ , 當且僅當在 $ {{{\xi}} _0} $ 的鄰域內滿足對所有 $k < {r_i} - 1,$ $1 \le i \le m,$ $ 1 \le j \le m $

                        $$ {L_{{ {{{g_j}}}}}}L_{ {{f}}}^k{h_i}({{\xi}} ) = 0 $$ (14)

                        同時 $ m \times m $ 階矩陣

                        $$ E = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{L_{{{{g_1}}}}}L_{{f}}^{{r_1} - 1}{h_1}({{\xi}} )}& \cdots &{{L_{{{{g_m}}}}}L_{{f}}^{{r_1} - 1}{h_1}({{\xi}} )}\\ \vdots &{{\ddots}}& \vdots \\ {{L_{{{{g_m}}}}}L_{{f}}^{{r_m} - 1}{h_m}({{\xi}} )}& \cdots &{{L_{{{{g_m}}}}}L_{{f}}^{{r_m} - 1}{h_m}({{\xi}} )} \end{array}} \right] $$ (15)

                        $ { {{{\xi}}} _0} $ 處可逆, 式中 $ L( \cdot ) $ 為李導數算子.

                        定義2(零動態與平凡零動態). 對于定義在 $ t = 0 $ 鄰域內的所有 $ t $ , 如果存在由一個初始狀態和一個輸入函數組成的對, 它們使系統的輸出在 $ t = 0 $ 鄰域內恒為零, 這種情況下系統的動態稱為零動態. 如果系統的零動態對應唯一的常量狀態和常量輸入, 則稱系統具有平凡零動態.

                        非線性系統的零動態是線性系統零點概念的推廣. 簡單來說, 通過控制輸入使輸出恒為0時系統的內動態即稱為零動態. 它描述了系統“不可觀測”的那一部分性質. 下面的引理提供了通過系統零動態考察系統能控性的方法.

                        引理1. 對于式(13)描述的系統, 如果它有平凡零動態, 那么它可通過動態擴展算法得到一個可正則化的擴展, 并經過動態反饋與坐標變換轉換成線性和能控的系統[8].

                        定理1. 由式(11)和式(12)描述的系統具有平凡零動態, 因此它可通過動態擴展算法轉換成一個線性和能控的系統.

                        證明. 由于四旋翼吊掛運輸系統是以載荷位置為平滑輸出的微分平滑系統[5, 16], 這意味著系統的狀態和輸入均可表示成平滑輸出及其導數的形式, 如果能得到它們之間的解析表達式, 根據定義2, 只要令表達式中的平滑輸出及其導數為0, 即可得到系統的零動態, 下面基于這一思路求系統零動態.

                        設系繩上張力為 $ {{T}} $ ( $ {{T}} $ 為矢量, 且 ${{T}}\!=\! [{{T_x}}\;\;{{T_y}}\;\;{{T_z}} ]^{\rm{T}})$ , 在地面系, 對 $ {m_l} $ 應用牛頓第二定律有

                        $$ {{T}} = m_l \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\ddot x_l } \\ {\ddot y_l } \\ {\ddot z_l - g} \\ \end{array}} \right] $$ (16)

                        當系繩張緊時, $ {{T}} $ 所在方向即繩的方向, 因此方位角 $ \beta $ 可由下式求得

                        $$ \beta = \arccos \left(\frac{{{{\ddot z}_l} - g}}{{\sqrt {{{({{\ddot x}_l})}^2} + {{({{\ddot y}_l})}^2} + {{({{\ddot z}_l} - g)}^2}} }} \right) $$ (17)

                        式(17)為 $ \beta $ 關于 ${\ddot { X}_L}$ 的函數. 令 ${\ddot { X}_L}= 0$ , 得 $\beta = 0.$ 代入輸出方程(12), 并令 ${{ X_L}} = 0$ , 得 $x = 0, y = 0, z = {l_2}.$ 再代入狀態方程(11), 得 ${u_{ox}} = {u_{oy}} = 0, {u_{oz}} = - mg .$

                        下面考察 $ \alpha $ , 根據 $ {T} $ 的方向矢量得到關系

                        $$ \alpha = \arctan \left(\frac{{{{\ddot y}_l}}}{{{{\ddot x}_l}}}\right) $$ (18)

                        $ {\ddot X_L} = 0 $ 時, 右邊分式中分子分母均為0, 無法求出 $ \alpha $ 的值. 聯系系統的物理含義, $ \alpha $ 定義為系繩在 $ x'oy' $ 平面的投影與 $ Ox' $ 軸正向的夾角, 當 $ {\beta} = 0 $ 時, 系繩處于豎直方向, 系繩在 $ x'oy' $ 平面的投影退化到一點. 在這種情況下, $ \alpha $ 無定義. 事實上, 系統在此時由5維退化到4維, 變量 $ \beta = 0,x = 0,y = 0,z = {l_2} $ 已經確定了系統的常量狀態, 此狀態即為系統的平凡零動態. 根據定義2和引理1可知, 系統可通過動態擴展算法轉換成一個線性和能控的系統. □

                        上面的證明過程表明, 對于微分平滑系統, 由于系統狀態和輸入均可表示成平滑輸出及其導數的函數, 當平滑輸出及其導數為0時, 如果系統狀態和輸入有定義, 那么它一定是一個常量. 因此系統有平凡零動態, 可以通過動態擴展算法轉換成線性和能控的系統, 我們把這個結論歸納如下.

                        推論1. 如果一個系統是微分平滑的, 那么它可通過動態擴展算法轉換成線性和能控的系統.

                      • 下面運用動態擴展算法[17-18]對系統(11)和(12)進行轉換. 由于系統的非線性項主要集中在狀態方程(11)的第4個和第5個子式, 為簡化表達式, 進行如下變量代換:

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {\dfrac{{ - {u_{ox}}{S_\alpha } + {u_{oy}}{C_\alpha }}}{{{m_q}l{S_\beta }}} - 2\dot \alpha \dot \beta {C_\beta }{S_\beta } = {u_1}} \\ & {\dfrac{{{u_{ox}}{C_\beta }{C_\alpha } + {u_{oy}}{C_\beta }{S_\alpha } + {u_{oz}}{S_\beta }}}{{2{m_q}l{S_\beta }{C_\beta }}} = {u_2}} \\ & {\dfrac{{{u_{ox}}{C_\beta }{C_\alpha } + {u_{oy}}{C_\beta }{S_\alpha } - {u_{oz}}{S_\beta }}}{{2{m_q}l{S_\beta }{C_\beta }}} = {u_3}} \\ \end{aligned} } \right. $$ (19)

                        這樣, 狀態方程變為

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {\dfrac{{\ddot x}}{{{l_2}}} = ({u_2} + {u_3}){S_\beta }{C_\alpha } - {u_1}{S_\beta }{S_\alpha } - 2\dot \alpha \dot \beta {C_\beta }{S_\alpha }{\rm{ }}} \\& {\dfrac{{\ddot y}}{{{l_2}}} = ({u_2} + {u_3}){S_\beta }{S_\alpha } + {u_1}{S_\beta }{C_\alpha } + 2\dot \alpha \dot \beta {C_\beta }{C_\alpha }{\rm{ }}} \\ & {\dfrac{{\ddot z}}{{{l_2}}} = ({u_2} - {u_3}){C_\beta } +\dfrac g{l_2}{\rm{ }}} \\ & {\ddot \beta = 2{u_3}{S_\beta }{C_\beta } + {{\dot \alpha }^2}{S_\beta }{C_\beta }{\rm{ }}} \\ & {\ddot \alpha = {u_1}{\rm{ }}} \\ \end{aligned} } \right. $$ (20)

                        $$ \begin{split} {{{\xi}}} =& {\left[ {\begin{array}{c} {{\xi _1},} \; {{\xi _2},} \; {{\xi _3},} \; {{\xi _4},} \; {{\xi _5},} \; {{\xi _6},} \; {{\xi _7},} \; {{\xi _8},} \; {{\xi _9},} \; {{\xi _{10}}} \end{array} } \right]^{\rm{T}}} = \\ & {\left[ {\begin{array}{c} {x,}\;{\dot x,}\;{y,}\;{\dot y,}\;{z,}\;{\dot z,}\;{\beta ,}\;{\dot \beta ,}\;{\alpha ,}\;{\dot \alpha } \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{split} $$ (21)

                        則狀態方程和輸出方程變為如下的形式

                        $$ {\dot {{\xi}}} = f({{{\xi}}} ) + { {{{{{g}}_1}}}}( {{{\xi}}} ){u_1} + { {{{{{g}}_2}}}}( {{{\xi}}} ){u_2} + { {{{{{g}}_3}}}}( {{{\xi}}} ){u_3} $$ (22)
                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {{h_1} = {x_l} = {\xi _1} - {l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}}} \\ & {{h_2} = {y_l} = {\xi _3} - {l_2}{S_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}}} \\ & {{h_3} = {z_l} = {\xi _5} - {l_2}{C_{{\xi _7}}}} \end{aligned} } \right. $$ (23)

                        其中

                        $${{f}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\xi _2}}\\ { - 2{l_2}{\xi _8}{\xi _{10}}{C_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}}}\\ {{\xi _4}}\\ {2{l_2}{\xi _8}{\xi _{10}}{C_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}}}\\ {{\xi _6}}\\ g\\ {{\xi _8}}\\ {\xi _{10}^2{S_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _7}}}}\\ {{\xi _{10}}}\\ 0 \end{array}} \right],\;\;{{{g}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - {l_2}{S_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}}}\\ 0\\ {{l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}}}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right]$$
                        $$ {{{g}}_2} = \left[ {\begin{array}{c} 0 \; \\ {{l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}}} \; \\ 0\; \\ {{l_2}{S_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}}} \\ 0 \\ {{l_2}{C_{{\xi _7}}}} \\ 0 \\ 0\; \\ 0 \; \\ 0 \; \\ \end{array} } \right],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{ {{g}}_3} = \left[ {\begin{array}{c} 0 \\ {{l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}}} \\ 0 \\ {{l_2}{S_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}}} \\ 0 \\ { - {l_2}{C_{{\xi _7}}}} \\ 0 \\ {2{S_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _7}}}} \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right] \\ $$

                        下面利用動態擴展算法求系統相對階, 算法基本步驟為:

                        步驟1. 從低階到高階依次求平滑輸出 $ {h_1},{h_2},{h_3} $ 關于系統向量場 $ {{f}} $ ${{g}}_1, {{g}}_2, {{g}}_3$ 的李導數, 直到某個控制變量前的系數非0.

                        步驟2. 判斷控制輸入變量前的系數矩陣是否可逆, 如果可逆, 則求解過程結束; 否則進入步驟3.

                        步驟3. 按照文獻[5]中的迭代方式引入新的狀態變量和坐標變換公式, 將原系統的向量場擴展為新的形式, 然后回到步驟1.

                        重復上述過程, 直到系數矩陣可逆的情況出現. 具體求解過程如下:

                        1)第1次求相對階

                        $ {h_1} $ 第1次求導得

                        $$ \begin{split} &{L_{{{{g_1}}}}}{h_1} = \;0,\;\;{L_{{ {{g_2}}}}}{h_1} = 0,\;\;{L_{{{{g_3}}}}}{h_1} = 0 \\ &{L_{{f}}}{h_1} = {\xi _2} + {l_2}{\xi _{10}}{S_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}} - {l_2}{\xi _8}{C_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}} \end{split} $$

                        第2次求導得

                        $$ \begin{split} &{L_{ {{{g_1}}}}}{L_{ {{f}}}}{h_1} = 0,\;\;{L_{{ {{g_2}}}}}{L_{{f}}}{h_1} = {l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}} \\ & {L_{{ {{g_3}}}}}{L_{{{f}}}}{h_1} = - {l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{2{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}} \end{split} $$

                        出現不等于0的系數, 因此 $ {h_1} $ 可能的相對階為2.

                        同理, 對 $ {h_2}, {h_3} $ 求相對階得

                        $$ \begin{split} & {L_{{ {{g_1}}}}}{h_2} = 0,\;{L_{{ {{g_2}}}}}{h_2} = 0,\;{L_{{ {{g_3}}}}}{h_2} = 0 \\ & {L_{{ {{g_1}}}}}{L_{{f}}}{h_2} = 0,\; {L_{{ {{g_2}}}}}{L_{{f}}}{h_2} = {l_2}{S_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}} \\ & {L_{ {{{g_3}}}}}{L_{{f}}}{h_2} = - {l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{2{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}} \\ & {L_{{ {{g_1}}}}}{h_3} = 0,\;{L_{{ {{g_2}}}}}{h_3} = 0,\;{L_{ {{{g_3}}}}}{h_3} = 0 \\ & {L_{{ {{g_1}}}}}{L_{{f}}}{h_3} = 0 ,\;{L_{{ {{g_2}}}}}{L_{{f}}}{h_3} = {l_2}{C_{{\xi _7}}} \\ & {L_{{ {{g_3}}}}}{L_{{f}}}{h_3} = - {l_2}{C_{{\xi _7}}}{C_{2{\xi _7}}} \end{split} $$

                        $ {h_2}, {h_3} $ 經過2次求導, 出現控制輸入, 它們可能的相對階都是2, 矩陣E

                        $$ E = \left[ {\begin{array}{c} \;{0} \; \;\;\;{{l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}}} \;\;\;\; { - {l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{2{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}}} \\ {0} \;\;\;\; {{l_2}{S_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}}} \;\;\;\; { - {l_2}{S_{{\xi _7}}}{C_{2{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}}} \\ {0} \quad \;\; {{l_2}{C_{{\xi _7}}}} \quad \quad \quad { - {l_2}{C_{{\xi _7}}}{C_{2{\xi _7}}}} \;\; \end{array} } \right] $$

                        觀察 $ E $ 的第2列和3列是線性相關的, 因此 $ Rank(E) = 1 $ .

                        3. 推導過程涉及求多變量函數的李導數, 手工計算難度較大, 本文利用 ${\rm{MATLAB }}$ 的符號運算功能輔助設計.

                        2)動態擴展第1次迭代

                        $ L_{{f}}^2{h_3} + E(3,2){u_2} + E(3,3){u_3} = {\eta _1} $ , 則輸入變為

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {{u_2} = \dfrac{{{\eta _1} - L_{{f}}^2{h_3}}}{{E(3,2)}} - \dfrac{{E(3,3){v_3}}}{{E(3,2)}}} \\ & {{u_1} = {v_1}} \\ & {{u_3} = {v_3}} \\ \end{aligned} } \right. $$ (24)

                        擴充狀態 $ {\dot \eta _1} = {v_2} $ , 把 $ {u_2} $ 代入式(22), 系統向量場變為

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} &{{\tilde {{\xi}}} = {{\left[ {{\xi _1},}\; {{\xi _2},} \; {{\xi _3},} \; {{\xi _4},} \; {{\xi _5},} \; {{\xi _6},} \; {{\xi _7},} \; {{\xi _8},} \; {{\xi _9},} \; {{\xi _{10}},} \; {{\eta _1}} \right]}^{\rm{T}}}} \\ & {\tilde { f} = {{\left[ {f + {{{{g}}_2}}\frac{{\xi _{11}} - L_{{f}}^2{h_3}}{E(3,2)},} \; 0 \right]}^{\rm{T}}}} \\ & {{{{{\tilde g}}}_1} = {{\left[ {{{{{g}}}_1,}} \; 0 \right]}^{\rm{T}}} } \\ & { {{{{\tilde g}}}_2} = {{\left[ {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; 1 \right]}^{\rm{T}}} } \\ & { {{{{\tilde g}}}_3} = {{\left[ \frac{{{ {{g}}_3} }- {{ {{g}}_2}}E(3,3)}{E(3,2)},\; 0 \right]}^{\rm{T}}} } \end{aligned} } \right. $$ (25)

                        3)第2次求相對階

                        $ {h_1} $ 第1次求導得

                        $$ {L_{ {{\tilde g}_1}}}{h_1} = 0,\;{L_{ {{\tilde g}_2}}}{h_1} = 0,\;{L_{{{\tilde g}_3}}}{h_1} = 0 $$

                        第2次求導得

                        $$ {L_{ {{\tilde g}_1}}}{L_{\tilde { f}}}{h_1} = 0,\;{L_{ {{\tilde g}_2}}}{L_{\tilde { f}}}{h_1} = 0,\;{L_{ {{\tilde g}_3}}}{L_{\tilde { f}}}{h_1} = 0 $$

                        第3次求導得

                        $$ {L_{{ {\tilde g}_1}}}L_{\tilde { f}}^2{h_1} = 0,\;{L_{{\tilde { g}_2}}}L_{\tilde { f}}^2{h_1} = \tan {\xi _7}{C_{{\xi _9}}},\;{L_{{ {\tilde g}_3}}}L_{\tilde { f}}^2{h_1} = 0 $$

                        出現不等于0的系數, 因此 $ {h_1} $ 可能的相對階為3.

                        同理, 對 $ {h_2}, {h_3} $

                        $$ \begin{split} & {L_{ {{\tilde g}_1}}}{h_2} = {L_{ {{\tilde g}_2}}}{h_2} = {L_{ {{\tilde g}_3}}}{h_2} = 0 \\ & {L_{ {{\tilde g}_1}}}{L_{\tilde { f}}}{h_2} = {L_{ {{\tilde g}_2}}}{L_{\tilde { f}}}{h_2} = {L_{{{\tilde g}_3}}}{L_{\tilde { f}}}{h_2} = 0 \\ &{L_{ {{\tilde g}_1}}}L_{_{\tilde { f}}}^2{h_2} = {L_{ {{\tilde g}_3}}}{L_{\tilde { f}}}{h_2} = 0\\ &{L_{{{\tilde g}_2}}}L_{_{\tilde { f}}}^2{h_2} = \tan {\xi _7}{S_{{\xi _9}}} \\ &{L_{{{\tilde g}_1}}}{h_3} = {L_{ {{\tilde g}_2}}}{h_3} = {L_{ {{\tilde g}_3}}}{h_3} = 0 \\ &{L_{ {{\tilde g}_1}}}{L_{\tilde { f}}}{h_3} = {L_{ {{\tilde g}_2}}}{L_{\tilde { f}}}{h_3} = {L_{ {{\tilde g}_3}}}{L_{\tilde { f}}}{h_3} = 0 \\ &{L_{ {{\tilde g}_1}}}L_{_{\tilde { f}}}^2{h_3} = {L_{ {{\tilde g}_3}}}{L_{\tilde { f}}}{h_3} = 0\\ &{L_{ {{\tilde g}_2}}}L_{_{\tilde {f}}}^2{h_3} = 1 \end{split} $$

                        即對 $ {h_2}, {h_3} $ 求導3次, 出現控制輸入, 因此它們可能的相對階都是3, 矩陣E

                        $$ E = \left[ {\begin{array}{c} {0} \;\;\; {\tan {\xi _7}{C_{{\xi _9}}}} \;\;\; 0 \\ {0}\;\; \; {\tan {\xi _7}{S_{{\xi _9}}}}\;\; \; 0\\ {0}\!\! \quad\quad \quad{1} \quad\quad \;0 \\ \end{array} } \right] $$

                        顯然矩陣E仍然不可逆, 且 $ Rank(E) = 1 $ .

                        4)動態擴展第2次迭代

                        $ {v_2} = {\eta _2} $ , 則輸入變為

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {{v_2} = {\eta _2}} \\& {{v_1} = {w_1}} \\& {{v_3} = {w_3}} \\ \end{aligned} } \right. $$ (26)

                        擴充狀態為

                        $$ {\dot \eta _2} = {w_2} $$

                        $ {v_2} $ 代入式(25), 系統新的狀態變量和向量場為

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & { {\bar \xi} = {{{\left[ {{\xi _1},} \; {{\xi _2},} \; {{\xi _3},} \; {{\xi _4},} \; {{\xi _5},} \;{{\xi _6},} \;{{\xi _7},} \;{{\xi _8},} \;{{\xi _9},} \; {{\xi _{10}},} \; {{\eta _1},} \; {{\eta _2}} \right]}^{\rm{T}}}}}\\ & { {\bar f} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { {\tilde f} + { g_2}{\eta _2}} \\ 0 \end{array}}\right]} \\ & {\bar { g_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { {{{{\tilde g}}}_1}} \\ 0 \end{array}}\right]} \\ & {\bar{{ g}_2} = {{\left[ {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; {0,} \; 1 \right]}^{\rm{T}}}} \\ & {{{\bar g}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{{{{\tilde g}}}_3}} \\ 0 \end{array}} \right]} \end{aligned} } \right. $$ (27)

                        5)第3次求相對階

                        再次對 $ {h_1}, {h_2}, {h_3} $ 求導(省略求導過程), 第4次求導時出現控制輸入, 對應的矩陣E

                        $$ \left[\!\!\! {\begin{array}{c} {\dfrac{{{\xi _8}{C_{{\xi _9}}}\! -\! {\xi _{10}}{C_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _9}}}}}{{C_{{\xi _7}}^2}}} \;\; {\tan {\xi _7}{C_{{\xi _9}}}}\;\; {2\tan {\xi _7}{C_{{\xi _9}}}({\eta _1} \!+\! g)} \\ {\dfrac{{{\xi _8}{S_{{\xi _9}}} \!+\! {\xi _{10}}{C_{{\xi _7}}}{S_{{\xi _7}}}{C_{{\xi _9}}}}}{{C_{{\xi _7}}^2}}} \;\; {\tan {\xi _7}{S_{{\xi _9}}}} \;\; {2\tan {\xi _7}{S_{{\xi _9}}}({\eta _1} \!+\! g)} \\ \quad 0 \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad 0 \\ \end{array} } \!\!\!\right] $$

                        矩陣E的行列式為

                        $$ \det (E) = 2{\xi _{10}}({\eta _1} + g){\tan ^2}{\xi _7} $$

                        ${\xi _{10}} \ne 0,{\eta _1} \ne - g,{\xi _7} \ne {{\text{π}} }/{2}$ 時, $ \det(E)\ne0 $ , 矩陣E可逆. 因此系統非奇異點集為 ${ {{{\xi}} ^q}} = \{ {\xi} |{\xi _7} \ne {{\text{π}} }/{2}, {\xi _{10}} \ne 0,$ $ {\xi _{11}} \ne - g\} $ [15]. 這就是說以 $ ( {\xi} ,{\eta _{\rm{1}}},{\eta _{\rm{2}}}) $ 為新狀態變量, 以 $ ({w_1},{w_2},{w_3}) $ 為新輸入, 以 $ {\bar f}, {{{{\bar g}}}_1}, {{{{\bar g}}}_2},{{{{\bar g}}}_3}$ 為系統向量場的擴展系統, 在非奇異點集上對輸出 $ ({x_l},{y_l},{z_l}) $ 有不變向量相對階 $ {r_1} = {r_2} = {r_3} = 4 $ , 并且相對階滿足

                        $$ {r_1} + {r_2} + {r_3} = n = 12 $$
                      • 對于擴展系統(27), 由于矩陣E可逆, 可解出反饋輸入

                        $$ \left[ {\begin{array}{c} {{w_1}} \\ {{w_2}} \\ {{w_3}} \\ \end{array} } \right] = {E^{ - 1}} \left(\left[ {\begin{array}{c} {x_l^{(4)} - L_{ {\bar f}}^4{h_1}} \\ {y_l^{(4)} - L_{ {\bar f}}^4{h_2}} \\ {z_l^{(4)} - L_{ {\bar f}}^4{h_3}} \\ \end{array} } \right]\right) $$ (28)

                        引入跟蹤誤差

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {{e_1} = {x_l}(t) - {x_l}^*(t)} \\ & {{e_2} = {y_l}(t) - y_l^*(t)} \\ & {{e_3} = {z_l}(t) - z_l^*(t)} \\ \end{aligned} } \right. $$

                        其中, $ {x_l}^*(t),{y_l}^*(t),{z_l}^*(t) $ 表示參考軌跡. 令

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {x_l^{(4)} = x{{_l^*}^{(4)}} - \sum\limits_{j = 0}^3 {{k_{1,j}}} e_1^{(i)}} \\ & {y_l^{(4)} = y{{_l^*}^{(4)}} - \sum\limits_{j = 0}^3 {{k_{2,j}}} e_2^{(i)}} \\ & {z_l^{(4)} = z{{_l^*}^{(4)}} - \sum\limits_{j = 0}^3 {{k_{3,j}}} e_3^{(i)}} \\ \end{aligned} } \right. $$ (29)

                        選擇系數 ${k_{i,j}}\;(i = 1,2,3,j = 0,1,2,3)$ 使多項式

                        $$ {p_i}(s) = {s^4} + {k_{i,3}}{s^3} + {k_{i,2}}{s^2} + {k_{i,1}}s + {k_{i,0}} $$

                        為HURITZ多項式, 則式(27)和式(28)構成的閉環系統是跟蹤誤差指數收斂的系統[17].

                        系統擴展后控制結構如圖2所示, 圖中載荷的參考軌跡 $ {{X}}_L^* $ 由軌跡規劃器產生, 從運輸系統的輸出中采集 ${{{X}}_L}$ 及其高階導數 $ {{X}}_L^{(1)},{{X}}_L^{(2)},{{X}}_L^{(3)} $ , 代入線性反饋式(29)和式(28), 得到 $ {w_1},{w_2},{w_3} $ . 其中, $ {w_2} $ 經過2個積分器, 聯合 $ {w_3} $ , 代入式(24)得到 $ {u_2} $ . 而 $ {w_1},{w_3} $ $ {u_1},{u_3} $ , 再經過變量代換式(19), 得到實際的控制輸入 $ {u_{ox}},{u_{oy}},{u_{oz}} $ . 從圖中可以看出, 在控制輸入 $ {u_2} $ 前疊加了2個積分器, 這意味著系統的控制輸入不僅與系統當前狀態有關, 還與 $ {u_2} $ 的一、二階導數有關, 控制量本身是受微分方程控制的動態過程, 這就是動態反饋的特點.

                        圖  2  跟蹤控制系統結構圖

                        Figure 2.  Tracking controller block diagram

                        4. 與文獻[6]中的控制結構不同, 上圖給出的控制結構是單級的. 即給出系統的實際狀態和參考軌跡以后, 控制系統只需通過一次精確的數學計算即可得到控制輸入. 只是為便于對這個過程的理解, 上圖把控制輸入的計算過程按照邏輯關系分解為幾個步驟, 這是數學計算的分解而不是控制環節的分解. 而在文獻[6]中, 對載荷位置和系繩方位的控制是分兩級的, 在控制系繩方位時, 假定載荷位置已經完成了控制. 因此省略了它們之間的非線性耦合關系, 未考慮同時變化的情況.

                      • 為驗證本文所提方法的有效性, 選擇下面兩種典型曲線作為參考軌跡進行MATLAB仿真, 檢驗控制器的跟蹤效果, 仿真中使用的參數如表1.

                        表 1  仿真中使用的模型參數

                        Table 1.  Model parameters in the simulations

                        變量 參數 單位
                        mq 0.4 kg
                        ml 0.1 kg
                        l1 0.8 m
                        l2 0.2 m
                        g ?9.8 m·s?2

                        另外, 控制系統需要不斷獲取載荷位置的高階導數, 仿真中采用的算法如下:

                        1)每次系統產生新狀態后, 將載荷最近6個軌跡點數據與相應的時間點存放于 $ 4 \times 6 $ 二維數組中, 數組的每列由位置坐標和對應的時間構成, 表示為 ${[ x, \; y, \; z, \; t \\ ]^{\rm{T}}}$ , 代表一個軌跡點;

                        2)取第4行時間值和第1行 $ x $ 坐標值, 對6個點數據進行5次多項式擬合. 同理, 對 $ y, z $ 坐標的軌跡進行擬合;

                        3)對擬合曲線求1到3階導數, 即得到當前時刻載荷的高階導數值.

                        5. 在實際應用環境下, 控制系統需要獲取系統質心位置, 系繩方位角等狀態變量. 由于載荷位置是系統的平滑輸出, 而系統狀態變量都可以用平滑輸出及其導數的函數表示. 因此, 只需設計傳感器采集載荷位置, 再結合上述擬合曲線求導算法, 就能得到需要的系統狀態變量. 關于載荷位置的觀測參見文獻[19].

                      • 在災區救援時, 載荷可能需要圍繞建筑物做螺旋上升運動, 開展近距離探測或噴灑作業. 針對此種應用場景, 設計了三維空間的一條螺旋曲線作為參考軌跡考察控制系統的跟蹤效果, 螺旋曲線方程為

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {{x_l}(t) = 10\cos (t)} \\ & {{y_l}(t) = 10\sin (t)} \\ & {{z_l}(t) = t} \\ \end{aligned} } \right. $$ (30)

                        選擇下面的 ${\rm{Hurwitz }}$ 多項式

                        $$ {p_i}(s) = {(s + 3)^4}{\rm{ }} $$ (31)

                        展開上式得反饋系數集為

                        $$ \{ {k_{i,0}},{k_{i,1}}{\rm{,}}{k_{i,2}},{k_{i,3}}\} {\rm{ = }}\{ {\rm{81}},{\rm{108}},{\rm{54}},{\rm{12}}\} $$ (32)

                        其中, $ i = 1,2,3 $ . 為檢驗誤差收斂效果, 初始位置選擇 $ (x,y,z,\alpha ,\beta ) = ({\rm{11, 1, 0, 0}}{\rm{.5, 0}}) $ , 即載荷初始位置在 $ x, y $ 方向與參考軌跡各有1個單位的誤差. 增加的系統狀態 $ {\eta _1} = {\eta _2} = 1 $ . 需要注意的是, 這里選擇的初始狀態避開了系統奇異點. 時間步長值設置為0.01 s, 仿真時間為10 s. 另外, 將本文所用方法與文獻[5]中方法進行比較, 得到的跟蹤軌跡和軌跡誤差收斂情況如圖3圖4所示.

                        圖  3  兩種控制方法下螺旋曲線跟蹤軌跡對比((a)動態反饋控制方法; (b)幾何控制方法)

                        Figure 3.  Track a spiral curve via two control methods. ((a) Dynamic feedback control; (b) Geometry control)

                        圖  4  兩種控制方法下跟蹤螺旋曲線誤差收斂情況對比((a)動態反饋控制方法; (b)幾何控制方法)

                        Figure 4.  Position errors convergence when tracking a spiral curve via two control methods. ((a) Dynamic feedback control; (b) Geometry control)

                        圖3中, 細實線是螺旋上升的參考軌跡, 粗實線線是實際的載荷軌跡. 圖中還給出了飛行器, 載荷和系繩在部分中間時刻的相對位置. 從圖中可以看出, 載荷在初始誤差下能逐漸趨近并穩定跟蹤參考軌跡. 誤差的收斂曲線如圖4所示, 采用本文動態反饋方法大約經過4 s, 載荷在 $ x, y $ 軸方向的軌跡誤差收斂到原點附近, 見圖4(a). 文獻[5]中幾何控制方法誤差收斂到原點的時間大約是6 s, 見圖4(b). 從對比情況看, 在同樣初始誤差的情況下, 本文設計的控制器誤差收斂更快. 它的代價是在跟蹤過程中要不斷采集控制變量本身的值和其導數值, 控制變量不僅依賴系統此刻的狀態, 還依賴它的歷史數據.

                        另外, 從圓周運動規律可知, 要牽引載荷做圓周運動, 提供向心力的飛行器必須位于圓心方向, 因此圖3中的飛行器軌跡位于載荷軌跡內側. 圖5圖6分別是軌跡跟蹤曲線在 $ xoy $ 平面和 $ xoz $ 平面的投影, 它們更加清晰地反映了此特點. 螺旋曲線投影到 $ xoy $ 平面變成圓周曲線(見圖5), 投影到 $ xoz $ 平面變成正弦曲線(見圖6). 在這兩種投影方式下, 飛行器在初始時刻都位于曲線外側, 跟蹤過程開始以后, 飛行器迅速從外側移動到內側(圓心方向), 從而為載荷的曲線運動提供向心力. 控制輸入曲線見圖7, 跟蹤過程中最大的控制力出現在最初的2 s內, 大約為20 N. 這對應飛行器從外側移動到內側的過程.

                        圖  5  xoy平面螺旋曲線跟蹤軌跡

                        Figure 5.  Trajectory in xoy plane when tracking a spiral curve

                        圖  6  xoz平面螺旋曲線跟蹤軌跡

                        Figure 6.  Trajectory in xoz plane when tracking a spiral curve

                        圖  7  螺旋曲線跟蹤過程中控制力曲線

                        Figure 7.  Curve of the control force when tracking a spiral curve

                        跟蹤過程中系繩的振蕩曲線如圖8所示, 圖中給出了系繩與豎直方向夾角 $ \beta $ 及其角速度 $ \beta^{(1)} $ 的變化曲線. 經過初始階段的調整之后, $ \beta $ 角穩定在 $0.7\;{\rm{rad}}$ (約40度)附近, 其角速度穩定在0附近. 此時系繩掃過的曲面近似于以縱軸為中心夾角為40度的圓錐曲面. 系繩在如此大角度運動的情況下, 采用局部線性化逼近的方法是不適合的, 而本文設計的控制器在此情況下仍保持了良好的跟蹤效果.

                        圖  8  螺旋曲線跟蹤過程中系繩振蕩角曲線

                        Figure 8.  Curve of swing angel on the cable when tracking a spiral curve

                      • 由于本文設計的控制器允許吊繩發生較大角度的振蕩, 因此當參考軌跡的曲線特征發生變化時, 能較快地實現跟蹤. 文獻[7]中基于分段控制方法設計的控制器, 當參考軌跡發生變化時, 控制器首先抑制吊繩上產生的振蕩, 待振蕩消除后再執行軌跡跟蹤, 因此其軌跡收斂速度較慢. 為了說明這一點, 選擇頻率變化的圓周曲線作為參考軌跡對兩種控制方法的跟蹤效果進行驗證. 曲線定義為

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} & {{x_l}(t) = 5\cos \left(\dfrac{{2{\text{π}} }}{{T}}t\right)} \\ & {{y_l}(t) = 5\sin \left(\dfrac{{2{\text{π}} }}{{T}}t\right)} \\ & {{z_l}(t) = 0} \\ \end{aligned} } \right. $$ (33)

                        其中,T是圓周運動的周期, 仿真中T $ 2\pi $ 切換到 $ \pi $ , 對應的角頻率從 $1\;{\rm{rad/s}}$ $2\;{\rm{rad/s}}$ . 載荷的初始狀態為 $ (x,y,z,\alpha ,\beta ) = ({\rm{5, 1, 0, 1, 0}}) $ , 其他仿真參數不變, 軌跡跟蹤情況如圖9所示.

                        圖  9  兩種控制方法跟蹤圓周曲線軌跡對比(a)動態反饋控制方法; (b)分段控制方法

                        Figure 9.  Track a circle via two control methods. (a) Dynamic feedback control; (b) Two-time-scale control

                        圖9(a)是本文動態反饋控制方法得到的跟蹤軌跡, 圖9(b)是文獻[7]中分段控制方法得到的跟蹤軌跡. 其中細實線是參考軌跡, 粗實線是載荷實際軌跡. 兩圖中載荷軌跡逐漸趨近并跟蹤參考軌跡, 都能實現軌跡跟蹤的效果. 但分段控制方法產生的軌跡重合點滯后一些, 這說明其實現軌跡跟蹤需要的過程較長. 這一點也可以從兩種控制方法得到的誤差收斂曲線看出來. 圖10(a), 圖10(b)分別是兩種控制方法軌跡誤差收斂曲線. 從圖中可以看出, 隨著參考軌跡頻率的改變, 軌跡誤差經過了兩次收斂過程, 本文動態反饋控制方法誤差收斂時間大約在3 s 左右, 而分段控制方法誤差收斂時間則接近5 s, 這說明本文設計的控制器在參考軌跡特征發生變化時能更快地實現軌跡跟蹤. 這個特點在吊掛運輸系統執行緊急任務時是很有必要的.

                        圖  10  兩種控制方法跟蹤圓周曲線誤差收斂情況對比((a)動態反饋方法; (b)分段控制方法)

                        Figure 10.  Position errors convergence when tracking a circle curve via two control methods. ((a) Dynamic feedback control; (b) Two-time-scale control)

                        圖11 是跟蹤過程中飛行器軌跡的變化曲線, 從圖中可以看出, 飛行器 $ x,y $ 坐標是正余弦曲線. 參考軌跡頻率切換后, 正余弦曲線的幅值減小, 頻率增加, 同時z坐標也減小. 這說明隨著參考軌跡頻率的增大,飛行器的頻率同步增加, 而飛行器軌道半徑和豎直方向的高度同步減小. 這是因為隨著載荷頻率增加, 運轉角速度增大, 需要的向心力更大. 這個更大的向心力通過增加繩與豎直方向的夾角來提供. 圖12 $ \beta $ 角變化曲線也反映出這一點. 頻率切換后, 繩與豎直方向夾角從0.5 rad 增加到1 rad. 在載荷 $ z $ 坐標不變的情況下, $ \beta $ 角增加就意味著飛行器高度降低.

                        圖  11  跟蹤過程中四旋翼位置變化曲線

                        Figure 11.  Position curve of quadrotor when tracking

                        圖  12  跟蹤過程中 $ \beta $ 角變化曲線

                        Figure 12.  Curve of $ \beta $ when tracking

                      • 本文研究了四旋翼吊掛運輸系統在三維空間下的軌跡跟蹤問題. 得到的結論有: 1)運輸系統可以分解為兩個相互耦合的子系統, 基于廣義拉格朗日方法可以獲得系統精確的動力學模型; 2)運輸系統具有平凡零動態, 因此是可線性化和能控的; 3)采用標準的動態擴展算法可以將原系統等價轉化為總相對階與系統維數相等的線性能控系統; 4)仿真結果表明所設計的控制器誤差收斂時間短, 對參考軌跡的頻率變化具有自適應性, 能較好地實現系繩大角度振蕩情況下載荷軌跡的跟蹤.

                        對于一個非線性多變量系統, 需要滿足什么條件以及采用什么方法來實現精確反饋線性化, 經典非線性控制理論中針對這些問題給出的解決方法比較復雜, 在實際應用中較難實現. 本文結合微分平滑和動態反饋線性化理論提出了一套簡單可行的判斷和實現方法. 該方法適合于一類具有微分平滑性的多變量非線性系統. 后續研究將會考慮將此方法擴展應用于多四旋翼協同運輸問題, 這是解決單四旋翼有效載荷不足的有效途徑.

                    參考文獻 (19)

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