2.793

                    2018影響因子

                    (CJCR)

                    • 中文核心
                    • EI
                    • 中國科技核心
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                    自動駕駛環境下交叉口車輛路徑規劃與最優控制模型

                    吳偉 劉洋 劉威 吳國弘 馬萬經

                    吳偉, 劉洋, 劉威, 吳國弘, 馬萬經. 自動駕駛環境下交叉口車輛路徑規劃與最優控制模型. 自動化學報, 2020, 46(9): 1971?1985. doi: 10.16383/j.aas.c190002
                    引用本文: 吳偉, 劉洋, 劉威, 吳國弘, 馬萬經. 自動駕駛環境下交叉口車輛路徑規劃與最優控制模型. 自動化學報, 2020, 46(9): 1971?1985. doi: 10.16383/j.aas.c190002
                    Wu Wei, Liu Yang, Liu Wei, Wu Guo-Hong, Ma Wan-Jing. A novel autonomous vehicle trajectory planning and control model for connected-and-autonomous intersections. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1971?1985. doi: 10.16383/j.aas.c190002
                    Citation: Wu Wei, Liu Yang, Liu Wei, Wu Guo-Hong, Ma Wan-Jing. A novel autonomous vehicle trajectory planning and control model for connected-and-autonomous intersections. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1971?1985. doi: 10.16383/j.aas.c190002

                    自動駕駛環境下交叉口車輛路徑規劃與最優控制模型


                    DOI: 10.16383/j.aas.c190002
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      長沙理工大學交通運輸工程學院副教授. 主要研究方向為自動駕駛與車路協同環境下的交通控制與管理. 本文通信作者.E-mail: jiaotongweiwu@csust.edu.cn

                      長沙理工大學交通運輸工程學院碩士研究生. 2017年獲得長沙理工大學學士學位. 主要研究方向為交通控制和交叉口管理. E-mail: liuyang@stu.csust.edu.cn

                      澳大利亞新南威爾士大學工程學院助理教授. 主要研究方向為復雜交通系統建模與優化, 交通經濟學, 大數據分析 E-mail: wei.liu@unsw.edu.au

                      北京交通大學博士研究生. 2018年獲得長沙理工大學交通運輸工程學院學士學位. 主要研究方向為聯網自動車軌跡優化, 自治交叉口管理. E-mail: 19114013@bjtu.edu.cn

                      同濟大學教授, 交通運輸工程學院副院長. 主要研究方向為交通設計與控制, 車路協同和共享交通系統.E-mail: mawanjing@#edu.cn

                    • 基金項目:  國家自然科學基金(61773077, 51722809)資助

                    A Novel Autonomous Vehicle Trajectory Planning and Control Model for Connected-and-Autonomous Intersections

                    More Information
                    • Fund Project:  Supported by National Natural Science Foundation of China (61773077, 51722809)
                    • 摘要: 自動駕駛環境下的交叉口基于車車/車路之間的雙向信息交互, 能保障自動駕駛車輛相互穿插與協作地通過交叉口, 而無需信號燈控制. 因此, 如何設計高效的面向自動駕駛車輛通行的交叉口管控模型, 已成為研究的熱點. 已有研究在建模時, 均基于自動駕駛車輛在交叉口內部的行駛路徑已知并作為模型輸入, 且大多對交叉口內部的沖突點進行簡化. 本文首先將交叉口空間離散化處理, 考慮車輛的實際尺寸并面向非常規交叉口, 使用橢圓曲線建立轉彎車輛行駛路徑的精確軌跡方程, 再通過外邊界投影降維法建立軌跡方程和交叉口空間的映射關系. 建立了基于混合整數線性規劃(Mixed integer linear programming, MILP)的自動駕駛交叉口管控模型, 以交叉口總延誤最小為控制目標, 同時優化車輛在交叉口的最佳行駛路徑和駛入時刻, 使用AMPL (A mathematical programming language)對模型進行編譯并使用CPLEX求解器求解. 與經典感應控制和先到先服務模型進行對比, 結果表明, 本文所提出模型能對車輛進入交叉口的時刻和行駛路徑進行雙重優化, 顯著降低自動駕駛車輛通過交叉口的車均延誤, 提高交叉口空間的利用效率.
                    • 圖  1  問題描述示意圖

                      Fig.  1  Diagram of problem description

                      圖  2  交叉口研究區域示意圖

                      Fig.  2  Study area layouts of intersections

                      圖  3  直行軌跡投影點示意圖

                      Fig.  3  Diagram of straight trajectory projection

                      圖  4  轉彎軌跡投影點示意圖

                      Fig.  4  Diagram of turning trajectory projection

                      圖  5  交叉口平面示意圖

                      Fig.  5  Intersection layouts

                      圖  6  感應控制相位圖

                      Fig.  6  Phases of actuated signal control

                      圖  7  車均延誤對比圖

                      Fig.  7  Comparison of average vehicle delays

                      圖  8  不同模型下每輛車延誤對比圖

                      Fig.  8  Comparison of vehicles' delay of different models

                      圖  9  車輛進入網格時刻圖

                      Fig.  9  Time for vehicles entering the grids

                      圖  10  車輛占用網格時刻圖

                      Fig.  10  Characteristic of vehicles occupying the grids

                      表  1  參數說明表

                      Table  1  Parameter definition

                      參數 說明
                      E, W, S, N 交叉口東、西、南、北四個方向
                      O 交叉口進口道, O∈{E, W, S, N}
                      D 交叉口出口道, D∈{E, W, S, N}
                      iO 進口道的第 iO 條車道, 其中 iO∈{ ${\rm{1,2,} } ··· ,{n_O}$ }
                      jD 出口道的第 jD 條車道, 其中 jD∈{ ${\rm{1,2,} } ··· ,{m_D}$ }
                      OiDj 車輛從 O 進口道的第 i 條車道駛向 D 出口道的第 j 條車道, 不考慮掉頭行駛, 因此, 在 OiDj 中, OD
                      nO O 方向進口道的總車道數
                      mD D 方向出口道的總車道數
                      dr 車道寬度 (m)
                      dc 車輛的車身長度 (m)
                      dR 網格邊長 (m)
                      p, q 左轉或右轉車輛, 通行軌跡方程與 x 軸和 y 軸的截距 (m)
                      (α, β) 橢圓的中心, 其中(α1, β1)、(α2, β2)、(α3, β3)、(α4, β4)依次表示橢圓中心在 1, 2, 3, 4 象限
                      Rab 網格 Rx 軸和 y 軸對應的編號分別是 a, b
                      g 進口道一條車道的第 g 輛車, 其中 $g \in \left\{ {1,2,3, ··· ,{G_{Oi} } } \right\}$
                      GOi O 進口道第 i 條進口道上的車輛總數
                      ${t_ {Oi}^g}$ O 方向的第 i 條進口道上車輛 g 理論到達交叉口的時刻 (s)
                      $ t{_{Oi}^g{'}}$ O 方向的第 i 條進口道上車輛 g 實際到達交叉口的時刻 (s)
                      ${T_ {Oi}^g}$ 在進口道 O 的第 i 條車道車輛g 駛入交叉口的時刻 (s)
                      ${t_ {Oi→Dj}^{ab} }$ 軌跡 OiDj 上車輛駛入方格 Rab 的時刻 (s)
                      ${T_ {Oi→Dj}^{ab} }$ 軌跡 OiDj 上車輛駛出方格 Rab 的時刻 (s)
                      ${t_ {ab}^{g} }$ 車輛 g 駛入網格 Rab 的時刻 (s)
                      ${T_ {ab}^{g} }$ 車輛 g 駛出網格 Rab 的時刻 (s)
                      ${w_ {ab}^{g} }$ 二元變量, ωabg = 1 表示車輛 g 壓過網格 Rab; ωabg = 0 表示車輛 g 沒有壓過網格 Rab
                      ${\sigma_ {Oi→Dj}^{g} }$ 二元變量, σOiDjg = 1 表示車輛 g 選擇路徑 OiDj, 即從 O 方向的第 i 條進口道行駛到 D 方向的第 j 條出口道
                      ${\tau_ {Oi→Dj}^{ab} }$ 二元變量, τOiDjab = 1 表示網格 Rab 在軌跡 OiDj 上; τOiDjab = 0 表示網格 Rab 不在軌跡 OiDj
                      μg1g2 二元變量, 表示車輛進入網格的先后次序
                      ${D_ {Oi}^{g} }$ 進口道 O 車道 ig 輛車的延誤 (s)
                      Delay 總延誤 (s)
                      下載: 導出CSV

                      表  2  到達車輛的基本信息表

                      Table  2  Attributes of the arrival vehicles

                      車輛編號 O 轉向 D $t^{g}_{Oi}$ (s)
                      1 S 直行 N 2.29
                      2 S 左轉 W 4.35
                      3 S 右轉 E 2.88
                      4 S 直行 N 5.03
                      5 E 左轉 S 4.95
                      6 E 直行 W 6.04
                      7 E 直行 W 3.46
                      8 E 右轉 N 4.74
                      9 N 左轉 E 3.17
                      10 N 直行 S 5.54
                      11 N 直行 S 3.07
                      12 N 右轉 W 4.16
                      13 W 左轉 N 2.28
                      14 W 直行 E 3.75
                      15 W 右轉 S 3.17
                      16 W 右轉 S 4.55
                      下載: 導出CSV

                      表  3  本文模型計算結果表(s)

                      Table  3  The results of the proposed model (s)

                      車輛編號 最佳路徑 $t_{Oi}^{g'}$ $T^{g}_{Oi}$ 延誤
                      1 S2→N2 2.28 2.28 0.00
                      2 S1→W1 4.37 4.37 0.00
                      3 S2→E2 2.86 3.03 0.17
                      4 S2→N2 5.05 5.05 0.00
                      5 E2→S2 4.94 6.70 1.76
                      6 E2→W2 7.55 7.55 1.49
                      7 E1→W1 3.42 3.63 0.21
                      8 E2→N2 4.71 4.71 0.00
                      9 N2→E2 3.10 5.63 2.53
                      10 N1→S2 6.08 6.08 0.49
                      11 N2→S2 3.08 3.08 0.00
                      12 N2→W2 4.17 4.17 0.00
                      13 W1→N1 2.26 2.26 0.00
                      14 W2→E2 4.99 4.99 1.24
                      15 S2→N2 3.14 3.14 0.00
                      16 S1→W1 5.74 5.74 1.21
                      下載: 導出CSV

                      表  4  本文模型車輛駛入網格的時刻表(s)

                      Table  4  Time of vehicles entering the grids optimized by the proposed model (s)

                      車輛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
                      網格1 ? ? ? ? 8.2 ? ? ? ? 6.98 3.98 ? ? 4.99 3.14 5.74
                      網格2 ? 4.37 ? ? 8.18 ? ? ? ? ? ? ? ? 5.29 3.14 ?
                      網格3 ? 4.37 3.03 ? ? ? ? ? 6.6 ? ? ? ? 5.59 ? ?
                      網格4 2.28 ? 3.03 5.05 ? ? ? ? 6.84 ? ? ? ? 5.89 ? ?
                      網格5 ? 5.31 ? ? 7.88 ? ? ? ? 6.68 3.68 ? 2.26 ? ? ?
                      網格6 ? 4.79 ? ? 7.71 ? ? ? 6.25 ? ? ? 2.56 ? ? ?
                      網格7 ? 4.67 ? ? ? ? ? ? 6.33 ? ? ? 2.91 ? ? ?
                      網格8 2.58 ? ? 5.35 ? ? ? ? 6.74 ? ? ? ? ? ? ?
                      網格9 ? 5.36 ? ? 7.72 ? 4.53 ? ? 6.38 3.38 ? 2.26 ? ? ?
                      網格10 ? 5.07 ? ? 7.4 ? 4.23 ? 5.93 ? ? ? 2.68 ? ? ?
                      網格11 ? 5.02 ? ? 7.09 ? 3.93 ? 5.99 ? ? ? 2.96 ? ? ?
                      網格12 2.88 ? ? 5.65 6.7 ? 3.63 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
                      網格13 ? ? ? ? ? 8.45 ? ? ? 6.08 3.08 4.17 ? ? ? ?
                      網格14 ? ? ? ? 7.33 8.15 ? ? 5.63 ? ? ? 3.2 ? ? ?
                      網格15 ? ? ? ? 7 7.85 ? ? 5.63 ? ? ? 3.25 ? ? ?
                      網格16 3.18 ? ? 5.95 6.7 7.55 ? 4.71 ? ? ? ? ? ? ? ?
                      下載: 導出CSV

                      表  5  本文模型車輛駛出網格的時刻表(s)

                      Table  5  Time of vehicles leaving the grids optimized by the proposed model (s)

                      車輛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
                      網格1 ? ? ? ? 9.03 ? ? ? ? 7.73 4.73 ? ? 5.74 3.89 6.61
                      網格2 ? 5.29 ? ? 9.03 ? ? ? ? ? ? ? ? 6.04 4.31 ?
                      網格3 ? 5.24 3.90 ? ? ? ? ? 7.43 ? ? ? ? 6.34 ? ?
                      網格4 3.03 ? 4.20 5.80 ? ? ? ? 7.73 ? ? ? ? 6.64 ? ?
                      網格5 ? 6.23 ? ? 8.73 ? ? ? ? 7.43 4.43 ? 3.13 ? ? ?
                      網格6 ? 5.81 ? ? 8.65 ? ? ? 7.04 ? ? ? 3.41 ? ? ?
                      網格7 ? 5.52 ? ? ? ? ? ? 7.29 ? ? ? 3.47 ? ? ?
                      網格8 3.33 ? ? 6.10 ? ? ? ? 7.73 ? ? ? ? ? ? ?
                      網格9 ? 6.23 ? ? 8.41 ? 5.28 ? ? 7.13 4.13 ? 3.18 ? ? ?
                      網格10 ? 5.93 ? ? 8.33 ? 4.98 ? 6.78 ? ? ? 3.70 ? ? ?
                      網格11 ? 5.58 ? ? 8.02 ? 4.68 ? 6.87 ? ? ? 3.82 ? ? ?
                      網格12 3.63 ? ? 6.40 7.56 ? 4.38 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
                      網格13 ? ? ? ? ? 9.20 ? ? ? 6.83 3.83 5.04 ? ? ? ?
                      網格14 ? ? ? ? 8.02 8.90 ? ? 6.44 ? ? ? 4.12 ? ? ?
                      網格15 ? ? ? ? 7.85 8.60 ? ? 6.45 ? ? ? 4.12 ? ? ?
                      網格16 3.93 ? ? 6.70 7.54 8.30 ? 5.58 ? ? ? ? ? ? ? ?
                      下載: 導出CSV

                      表  6  三種對比模型的計算結果匯總表(s)

                      Table  6  Results of three models for comparing (s)

                      車輛編號 無路徑規劃模型 感應控制模型 FCFS 模型
                      $t_{Oi}^{g'}$ $T^{g}_{Oi}$ 延誤 $t_{Oi}^{g'}$ $T^{g}_{Oi}$ 延誤 $t_{Oi}^{g'}$ $T^{g}_{Oi}$ 延誤
                      1 2.28 2.28 3.22 2.29 2.29 0.00 2.28 2.28 0.00
                      2 4.37 4.37 4.37 4.35 45.00 40.65 2.29 3.24 0.95
                      3 2.86 2.86 2.86 2.88 2.88 0.00 2.88 2.88 0.00
                      4 5.05 6.29 6.29 5.03 5.03 0.00 3.07 3.07 0.00
                      5 4.94 4.94 5.27 4.95 15.00 10.05 3.17 4.89 1.72
                      6 6.06 6.14 6.14 15.45 30.00 23.96 3.17 3.17 0.00
                      7 3.42 3.42 4.57 3.46 30.00 26.54 3.46 5.41 1.95
                      8 4.71 5.32 5.32 30.45 30.45 25.71 3.75 6.09 2.34
                      9 3.10 3.10 7.18 3.17 45.00 41.83 4.16 4.16 0.00
                      10 5.59 8.04 8.04 45.45 60.00 54.46 4.35 7.14 2.79
                      11 3.08 3.08 3.11 3.07 3.07 0.00 4.55 4.72 0.18
                      12 4.17 4.17 4.17 4.16 4.16 0.00 5.41 4.74 0.00
                      13 2.26 2.26 2.26 2.28 15.00 12.72 4.95 8.04 3.09
                      14 3.75 6.53 6.53 15.45 30.00 26.25 5.03 8.66 3.63
                      15 3.14 3.14 3.14 3.17 3.17 0.00 5.54 9.00 3.45
                      16 4.53 4.76 4.76 4.55 4.55 0.00 8.04 10.01 3.97
                      下載: 導出CSV

                      表  7  本文模型和質點模型計算結果對比表

                      Table  7  Comparison of results of the proposed model and the model treats vehicle as point

                      車輛編號 本文模型 質點模型 最佳路徑相同
                      延誤 最佳路徑 延誤 最佳路徑
                      1 0.00 S2→N2 0.00 S2→N2
                      2 0.00 S1→W1 1.71 S1→W1
                      3 0.17 S2→E2 0.00 S2→E2
                      4 0.00 S2→N2 0.86 S2→N2
                      5 1.76 E2→S2 0.00 E1→S1
                      6 1.49 E2→W2 0.00 E2→W2
                      7 0.21 E1→W1 0.61 E2-W2
                      8 0.00 E2→N2 0.07 E2→N2
                      9 2.53 N2→E2 0.30 N1→E1
                      10 0.49 N1→S2 0.00 N1→S2
                      11 0.00 N2→S2 0.00 N2→S1
                      12 0.00 N2→W2 0.01 N2-W1
                      13 0.00 W1→N1 0.00 W1→N1
                      14 1.24 W2→E2 0.40 W1→E2
                      15 0.00 W2→S1 0.00 W2→S2
                      16 1.21 W2→S2 0.00 W2→S2
                      下載: 導出CSV

                      表  8  基于滾動時間窗的優化結果

                      Table  8  Optimization results based on rolling horizon window

                      時段 $0\sim 5 $ s $5\sim 10 $ s $10\sim 15 $ s $15\sim 20 $ s $20\sim 25 $ s $25\sim 30 $ s $30\sim 35 $ s $35\sim 40 $ s $40\sim 45 $ s $45\sim 50 $ s
                      延誤 (s) 2.71 14.00 23.85 15.92 4.59 6.08 3.63 2.96 15.54 16.67
                      車均延誤 0.23 0.88 1.40 1.14 0.38 0.47 0.28 0.27 0.86 1.39
                      時段 $50\sim 55 $ s $55\sim 60 $ s $60\sim 65 $ s $65\sim 70 $ s $70\sim 75 $ s $75\sim 80 $ s $80\sim 85 $ s $85\sim 90 $ s $90\sim 95 $ s $95\sim 100 $ s
                      延誤 (s) 26.58 25.09 14.13 5.26 3.08 16.87 22.44 4.61 6.81 17.09
                      車均延誤 1.90 1.32 0.88 0.53 0.22 1.21 1.18 0.46 0.52 0.95
                      下載: 導出CSV

                      表  9  計算時間表(s)

                      Table  9  Results of computational time (s)

                      到達車輛數 本文模型計算時間 基于滾動時間窗平均計算時間
                      9輛車 0.05 0.03
                      10輛車 0.14 0.02
                      11輛車 0.22 0.04
                      12輛車 0.67 0.06
                      13輛車 1.47 0.09
                      14輛車 1.40 0.09
                      15輛車 1.68 0.09
                      16輛車 2.25 0.05
                      17輛車 3.06 0.05
                      18輛車 5.57 0.08
                      19輛車 11.97 0.16
                      20輛車 18.05 0.17
                      下載: 導出CSV

                      表  A1  擴展參數說明表

                      Table  A1  Extended parameter definition

                      參數 說明
                      v 表示車輛以速度 v 勻速通過交叉口 (m/s)
                      FEiWj, fEiWj 車輛軌跡的外邊界和內邊界方程
                      $Q^{1}_{Oi→Dj}, Q^{2}_{Oi→Dj}$ 直行軌跡 OiDj 的外邊界進入和駛出交叉口的點用 $Q^{1}_{Oi→Dj}$ $ Q^{2}_{Oi→Dj}$ 表示, 對應的橫縱坐標分別為
                      $( {X_{Oi \to Dj}^1,{\rm{} }Y_{Oi \to Dj}^1} )$ 、 $( {X_{Oi \to Dj}^2,{\rm{} }Y_{Oi \to Dj}^2} )$
                      gab, hab, qab, uab 按順時針方向, 網格 Rab 的四個頂點, 對應的橫縱坐標依次是 $ \left( {{x_g},{y_g}} \right)$ , $ \left( {{x_h},{y_h}} \right)$ , $ \left( {{x_q},{y_q}} \right)$ , $ \left( {{x_u},{y_u}} \right)$
                      Gab, Hab, Qab, Uab 表示網格 Rab 的四個頂點在軌跡范圍內, 對應的橫縱坐標依次是 $ \left( {{x_G},{y_G}} \right),\;\left( {{x_H},{y_H}} \right),\;\left( {{x_Q},{y_Q}} \right),\;\left( {{x_U},{y_U}} \right)$
                      ${G'_{ab} },{H'_{ab} },{Q'_{ab} },{U'_{ab} }$ 表示點 Gab, Hab, Qab, Uab 在外邊界線上的投影點, 對應的橫縱坐標依次是 $( { {x'_G},{y'_G} } ),\;( { {x'_H},{y'_H} } ),\;( { {x'_Q},{y'_Q} } ),\;( { {x'_U},{y'_U} } )$
                      $C^{ab}_{Oi→Dj}$ 內邊界方程和網格坐標范圍的交點, 橫縱坐標為 $ \left( {{x_c},{y_c}} \right)$
                      $C_{Oi \to Dj}^{ab'}$ 交點 $C^{ab}_{Oi→Dj}$ 在外邊界的投影點, 橫縱坐標為 $\left( { {x'_c},{y'_c}} \right)$
                      $D^{ab}_{Oi→Dj}$ 外邊界方程和網格坐標范圍的交點, 橫縱坐標為 $ \left( {{x_d},{y_d}} \right)$
                      $l_{Oi \to Dj}^{\left( z \right)}$ 相鄰兩外邊界交點之間的距離(m)
                      z 外邊界方程和網格坐標范圍的的交點的序號, 其中 $z \in \left\{ {1,2, ··· ,Z} \right\}$
                      Z 軌跡外邊界與網格交點的個數
                      $A^{ab}_{Oi→Dj}$ 車輛駛入網格 Rab 的位置點, 橫縱坐標為 $\left( {x_{Oi \to Dj}^{ab},y_{Oi \to Dj}^{ab} } \right)$
                      $A_{Oi \to Dj}^{ab'}$ $A{ {_{Oi \to Dj}^{ab} } }$ 在軌跡外邊界的投影點, 橫縱坐標為 $\left( {x_{Oi \to Dj}^{ab'},y_{Oi \to Dj}^{ab'} } \right)$
                      $l^{ab}_{Oi→Dj}$ 駛入網格位置點的投影點 $ A{{_{Oi \to Dj}^{ab'}}}$ 與緊鄰其后的外邊界交點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{ab} } }$ 的距離 (m)
                      $B^{ab}_{Oi→Dj}$ 駛出網格的位置點, 橫縱坐標為 $\left( {X_{Oi \to Dj}^{ab},Y_{Oi \to Dj}^{ab} } \right)$
                      $B_{Oi \to Dj}^{ab'}$ $B{ {_{Oi \to Dj}^{ab} } }$ 在軌跡外邊界的投影點, 橫縱坐標為 $\left( {X_{Oi \to Dj}^{ab},Y_{Oi \to Dj}^{ab'} } \right)$
                      $L^{ab}_{Oi→Dj}$ 駛出網格位置點的投影點 $B{ {_{Oi \to Dj}^{ab'} } }$ 與緊鄰其后的外邊界交點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{ab} } }$ 的距離 (m)
                      k 外邊界直線軌跡方程 FOiDj 的斜率或外邊界曲線上某點切線的斜率
                      K 點與投影點確定的直線的斜率
                      C 常數
                      N* 正整數集合
                      M 大的正數
                      vt 車輛進入交叉口時的速度 (m/s)
                      a 車輛加減速時的加速度 (m·s2)
                      tD(z) 車輛在點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{ab\left( z-1 \right)} } }$ 和點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{ab\left( z \right)} } }$ 之間, 加速 (或減速) 行駛 $ l_{Oi \to Dj}^{\left( z \right)}$ 的距離所用的時間(s)
                      tA(z) 車輛在點 $A{ {_{Oi \to Dj}^{ab'} } }$ 和點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{abA\left( z \right)} } }$ 之間, 加速 (或減速) 行駛 $l^{ab}_{Oi→Dj}$ 的距離所用的時間(s)
                      TB(z) 車輛在點 $B{ {_{Oi \to Dj}^{ab'} } }$ 和點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{abB\left( z \right)} } }$ 之間, 加速 (或減速) 行駛 $L^{ab}_{Oi→Dj}+d_e$ 距離所用的時間(s)
                      下載: 導出CSV
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                    圖(10) / 表(10)
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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2019-01-02
                    • 錄用日期:  2019-08-08
                    • 網絡出版日期:  2020-09-28
                    • 刊出日期:  2020-09-28

                    自動駕駛環境下交叉口車輛路徑規劃與最優控制模型

                    doi: 10.16383/j.aas.c190002
                      基金項目:  國家自然科學基金(61773077, 51722809)資助
                      作者簡介:

                      長沙理工大學交通運輸工程學院副教授. 主要研究方向為自動駕駛與車路協同環境下的交通控制與管理. 本文通信作者.E-mail: jiaotongweiwu@csust.edu.cn

                      長沙理工大學交通運輸工程學院碩士研究生. 2017年獲得長沙理工大學學士學位. 主要研究方向為交通控制和交叉口管理. E-mail: liuyang@stu.csust.edu.cn

                      澳大利亞新南威爾士大學工程學院助理教授. 主要研究方向為復雜交通系統建模與優化, 交通經濟學, 大數據分析 E-mail: wei.liu@unsw.edu.au

                      北京交通大學博士研究生. 2018年獲得長沙理工大學交通運輸工程學院學士學位. 主要研究方向為聯網自動車軌跡優化, 自治交叉口管理. E-mail: 19114013@bjtu.edu.cn

                      同濟大學教授, 交通運輸工程學院副院長. 主要研究方向為交通設計與控制, 車路協同和共享交通系統.E-mail: mawanjing@#edu.cn

                    摘要: 自動駕駛環境下的交叉口基于車車/車路之間的雙向信息交互, 能保障自動駕駛車輛相互穿插與協作地通過交叉口, 而無需信號燈控制. 因此, 如何設計高效的面向自動駕駛車輛通行的交叉口管控模型, 已成為研究的熱點. 已有研究在建模時, 均基于自動駕駛車輛在交叉口內部的行駛路徑已知并作為模型輸入, 且大多對交叉口內部的沖突點進行簡化. 本文首先將交叉口空間離散化處理, 考慮車輛的實際尺寸并面向非常規交叉口, 使用橢圓曲線建立轉彎車輛行駛路徑的精確軌跡方程, 再通過外邊界投影降維法建立軌跡方程和交叉口空間的映射關系. 建立了基于混合整數線性規劃(Mixed integer linear programming, MILP)的自動駕駛交叉口管控模型, 以交叉口總延誤最小為控制目標, 同時優化車輛在交叉口的最佳行駛路徑和駛入時刻, 使用AMPL (A mathematical programming language)對模型進行編譯并使用CPLEX求解器求解. 與經典感應控制和先到先服務模型進行對比, 結果表明, 本文所提出模型能對車輛進入交叉口的時刻和行駛路徑進行雙重優化, 顯著降低自動駕駛車輛通過交叉口的車均延誤, 提高交叉口空間的利用效率.

                    English Abstract

                    吳偉, 劉洋, 劉威, 吳國弘, 馬萬經. 自動駕駛環境下交叉口車輛路徑規劃與最優控制模型. 自動化學報, 2020, 46(9): 1971?1985. doi: 10.16383/j.aas.c190002
                    引用本文: 吳偉, 劉洋, 劉威, 吳國弘, 馬萬經. 自動駕駛環境下交叉口車輛路徑規劃與最優控制模型. 自動化學報, 2020, 46(9): 1971?1985. doi: 10.16383/j.aas.c190002
                    Wu Wei, Liu Yang, Liu Wei, Wu Guo-Hong, Ma Wan-Jing. A novel autonomous vehicle trajectory planning and control model for connected-and-autonomous intersections. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1971?1985. doi: 10.16383/j.aas.c190002
                    Citation: Wu Wei, Liu Yang, Liu Wei, Wu Guo-Hong, Ma Wan-Jing. A novel autonomous vehicle trajectory planning and control model for connected-and-autonomous intersections. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1971?1985. doi: 10.16383/j.aas.c190002
                    • 隨著自動化技術的不斷發展, 自動駕駛已成為未來交通發展的趨勢[1-3], 根據美國汽車工程師學會(Society of Automotive Engineers, SAE)制定的分級標準, 將車輛的自動駕駛分為6級: 無智能化(L0); 駕駛輔助(L1); 部分自動駕駛(L2); 有條件的自動駕駛(L3); 高度自動駕駛(L4); 全自動駕駛(L5). 在L4級以上自動駕駛環境下, 車輛與車輛、車輛與路邊設施之間能實現雙向的信息交互, 可以突破已有經典的基于周期、綠信比、相位差的交通流管控方式, 車輛之間能相互協調與合作地通過交叉口, 而無需信號燈控制[4-5]. 在自動駕駛環境下, 交叉口交通控制的對象將直接面向車輛, 每臺車輛擁有其唯一的通行方案, 不同行駛方向的車輛可以同時相互穿插地通過交叉口, 這種基于自動駕駛的新型控制的優勢在于, 道路的通行能力能得到更充分的利用. 控制的難點在于: 如何使用時間分離和空間分離的方法, 在能夠協調不同車輛間交通沖突的條件下, 使到達車輛的總效益最大. 基于上述分析, 如何設計面向自動駕駛車輛的交叉口管控方法(Autonomous intersection control, AIC)已成為近年來的研究熱點之一[6-8].

                      Dresner等[9-10]于2004年和2008年提出了早期的AIC模型, 所有自動駕駛車輛根據到達交叉口的時間次序, 依次請求交叉口的通行權, 如果車輛在交叉口的通過路徑上, 與更早到達的車輛沖突, 則需等待, 否則能順利通行, 通過與信號控制對比, 證明了其模型的有效性. 其模型基于先到先服務的交叉口控制策略(First come first served, FCFS), 在大多數情況下, FCFS被證明可以降低延誤[11-13]. 但是, Levin等[14]指出在過飽和、列隊行駛等情況下, FCFS策略的延誤比信號控制更大.

                      因此, 近年來國內外研究學者對如何提高AIC的效率的問題,展開了較多的研究. Li等[15]基于安全駕駛模式, 使用生成樹(Spanning tree)模型, 建立了4種算法規劃自動駕駛車輛在交叉口區域的行車軌跡. Ahmane等[16]使用Petri網對自動駕駛交叉口控制策略進行建模, 并與先到先服務策略進行了對比, 驗證了模型效益. Carlino等[17]根據不同出行者之間時間價值的不同, 考慮駕駛員特性、與目的地的距離等因素, 建立了自動駕駛車輛通過交叉口的競價模型, 最后對競價造成的社會公平性問題進行了探討. 此外, 區別于集中式的自動駕駛交叉口管控模式, 使用博弈論(Game theory)方法研究分布式的自動駕駛交叉口的自組織模型也成為目前研究的重要方向[18-19].

                      針對自動駕駛交叉口控制可能造成的組合爆炸問題[20], Wu等[20]使用蟻群算法對AIC問題進行優化, 并借助機器人實物模型驗證了算法的有效性. Li等[21]使用了遺傳算法搜尋控制模型的最優解. 此外, 基于車隊優化和基于沖突點優化的AIC模型也相繼被提出. Bashiri等[22]提出以自動駕駛車隊為研究對象, 考慮車隊中的車輛數、車隊長度和車隊等待時間, 調節AIC系統的整體效益. Medina等[23]提出了基于虛擬車隊(Virtual platooning)的AIC方法, 能將不同車道不同方向的車輛進行組隊控制. 基于沖突點優化方面, Lee等[24]借助航空管制的思路, 建立了使沖突距離最短的AIC模型, 并設計了魯棒算法處理系統失效的問題. Zhu等[25]考慮車輛路徑選擇行為, 使用線性規劃模型對自動駕駛下的交叉口進行管控. Müller等[26]使用混合整數線性規劃模型, 將自動駕駛交叉口管控問題轉化為三個控制子問題. Levin等[27]使用混合整數線性規劃模型協調自動駕駛車輛在沖突點的通過時間, 并借助滾動時間窗的方式優化最優解. Fayazi等[28]建立了基于混合整數線性規劃的自動駕駛交叉口控制模型, 優化自動駕駛環境下交叉口的車輛到達時間和行駛車速. Belkhouche[29]基于沖突點分離的思路, 使用拉格朗日函數求模型封閉解, 提出了非集中式的AIC模型.

                      以上方法均假設在進行AIC模型優化時, 自動駕駛車輛在交叉口內部的行駛路徑提前確定且已知, 即假設自動駕駛車輛在交叉口選擇的進口車道和出口車道已知且作為輸入, 在此基礎上進行AIC模型設計, 然而, 在多車道情況下, 自動駕駛車輛可以通過選擇不同的進口車道或出口車道, 即通過調整車輛在交叉口內部行駛路徑的方式規避沖突. He等[30]提出自動駕駛車輛在交叉口可以選擇任意車道行駛, 但仍基于車道選擇提前給定, 且基于先到先服務的方式建立AIC模型, 無法獲得最優解. 本文的貢獻主要在于:

                      1) 考慮自動駕駛車輛在交叉口內部的行駛路徑不確定, 可以根據與其他車輛的沖突動態調整, 建立了考慮車輛最優進口道和出口道選擇, 且能獲得所有車輛整體延誤最小的AIC模型.

                      2) 區別于已有大多研究中假設交叉口為對稱型常規交叉口, 本文建立的AIC模型能適用于非常規交叉口, 例如進口道多于出口道的情況, 非常規交叉口將導致車輛在交叉口內部的行駛軌跡呈現較大不同, 加大了模型復雜度.

                      3) 區別于已有較多研究中將車輛和沖突點簡化為質點, 本文模型考慮車輛實際尺寸, 對車輛在交叉口內部的行駛軌跡進行精確建模, 可為實地應用提供借鑒.

                      本文研究包括如下內容, 第1節為問題描述, 對本文研究的關鍵點進行直觀闡述; 第2節對模型中的參數進行說明; 第3節為模型建立, 主要包括交叉口內部區域離散化模型、車輛在交叉口內部行駛路徑、外邊界投影降維法和沖突點約束模型; 第4節為模型求解; 第5節為模型驗證與效益分析.

                      • 圖1所示, 用曲線和直線分別代表轉彎和直行車輛在交叉口內部的行駛軌跡, 其中曲線表示左轉和右轉車輛在交叉口內部區域分別有兩條路徑可供選擇, 直線表示直行車輛的行駛路徑, 其中東進口的進口道車道數大于其他方向的出口道車道數. 網格填充區域為路徑之間的沖突區域, 從圖1可以看出選擇不同的行駛路徑, 將產生不同的沖突區域. 在交叉口內部, 車輛如何選擇最佳通行路徑和最佳通過時刻, 對交叉口總延誤有較大的影響. 本文將考慮車輛尺寸, 使用橢圓軌跡方程, 建立車輛在交叉口內部的軌跡模型, 精確計算車輛進入和駛出每個交叉口網格的時刻, 最后建立基于混合整數線性規劃的AIC模型.

                        圖  1  問題描述示意圖

                        Figure 1.  Diagram of problem description

                      • 由于模型參數較多, 本文使用的主要參數如表1所示, 其他相關參數見附錄A.

                        表 1  參數說明表

                        Table 1.  Parameter definition

                        參數 說明
                        E, W, S, N 交叉口東、西、南、北四個方向
                        O 交叉口進口道, O∈{E, W, S, N}
                        D 交叉口出口道, D∈{E, W, S, N}
                        iO 進口道的第 iO 條車道, 其中 iO∈{ ${\rm{1,2,} } ··· ,{n_O}$}
                        jD 出口道的第 jD 條車道, 其中 jD∈{ ${\rm{1,2,} } ··· ,{m_D}$}
                        OiDj 車輛從 O 進口道的第 i 條車道駛向 D 出口道的第 j 條車道, 不考慮掉頭行駛, 因此, 在 OiDj 中, OD
                        nO O 方向進口道的總車道數
                        mD D 方向出口道的總車道數
                        dr 車道寬度 (m)
                        dc 車輛的車身長度 (m)
                        dR 網格邊長 (m)
                        p, q 左轉或右轉車輛, 通行軌跡方程與 x 軸和 y 軸的截距 (m)
                        (α, β) 橢圓的中心, 其中(α1, β1)、(α2, β2)、(α3, β3)、(α4, β4)依次表示橢圓中心在 1, 2, 3, 4 象限
                        Rab 網格 Rx 軸和 y 軸對應的編號分別是 a, b
                        g 進口道一條車道的第 g 輛車, 其中 $g \in \left\{ {1,2,3, ··· ,{G_{Oi} } } \right\}$
                        GOi O 進口道第 i 條進口道上的車輛總數
                        ${t_ {Oi}^g}$ O 方向的第 i 條進口道上車輛 g 理論到達交叉口的時刻 (s)
                        $ t{_{Oi}^g{'}}$ O 方向的第 i 條進口道上車輛 g 實際到達交叉口的時刻 (s)
                        ${T_ {Oi}^g}$ 在進口道 O 的第 i 條車道車輛g 駛入交叉口的時刻 (s)
                        ${t_ {Oi→Dj}^{ab} }$ 軌跡 OiDj 上車輛駛入方格 Rab 的時刻 (s)
                        ${T_ {Oi→Dj}^{ab} }$ 軌跡 OiDj 上車輛駛出方格 Rab 的時刻 (s)
                        ${t_ {ab}^{g} }$ 車輛 g 駛入網格 Rab 的時刻 (s)
                        ${T_ {ab}^{g} }$ 車輛 g 駛出網格 Rab 的時刻 (s)
                        ${w_ {ab}^{g} }$ 二元變量, ωabg = 1 表示車輛 g 壓過網格 Rab; ωabg = 0 表示車輛 g 沒有壓過網格 Rab
                        ${\sigma_ {Oi→Dj}^{g} }$ 二元變量, σOiDjg = 1 表示車輛 g 選擇路徑 OiDj, 即從 O 方向的第 i 條進口道行駛到 D 方向的第 j 條出口道
                        ${\tau_ {Oi→Dj}^{ab} }$ 二元變量, τOiDjab = 1 表示網格 Rab 在軌跡 OiDj 上; τOiDjab = 0 表示網格 Rab 不在軌跡 OiDj
                        μg1g2 二元變量, 表示車輛進入網格的先后次序
                        ${D_ {Oi}^{g} }$ 進口道 O 車道 ig 輛車的延誤 (s)
                        Delay 總延誤 (s)
                      • 1) 自動駕駛車輛在交叉口內部不能停車;

                        2) 自動駕駛車輛在交叉口內部勻速行駛. 3.9節將討論如何對車輛加減速情況進行建模;

                        3) 假設在全自動駕駛條件下, 且不考慮車車、車路通信的延時.

                        模型的輸入為交叉口的幾何參數, 包括各方向進出口道的車道數、車道寬度等, 以及車輛計劃(理論)到達交叉口的時刻、進口方向、出口方向. 模型的輸出為車輛最佳進口車道和最佳出口車道, 車輛進入交叉口的最佳時刻, 實際到達交叉口的時刻、駛入和駛出每個網格的時刻、車輛延誤.

                      • 圖2所示, 將交叉口內部空間離散化, 劃分為若干個正方形網格, 車道寬度是網格邊長的整數倍, 網格邊長dR由式(1)計算.

                        $$ {d_R} = \frac{{d_r}}{C},\;\;{\rm{}}C \in {{\bf{N}}^*} $$ (1)

                        其中, C表示常數, N*表示正整數集合.

                        圖  2  交叉口研究區域示意圖

                        Figure 2.  Study area layouts of intersections

                        以交叉口中心位置為坐標原點, 建立直角坐標系, 第1、2、3、4象限的網格對應的坐標范圍由式 $(2)\sim (5) $ 計算.

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} {{d_R} \left( {a - 1} \right) \le x \le {d_R} \times a}\\ {{d_R} \left( {b - 1} \right) \le y \le {d_R} \times b} \end{aligned}} \right. $$ (2)

                        其中, ${1 \!\le\! a \!\le \!C \!\times\! {\rm{max}}\left( {{m_N},{n_S}} \right)}, 1 \!\le\! b \le\! C\! \times\! {\rm{max}} \left({m_W}, {n_E} \right).$

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} &{{d_R} \times a \le x \le {d_R} \left( {a + 1} \right)}\\ &{{d_R} \left( {b - 1} \right) \le y \le {d_R} \times b} \end{aligned}} \right. $$ (3)

                        其中, ${\! - C \!\!\times\!\! {\rm{max}}\left( {{n_N},{m_S}} \right) \!\le \!a \!\le \! - 1}, 1 \!\le \!b \!\le\! C\! \! \times\!{\rm{max}}( {m_W}, {n_E} )$ .

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} &{{d_R} \times a \le x \le {d_R} \left( {a + 1} \right)}\\ &{{d_R} \times b \le y \le {d_R} \left( {b + 1} \right)} \end{aligned}} \right. $$ (4)

                        其中, ${ - C \times{\rm{max}}\left( {{n_N},{m_S}} \right) \le a \le - 1}, - C \times \max\left( {m_E}, {n_W} \right) \le$ $ b \le - 1 $ .

                        $$ \left\{ {\begin{aligned} &{{d_R} \left( {a - 1} \right) \le x \le {d_R} \times a}\\ &{{d_R} \times b \le y \le {d_R} \left( {b + 1} \right)} \end{aligned}} \right. $$ (5)

                        其中, ${1 \le a \le C \times {\rm{max}}\left( {{m_N},{n_S}} \right)}, - C\times \max \left( {m_E}, {n_W} \right) \le$ $ b \le - 1 $ .

                      • 在進口車道和出口車道都需優化的條件下, 直行車輛行駛軌跡為直線或斜線, 如圖2所示. 以直行軌跡的外邊界為例, 直行軌跡OiDj的外邊界進入交叉口的點用 $Q{^1_{Oi→Dj}}$ 表示, 對應的橫縱坐標為 $X{^1_{Oi→Dj}}, Y{^1_{Oi→Dj}};$ 駛出交叉口的點用 $Q{^2_{Oi→Dj}}$ 表示, 對應的橫縱坐標為 $X{^2_{Oi→Dj}}, Y{^2_{Oi→Dj}},$ 根據上述兩點的坐標可以定義直行軌跡外邊界方程.

                        1)行駛軌跡為南北方向直行且軌跡與y軸平行時, $Q{^1_{Oi→Dj}}$ $Q{^2_{Oi→Dj}}$ 的橫坐標值相等, 即 $X{^1_{Oi→Dj}}= X{^2_{Oi→Dj}},$ 此時外邊界軌跡方程由式(6)計算

                        $$ x = X_{Oi \to Dj}^1 $$ (6)

                        2)行駛軌跡為東西方向直行且軌跡與x軸平行時, $Q{^1_{Oi→Dj}}$ $Q{^2_{Oi→Dj}}$ 的縱坐標值相等, 即 $Y{^1_{Oi→Dj}}\!=\! Y{^2_{Oi→Dj}},$ 此時外邊界軌跡方程由式(7)計算

                        $$ y = Y_{Oi \to Dj}^1 $$ (7)

                        3)當軌跡既不與x軸平行又不與y軸平行時, 行駛軌跡為斜線, $Q{^1_{Oi→Dj}}$ $Q{^2_{Oi→Dj}}$ 的橫縱坐標值均不相等, 即 $X{^1_{Oi→Dj}}\;≠\; X{^2_{Oi→Dj}},$ $Y{^1_{Oi→Dj}}\;≠ \;Y{^2_{Oi→Dj}},$ 此時外邊界軌跡方程的斜率k由式(8)計算, 外邊界軌跡方程由式(9)計算

                        $$k = \frac{ {Y_{Oi \to Dj}^2 - Y_{Oi \to Dj}^1} }{ {X_{Oi \to Dj}^2 - X_{Oi \to Dj}^1} }$$ (8)
                        $$y = k{\rm{×}}\left( {x - X_{Oi \to Dj}^1} \right) + Y_{Oi \to Dj}^1$$ (9)

                        按上述方法可計算出其他進口方向直行車輛行駛軌跡的內外邊界方程.

                      • 使用橢圓方程建立左轉和右轉車輛在交叉口內部的軌跡方程, 如式(10)所示.

                        $$\begin{split} \dfrac{{{{\left( {x - \alpha } \right)}^2}}}{{{p^2}}}& + \dfrac{{{{\left( {y - \beta } \right)}^2}}}{{{q^2}}} = 1 \end{split}$$ (10)

                        以東進口左轉為例, 東進口第i條車道到南出口第j條車道左轉的車輛, 車輛軌跡的外邊界方程為FEiSj, 內邊界方程為fEiSj, 式(10)中的 $\left(\! {\alpha ,\beta } \right)\! =\! \left(\! {{d_r} \!\times\! {\rm{max}}\left(\! {{n_S},{m_N}} \right), \!- \!{d_r} \!\times \! \max \left( {{n_W},{m_E}} \right)} \right)\!,$ pq表示軌跡方程與x軸和y軸的截距, 外邊界和內邊界分別由式(11)和式(12)計算

                        $$\left\{\begin{split} &{p = {d_r} \left( {{n_S} + {j_S}} \right)},\;\;{j_S} \in \left\{ {1,2, \cdots ,{m_S}} \right\}\\ &{q = {d_r}\left( {{m_E} + {i_E}} \right)},\;{i_E} \in \left\{ {1,2, \cdots ,{n_E}} \right\} \end{split} \right. \quad\;\;$$ (11)
                        $$\left\{\begin{aligned} &{p = {d_r} \left[ {{n_S} + \left( {{j_S} - 1} \right)} \right]},\;\;\;\; {\rm{}}{j_S} \in \left\{ {1,2, \ldots ,{m_S}} \right\}\\ &{q = {d_r} \left[ {{m_E} + \left( {{i_E} - 1} \right)} \right]},\;\;{i_E} \in \left\{ {1,2, \ldots ,{n_E}} \right\} \end{aligned} \right.$$ (12)

                        按上述方法可計算出其他進口道車輛的左轉或右轉的軌跡方程.

                      • 內邊界方程和網格坐標范圍公式聯立, 可得到交點 $C{^{ab}_{Oi→Dj}},$ 其橫縱坐標為 $ \left( {{x_c},{y_c}} \right)$ ; 外邊界方程和網格坐標范圍的公式聯立, 可得到交點 $D{^{ab}_{Oi→Dj}},$ 其橫縱坐標為 $ \left( {{x_d},{y_d}} \right)$ . 通過判斷網格頂點與交點 $C{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 、 $D{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 的位置關系, 確定網格Rab是否在軌跡OiDj上; 若網格Rab的某一個頂點在軌跡的外邊界和內邊界確定的范圍內, 則說明該網格在行駛軌跡區域內, 即滿足式(13)或式(14).

                        $$\begin{split} &{f_{Oi \to Dj}}{|_{y = {y_{r2}}}}{\rm{}} \le {x_{r1}} \le {\rm{}}{F_{Oi \to Dj}}{|_{y = {y_{r2}}}} ,\\&\quad\quad r1 \in \left\{ {c,d,g,h,q,u} \right\}{\rm{}},{\rm{}}r2 \in \left\{ {g,h,q,u} \right\} \end{split}$$ (13)

                        其中, xr表示網格Rab頂點的橫坐標, $r \in \{ g,$ $h,q,u\}.$

                        $$ \begin{split} &{f_{Oi \to Dj}}{|_{x = {x_{r2}}}}{\rm{}} \le {y_{r1}} \le {\rm{}}{F_{Oi \to Dj}}{|_{x = {x_{r2}}}},\\ &\quad\quad r1 \in\left\{ {c,d,g,h,q,u} \right\}{\rm{}},{\rm{}}r2 \in \left\{ {g,h,q,u} \right\} \end{split} $$ (14)

                        其中, yr表示網格Rab頂點縱坐標, $ r \in \left\{ {g,h,q,u} \right\}$ . $\tau{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 為二元變量, $\tau{^{ab}_{Oi→Dj}}=1$ 表示網格Rab在軌跡OiDj上; $\tau{^{ab}_{Oi→Dj}}=0$ 表示網格Rab不在軌跡OiDj上. 當滿足式(13)或式(14)時, 則可確定網格Rab在軌跡OiDj上, $\tau{^{ab}_{Oi→Dj}}=1;$ 否則, $\tau{^{ab}_{Oi→Dj}}=0.$

                      • 由于車輛駛入和駛出網格的位置點可能是網格的頂點, 也可能是內外邊界方程與網格方程的交點, 因此一個網格包含的車輛行駛過的關鍵點最多有6個, 即網格4個頂點和行駛軌跡外邊界(或內邊界)與網格線的2個交點, 但在二維平面上并不能直接判斷車輛駛過該6個點的先后次序, 本文采用外邊界投影降維法計算車輛駛入駛出網格的精確位置點. 將該6個關鍵點分別投影到外邊界方程進行降維處理, 再對比位置點的x(或y)坐標值判斷先后次序, 第1個點的時刻為進入時刻, 第6個點的時刻為駛出時刻.

                        當車輛為直行時, 如圖3所示, 車輛的行駛軌跡為直線, 外邊界軌跡直線方程FOiDj的斜率為k, 點Gab的投影點 ${G'_{ab}}$ 在外邊界軌跡方程FOiDj上, 投影點的橫縱坐標為 $\left( {{x'_G},{y'_G}} \right)$ , 滿足式(15)

                        圖  3  直行軌跡投影點示意圖

                        Figure 3.  Diagram of straight trajectory projection

                        $$\left( {{x{{'_G}}},{y{{'_G}}}} \right) \in {F_{Oi \to Dj}}$$ (15)

                        Gab與投影點 ${G'_{ab}}$ 確定的直線的斜率為K, K可由式(16)和式(17)計算

                        $$\quad\quad\; K = \dfrac{{{y{{'_G}}} - {y_{G}}}}{{{x{{'_G}}} - {x_G}}}$$ (16)
                        $$K = -\frac {1}{k}$$ (17)

                        聯立式 $(15)\sim (17) $ , 可求得投影點 ${G'_{ab}}$ 的坐標 $ (x_G',y_G')$ ; 使用上述公式可計算出軌跡方程為直線時其他投影點的坐標, 包括: $H_{ab}^{'} = \left( {{x'_H},{y'_H}} \right)$ , $ Q_{ab}^{'} =$ $\left( {{x'_Q},{y'_Q}} \right)$ , $U_{ab}^{'} = \left( {{x'_U},{y'_U}} \right)$ , $C_{Oi \to Dj}^{ab'} = \left( {{x'_c},{y'_c}} \right)$ .

                        當車輛左轉或右轉時, 如圖4所示, 點Gab的投影點 ${G'_{ab}}$ 在外邊界軌跡方程FOiDj上, 滿足式(15), 外邊界的曲線方程在 ${G'_{ab}}$ 點的一階導數的值等于k, 由式(18)計算

                        圖  4  轉彎軌跡投影點示意圖

                        Figure 4.  Diagram of turning trajectory projection

                        $$d{F_{Oi \to Dj}}{|_{\left( {x = {x_G}{\rm{'}}} \right)}} = k$$ (18)

                        聯立式 $(15)\sim (18) $ 可得到軌跡方程為曲線時, 投影點 ${G'_{ab}}$ 的坐標, 同理可以求出其他投影點的坐標.

                      • 以東進口方向為例, 當車輛從東進口駛入交叉口, 駛入網格位置點 $A{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 的投影點 $A_{Oi \to Dj}^{ab{\rm{'}}}$ 的橫坐標 $x_{Oi \to Dj}^{ab{\rm{'}}}$ 由式(19)計算; 駛出網格位置點 $B{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 的投影點 $B_{Oi \to Dj}^{ab{\rm{'}}}$ 的橫坐標 $X_{Oi \to Dj}^{ab{\rm{'}}}$ 由式(20)計算.

                        $$x_{Oi \to Dj}^{ab{\rm{'}}} = {\rm{max}}\left( {x_G^{\rm{'}},x_H^{\rm{'}},x_Q^{\rm{'}},x_U^{\rm{'}},x_c^{\rm{'}},{x_d}} \right)$$ (19)
                        $$X_{Oi \to Dj}^{ab{\rm{'}}} = {\rm{min}}\left( {x_G^{\rm{'}},x_H^{\rm{'}},x_Q^{\rm{'}},x_U^{\rm{'}},x_c^{\rm{'}},{x_d}} \right)$$ (20)

                        交點 $D{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 按車輛行駛方向排序, 排序后用 $D{{_{Oi \to Dj}^{ab{\left( z \right)}}}}$ 表示, 其中, $z \in \left\{ {1,2, ··· ,Z} \right\}$ , Z表示外邊界與網格交點的個數, 外邊界交點相鄰兩點之間的距離 $ l_{Oi \to Dj}^{\left( z \right)}$ , 由式(21)計算, 車輛進入第一個交點 $D{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 的時刻為自動駕駛車輛駛入交叉口的時刻, 如式(22)所示; 到第z個交點的時刻 $t{{_{Oi \to Dj}^{ab{\left( z \right)}}}}$ , 由式(23)計算

                        $$\begin{split}&l_{Oi \to Dj}^{\left( z \right)} =\sqrt {{{\left( {{x_d}^{\left( z \right)} - {x_d}^{\left( {z - 1} \right)}} \right)}^2} + {{\left( {{y_d}^{\left( z \right)} - {y_d}^{\left( {z - 1} \right)}} \right)}^2}}\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad z \in \left\{ {2, \cdots ,Z} \right\}\end{split}$$ (21)
                        $$t{{_{Oi \to Dj}^{ab{\left( 1 \right)}}}} = T_{Oi}^g\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ (22)
                        $$t{{_{Oi \to Dj}^{ab{\left( z \right)}}}} = t{{_{Oi \to Dj}^{ab\left( {z - 1} \right)}}} +\frac {l_{Oi \to Dj}^{\left( z \right)} }{ v},\;\;z \in \left\{ {2, \cdots ,Z} \right\}\quad\quad\\[-10pt]$$ (23)

                        $D{{_{Oi \to Dj}^{abA\left( z \right)}}}$ 表示點 $D{{_{Oi \to Dj}^{ab\left( z \right)}}}$ 在投影點 $A_{Oi \to Dj}^{ab'}$ 緊鄰其后的點, 對應的橫縱坐標為 $ \left( {x_d^A,y_d^A} \right)$ ; 用 $D{{_{Oi \to Dj}^{abB\left( z \right)}}}$ 表示點 $D{{_{Oi \to Dj}^{ab\left( z \right)}}}$ 在投影點 $B_{Oi \to Dj}^{ab'}$ 緊鄰其后的點, 對應的橫縱坐標為 $ \left( {x_d^B,y_d^B} \right)$ .

                        圖3所示, $A{{_{Oi \to Dj}^{ab'}}}$ $D{^{abA(z)}_{Oi→Dj}}$ 距離用 $l{{_{Oi \to Dj}^{ab}}}$ 表示, 通過式(24)計算; $B{{_{Oi \to Dj}^{ab'}}}$ $D{{_{Oi \to Dj}^{abB\left( z \right)}}}$ 距離用 $L{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 表示, 通過式(25)計算

                        $$l_{Oi \to Dj}^{ab} = \sqrt {{{\left( {x_{Oi \to Dj}^{ab\rm{'}} - x_d^A} \right)}^2} + {{\left( {y_{Oi \to Dj}^{ab\rm{'}} - y_d^A} \right)}^2}} $$ (24)
                        $$L_{Oi \to Dj}^{ab} = \sqrt {{{\left( {X_{Oi \to Dj}^{ab\rm{'}} - x_d^B} \right)}^2} + {{\left( {Y_{Oi \to Dj}^{ab\rm{'}} - y_d^B} \right)}^2}} $$ (25)

                        $t{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 表示軌跡OiDj上, 車輛車頭駛入網格Rab的時刻, 由式(26)計算; 用 $T{^{ab}_{Oi→Dj}}$ 表示車輛車尾駛出網格Rab的時刻, 由式(27)計算, 其中v表示車輛在交叉口內部勻速行駛的速度.

                        $$t_{Oi \to Dj}^{ab} = t{{_{Oi \to Dj}^{ab\left( n \right)}}} + \dfrac{l_{Oi \to Dj}^{ab}}{v},{\rm{}}\quad \quad \quad\quad n \in \left\{ {2, \cdots ,{\rm{}}N} \right\}\quad\quad$$ (26)
                        $$T_{Oi \to Dj}^{ab} = t{{_{Oi \to Dj}^{ab\left( n \right)}}} + \dfrac{L_{Oi \to Dj}^{ab}}{v}+\frac{ {d_c}}{v},\;\;n \in \left\{ {2, \cdots,{\rm{}}N} \right\}$$ (27)
                      • O方向第i條車道上, 車輛g理論到達交叉口的時刻為輸入條件, 用 $t{^{g}_{Oi}}$ 表示, 進入交叉口的時刻由 $T{^{g}_{Oi}}$ 表示, 實際到達交叉口的時刻由 $t_{Oi}^{g'}$ 表示, 車輛進入交叉口的時刻大于等于實際到達交叉口的時刻, 滿足式(28)約束.

                        $$ T_{Oi}^g = t_{Oi}^{g'} $$ (28)

                        實際到達交叉口的時刻大于等于理論到達交叉口時刻, 滿足式(29)的約束; 除了第1輛車, 車輛實際到達時刻應大于等于前車離開交叉口的時刻, 滿足式(30)的約束.

                        $$ t{_{Oi}^{g'}} \ge t_{Oi}^g,\quad \quad \quad \quad \;g \in \left\{ {1,2,3, \cdots ,{G_{Oi}}} \right\}\quad$$ (29)
                        $$t{_{Oi}^{g'}} \ge T_{Oi}^{g - 1} + \frac{{d_c}}{v}{\rm{}},\quad g \in \left\{ {2,3, \cdots ,{G_{Oi}}} \right\}\qquad$$ (30)

                        其中, GOi表示O方向第i條車道上的車輛總數. $\sigma{^{g}_{Oi→Dj}}$ 為二元變量, 當 $\sigma{^{g}_{Oi→Dj}}=1$ 表示車輛g選擇路徑OiDj, 否則該路徑未被選擇. 對任一輛車g, 車輛只能選擇某一條路徑通過交叉口, 滿足式(31)的約束.

                        $$\sum\limits_{i = 1}^{{n_O}} \sum\limits_{j = 1}^{{m_D}} \sigma _{Oi \to Dj}^g = 1$$ (31)

                        $\omega{^{g}_{ab}}$ 為二元變量, 當 $\omega{^{g}_{ab}}=1$ 表示車輛g壓過網格Rab, 否則網格未被車輛g壓過, 滿足式(32)的約束.

                        $$\omega _{ab}^g = \ \sum\limits_{i = 1}^{{n_O}} \sum\limits_{j = 1}^{{m_D}} \left( {\sigma _{Oi \to Dj}^g\times\tau _{Oi \to Dj}^{ab}} \right)$$ (32)

                        車輛g進入網格Rab時刻由式(33)計算, 駛出網格時刻由式(34)計算.

                        $$t_{ab}^g = T_{Oi}^g + \sum\limits_{i = 1}^{{n_O}} \sum\limits_{j = 1}^{{m_D}} \left( {\sigma _{Oi \to Dj}^g\times t_{Oi \to Dj}^{ab}} \right)$$ (33)
                        $$T_{ab}^g = T_{Oi}^g + \sum\limits_{i = 1}^{{n_O}} \sum\limits_{j = 1}^{{m_D}} \left( {\sigma _{Oi \to Dj}^g\times T_{Oi \to Dj}^{ab}} \right)$$ (34)
                      • 存在多條不同行駛軌跡的車輛同時到達同一個網格Rab的情形, 定義到達交叉口所有車輛的集合為G, 對于任意兩輛車 ${g_1},{g_2}\in {G}$ 假設車輛g1的軌跡為(OiDj)1, 車輛g2的軌跡為(OiDj)2; 無論車輛到達的先后順序, 使用式(35)和式(36)確保同一個網格在同一時刻只能被一輛車占用.

                        $$\begin{split} T_{ab}^{g1} - &t_{ab}^{g2} - M\times\left( {1 - \omega _{ab}^{g1}} \right) - M\times\left( {1 - \omega _{ab}^{g2}} \right) \le \\ &M\times{\mu _{g1{\rm{}}g2}}\\[-10pt] \end{split}$$ (35)
                        $$\begin{split} T_{ab}^{g2} -& t_{ab}^{g1} - M\times\left( {1 - \omega _{ab}^{g1}} \right) - M\times\left( {1 - \omega _{ab}^{g2}} \right) \le \\ &M\times\left( {1 - {\mu _{g1{\rm{}}g2}}} \right)\\[-10pt] \end{split}$$ (36)
                      • 車輛g的延誤由式(37)計算, 延誤等于駛入交叉口的時刻減去理論到達交叉口的時刻; 總延誤由式(38)計算, 根據式(39)定義的總延誤最小的目標函數, 以及式 $(1)\sim (38) $ 可以優化獲得每輛車在交叉口區域內的最佳路徑 $\sigma{^{g}_{Oi→Dj}},$ 即最佳進口車道和出口車道, 以及駛入交叉口的最佳時刻 $T{^{g}_{Oi}}.$

                        $$D_{Oi}^g = T_{Oi}^g - t_{Oi}^g\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;$$ (37)
                        $$Delay = \mathop \sum\limits_{O = E,W,S,N} \sum\limits_{i = 1}^{{n_O}} \sum\limits_{g = 1}^{{G_{Oi}}} D_{Oi}^g$$ (38)
                        $${\rm{min}}\left( {Delay} \right)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ (39)

                        上述模型假設車輛在交叉口內部以速度v勻速行駛, 若考慮自動駕駛車輛的加速度, 則自動駕駛車輛到達交叉口后需加速(或減速)至速度v, 再以速度v通過交叉口. 則在車輛加速(或減速)過程中, 上述模型中計算車輛通過交叉口網格時刻的式(23), (26), (27)將改寫為式 $(40)\sim(42) $ .

                        $$t{{_{Oi \to Dj}^{ab\left( z \right)}}} = t{{_{Oi \to Dj}^{ab\left( {z - 1} \right)}}} + {t_{D\left( z \right)}}{\rm{}},\;\;\;\;\!z \in \left\{ {2, \cdots ,Z} \right\}$$ (40)
                        $$t_{Oi \to Dj}^{ab} = t{{_{Oi \to Dj}^{ab\left( n \right)}}} + {t_{A\left( n \right)}},\;\;\;\;n \in \left\{ {2, \cdots ,{\rm{}}N} \right\}$$ (41)
                        $$T_{Oi \to Dj}^{ab} = t{{_{Oi \to Dj}^{ab\left( n \right)}}} + {T_{B\left( n \right)}},\;\;n \in \left\{ {2, \cdots ,{\rm{}}N} \right\}$$ (42)

                        其中, tD(z)可使用加速度與速度、距離的函數關系式計算, 如式(43)所示, 同理可求得tA(n)TB(n).

                        $$\begin{split} {t_{D\left( z \right)}} = &\frac{{\sqrt {v_t^2 + 2a \sum\limits_{k = 1}^z l_{Oi \to Dj}^{\left( k \right)}} - {v_t}}}{a} - \\ &\frac{{\sqrt {v_t^2 + 2a \sum\limits_{k = 1}^{z - 1} l_{Oi \to Dj}^{\left( k \right)}} - {v_t}}}{a}\end{split}$$ (43)

                        同理, 考慮車輛加速度, 約束車輛進入交叉口時刻的式(30)應改寫為式(44).

                        $$t{_{Oi}^{g'}} \ge T_{Oi}^{g - 1} + \sqrt \frac{2{d_c}}{a}, \;\;\;\;g \in \left\{ {2,3, \cdots,{G_{Oi}}} \right\}$$ (44)
                      • 本文模型為混合整數線性規劃模型, 可用常規的分枝定界法求解, 模型描述如下:

                        決策變量: $T^{g}_{Oi}, {\sigma_{Oi→Dj}^g}$

                        目標函數: min(Delay)

                        約束條件: 式 $(1)\sim (38) $ .

                        本文使用AMPL (A mathematical programming language)進行編碼并調用CPLEX進行求解, AMPL為通用的最優化問題建模軟件, CPLEX 由 IBM 公司開發, 是目前主流的求解線性規劃和整數規劃的求解器(solver), 可對線性規劃問題高效求解[31].

                      • 以實地某交叉口為對象, 實例分析驗證模型. 圖5為交叉口示意圖, 該交叉口為雙向四車道的十字型交叉口, 模型中參數: mE = mW = mS = mN = 2, nE = nW = nS = nN = 2. 通過錄像法采集交叉口路口交通流量數據, 選取某一時刻同時到達交叉口的16輛車進行分析. 表2為到達車輛的基本信息表, 其中包括車輛到達方向、轉彎方向以及車輛理論到達交叉口的時刻 $t^{g}_{Oi}$ (s). 道寬度dr= 3 m, 網格邊長dR= 3 m, 車輛長度dc= 4.5 m.

                        表 2  到達車輛的基本信息表

                        Table 2.  Attributes of the arrival vehicles

                        車輛編號 O 轉向 D $t^{g}_{Oi}$(s)
                        1 S 直行 N 2.29
                        2 S 左轉 W 4.35
                        3 S 右轉 E 2.88
                        4 S 直行 N 5.03
                        5 E 左轉 S 4.95
                        6 E 直行 W 6.04
                        7 E 直行 W 3.46
                        8 E 右轉 N 4.74
                        9 N 左轉 E 3.17
                        10 N 直行 S 5.54
                        11 N 直行 S 3.07
                        12 N 右轉 W 4.16
                        13 W 左轉 N 2.28
                        14 W 直行 E 3.75
                        15 W 右轉 S 3.17
                        16 W 右轉 S 4.55

                        圖  5  交叉口平面示意圖

                        Figure 5.  Intersection layouts

                        求解模型使用裝有Win7-64位系統的臺式機, 處理器為Intel(R) Core(TM) i5-3470, 3.20 GHz, 8 GB內存, 輸出車輛的最佳路徑和進入交叉口的最佳時刻, 計算結果如表3所示, 車輛駛入各網格的時刻如表4所示, 駛出各網格的時刻如表5所示.

                        表 3  本文模型計算結果表(s)

                        Table 3.  The results of the proposed model (s)

                        車輛編號 最佳路徑 $t_{Oi}^{g'}$ $T^{g}_{Oi}$ 延誤
                        1 S2→N2 2.28 2.28 0.00
                        2 S1→W1 4.37 4.37 0.00
                        3 S2→E2 2.86 3.03 0.17
                        4 S2→N2 5.05 5.05 0.00
                        5 E2→S2 4.94 6.70 1.76
                        6 E2→W2 7.55 7.55 1.49
                        7 E1→W1 3.42 3.63 0.21
                        8 E2→N2 4.71 4.71 0.00
                        9 N2→E2 3.10 5.63 2.53
                        10 N1→S2 6.08 6.08 0.49
                        11 N2→S2 3.08 3.08 0.00
                        12 N2→W2 4.17 4.17 0.00
                        13 W1→N1 2.26 2.26 0.00
                        14 W2→E2 4.99 4.99 1.24
                        15 S2→N2 3.14 3.14 0.00
                        16 S1→W1 5.74 5.74 1.21

                        表 4  本文模型車輛駛入網格的時刻表(s)

                        Table 4.  Time of vehicles entering the grids optimized by the proposed model (s)

                        車輛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
                        網格1 ? ? ? ? 8.2 ? ? ? ? 6.98 3.98 ? ? 4.99 3.14 5.74
                        網格2 ? 4.37 ? ? 8.18 ? ? ? ? ? ? ? ? 5.29 3.14 ?
                        網格3 ? 4.37 3.03 ? ? ? ? ? 6.6 ? ? ? ? 5.59 ? ?
                        網格4 2.28 ? 3.03 5.05 ? ? ? ? 6.84 ? ? ? ? 5.89 ? ?
                        網格5 ? 5.31 ? ? 7.88 ? ? ? ? 6.68 3.68 ? 2.26 ? ? ?
                        網格6 ? 4.79 ? ? 7.71 ? ? ? 6.25 ? ? ? 2.56 ? ? ?
                        網格7 ? 4.67 ? ? ? ? ? ? 6.33 ? ? ? 2.91 ? ? ?
                        網格8 2.58 ? ? 5.35 ? ? ? ? 6.74 ? ? ? ? ? ? ?
                        網格9 ? 5.36 ? ? 7.72 ? 4.53 ? ? 6.38 3.38 ? 2.26 ? ? ?
                        網格10 ? 5.07 ? ? 7.4 ? 4.23 ? 5.93 ? ? ? 2.68 ? ? ?
                        網格11 ? 5.02 ? ? 7.09 ? 3.93 ? 5.99 ? ? ? 2.96 ? ? ?
                        網格12 2.88 ? ? 5.65 6.7 ? 3.63 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
                        網格13 ? ? ? ? ? 8.45 ? ? ? 6.08 3.08 4.17 ? ? ? ?
                        網格14 ? ? ? ? 7.33 8.15 ? ? 5.63 ? ? ? 3.2 ? ? ?
                        網格15 ? ? ? ? 7 7.85 ? ? 5.63 ? ? ? 3.25 ? ? ?
                        網格16 3.18 ? ? 5.95 6.7 7.55 ? 4.71 ? ? ? ? ? ? ? ?

                        表 5  本文模型車輛駛出網格的時刻表(s)

                        Table 5.  Time of vehicles leaving the grids optimized by the proposed model (s)

                        車輛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
                        網格1 ? ? ? ? 9.03 ? ? ? ? 7.73 4.73 ? ? 5.74 3.89 6.61
                        網格2 ? 5.29 ? ? 9.03 ? ? ? ? ? ? ? ? 6.04 4.31 ?
                        網格3 ? 5.24 3.90 ? ? ? ? ? 7.43 ? ? ? ? 6.34 ? ?
                        網格4 3.03 ? 4.20 5.80 ? ? ? ? 7.73 ? ? ? ? 6.64 ? ?
                        網格5 ? 6.23 ? ? 8.73 ? ? ? ? 7.43 4.43 ? 3.13 ? ? ?
                        網格6 ? 5.81 ? ? 8.65 ? ? ? 7.04 ? ? ? 3.41 ? ? ?
                        網格7 ? 5.52 ? ? ? ? ? ? 7.29 ? ? ? 3.47 ? ? ?
                        網格8 3.33 ? ? 6.10 ? ? ? ? 7.73 ? ? ? ? ? ? ?
                        網格9 ? 6.23 ? ? 8.41 ? 5.28 ? ? 7.13 4.13 ? 3.18 ? ? ?
                        網格10 ? 5.93 ? ? 8.33 ? 4.98 ? 6.78 ? ? ? 3.70 ? ? ?
                        網格11 ? 5.58 ? ? 8.02 ? 4.68 ? 6.87 ? ? ? 3.82 ? ? ?
                        網格12 3.63 ? ? 6.40 7.56 ? 4.38 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
                        網格13 ? ? ? ? ? 9.20 ? ? ? 6.83 3.83 5.04 ? ? ? ?
                        網格14 ? ? ? ? 8.02 8.90 ? ? 6.44 ? ? ? 4.12 ? ? ?
                        網格15 ? ? ? ? 7.85 8.60 ? ? 6.45 ? ? ? 4.12 ? ? ?
                        網格16 3.93 ? ? 6.70 7.54 8.30 ? 5.58 ? ? ? ? ? ? ? ?

                        將本文模型與無路徑規劃模型、感應控制模型和先到先服務模型(FCFS模型)進行對比. 其中無路徑規劃模型已知車輛在交叉口的行駛路徑, 只優化車輛進入交叉口的時刻. 感應控制模型以南北直行為起始相位, 圖6為感應控制的相位圖, 使用經典的雙環結構, 感應控制模型中最小和最大綠燈時間分別設置為15 s和40 s. FCFS模型中, 車輛按理論到達時刻的先后次序依次進入交叉口. 三個模型中車輛進入交叉口的時刻及延誤對比如表6圖7所示.

                        圖  6  感應控制相位圖

                        Figure 6.  Phases of actuated signal control

                        表 6  三種對比模型的計算結果匯總表(s)

                        Table 6.  Results of three models for comparing (s)

                        車輛編號 無路徑規劃模型 感應控制模型 FCFS 模型
                        $t_{Oi}^{g'}$ $T^{g}_{Oi}$ 延誤 $t_{Oi}^{g'}$ $T^{g}_{Oi}$ 延誤 $t_{Oi}^{g'}$ $T^{g}_{Oi}$ 延誤
                        1 2.28 2.28 3.22 2.29 2.29 0.00 2.28 2.28 0.00
                        2 4.37 4.37 4.37 4.35 45.00 40.65 2.29 3.24 0.95
                        3 2.86 2.86 2.86 2.88 2.88 0.00 2.88 2.88 0.00
                        4 5.05 6.29 6.29 5.03 5.03 0.00 3.07 3.07 0.00
                        5 4.94 4.94 5.27 4.95 15.00 10.05 3.17 4.89 1.72
                        6 6.06 6.14 6.14 15.45 30.00 23.96 3.17 3.17 0.00
                        7 3.42 3.42 4.57 3.46 30.00 26.54 3.46 5.41 1.95
                        8 4.71 5.32 5.32 30.45 30.45 25.71 3.75 6.09 2.34
                        9 3.10 3.10 7.18 3.17 45.00 41.83 4.16 4.16 0.00
                        10 5.59 8.04 8.04 45.45 60.00 54.46 4.35 7.14 2.79
                        11 3.08 3.08 3.11 3.07 3.07 0.00 4.55 4.72 0.18
                        12 4.17 4.17 4.17 4.16 4.16 0.00 5.41 4.74 0.00
                        13 2.26 2.26 2.26 2.28 15.00 12.72 4.95 8.04 3.09
                        14 3.75 6.53 6.53 15.45 30.00 26.25 5.03 8.66 3.63
                        15 3.14 3.14 3.14 3.17 3.17 0.00 5.54 9.00 3.45
                        16 4.53 4.76 4.76 4.55 4.55 0.00 8.04 10.01 3.97

                        圖  7  車均延誤對比圖

                        Figure 7.  Comparison of average vehicle delays

                        本文模型、無路徑規劃模型、感應控制模型和FCFS模型中車均延誤分別是0.57 s、0.87 s、16.39 s和1.50 s, 總延誤分別是9.10 s、13.92 s、262.17 s和24.06 s. 本文模型與無路徑規劃模型、感應控制模型和FCFS模型對比, 車均延誤降低幅度明顯. 本文模型和無路徑規劃模型的車輛延誤較為集中, 25 % $\sim $ 75 %的數據分布在0 $\sim $ 1.22 s和0 $\sim $ 1.19 s的區間內, FCFS模型的車輛延誤較分散, 25 % $\sim $ 75 %的數據在0 $\sim $ 2.94 s的區間內, 感應控制模型的車輛延誤最為分散, 25 % $\sim $ 75 %的數據在0 $\sim $ 26.39 s的區間內, 表明了本文模型能有效降低車輛延誤. 由于本文模型和感應控制模型延誤相差明顯, 只對比本文模型和無路徑規劃模型及FCFS模型的單個車輛延誤, 如圖8所示.

                        圖  8  不同模型下每輛車延誤對比圖

                        Figure 8.  Comparison of vehicles' delay of different models

                        圖8可知, 本文模型、無路徑規劃模型和FCFS模型中最大車輛延誤分別是2.53 s、4.08 s 和3.97 s,本文模型與無路徑規劃模型、FCFS模型對比, 最大車輛延誤分別降低37.99 %和36.27 %. 對比本文模型和無路徑規劃模型, 本文模型通過最優化車輛行駛路徑, 使平均延誤和延誤的波動幅度顯著降低, 證明了本文模型中交叉口車輛路徑規劃的有效性.

                        圖9為本文模型中, 車輛進入各網格的箱型圖, 從圖9可以看出車輛進入各網格時刻的均值和中位數分布, 以及最早和最遲進入的時刻. 箱體由25 % $\sim $ 75 %的數據組成, 箱體長度可反映網格空間利用的集中程度, 箱體較短表明空間利用效率高. 網格7和8均只有3輛車駛入, 因此最小值和下四分位線重合, 最大值和上四分位線重合. 圖10為本文模型、無路徑規劃模型和FCFS模型中車輛占用網格時刻圖, 三種模型對網格的總占用時間分別是87.55 s、75.63 s和99.10 s, 利用時間分別是58.39 s、52.67 s、56. 91 s. 占用方格的次數依次是71、65、69次, 平均利用時間分別是1.23 s、1.16 s、1.43 s. 結合延誤對比可以發現, 本文模型通過優化并協調車輛在交叉口內部的行駛路徑, 對交叉口內部網格的利用時間增大, 從而降低了車均延誤, 進一步表明了模型有效性.

                        圖  9  車輛進入網格時刻圖

                        Figure 9.  Time for vehicles entering the grids

                        圖  10  車輛占用網格時刻圖

                        Figure 10.  Characteristic of vehicles occupying the grids

                        質點模型指不考慮車輛實際尺寸, 將車輛作為質點的交叉口管控模型. 為進一步驗證本文模型和質點模型的區別, 在本文模型基礎上, 其他條件不變, 只將車輛質點化處理. 由于車輛質點化后模型復雜度降低, 不需要本文模型外邊界投影降維法建立軌跡與網格的映射關系. 通過對比模型效益, 發現與本文模型對比, 質點模型產生的總延誤大幅降低, 總延誤為3.96 s, 降低幅度為56.48%. 表明了將車輛質點化會明顯高估交叉口管控模型的效益. 表7總結了本文模型和質點模型的計算結果對比, 可以發現, 由于車輛的質點化, 質點模型中車輛5、7、9、11、12等車輛的最佳行駛路徑與本文模型存在較大差異, 進一步說明質點模型的局限性.

                        表 7  本文模型和質點模型計算結果對比表

                        Table 7.  Comparison of results of the proposed model and the model treats vehicle as point

                        車輛編號 本文模型 質點模型 最佳路徑相同
                        延誤 最佳路徑 延誤 最佳路徑
                        1 0.00 S2→N2 0.00 S2→N2
                        2 0.00 S1→W1 1.71 S1→W1
                        3 0.17 S2→E2 0.00 S2→E2
                        4 0.00 S2→N2 0.86 S2→N2
                        5 1.76 E2→S2 0.00 E1→S1
                        6 1.49 E2→W2 0.00 E2→W2
                        7 0.21 E1→W1 0.61 E2-W2
                        8 0.00 E2→N2 0.07 E2→N2
                        9 2.53 N2→E2 0.30 N1→E1
                        10 0.49 N1→S2 0.00 N1→S2
                        11 0.00 N2→S2 0.00 N2→S1
                        12 0.00 N2→W2 0.01 N2-W1
                        13 0.00 W1→N1 0.00 W1→N1
                        14 1.24 W2→E2 0.40 W1→E2
                        15 0.00 W2→S1 0.00 W2→S2
                        16 1.21 W2→S2 0.00 W2→S2

                        為進一步驗證本文模型能適應不同的交通流到達情形, 基于滾動時間窗方法, 以5 s為計算步長, 共劃分20個時間窗滾動優化. 使用泊松分布隨機生成到達的車輛, 每個車道的到達率分別在 $0.25\sim $ 0.30范圍內隨機取值, 100 s范圍內共有285輛車, 車輛在交叉口的通行方向(左轉、直行、右轉)通過隨機數產生, 根據每輛車理論到達交叉口的時刻 $t^{g}_{Oi}$ 確定每個時間窗內的車輛. 如果優化得到進入交叉口的時刻 $T^{g}_{Oi}$ 大于時間窗上限, 則表示該車輛在當前時間窗未通過交叉口, 在下個時間窗繼續優化. 各時間窗內車輛車均延誤和總延誤如表8所示, 所有285輛車的總延誤為274.91 s, 車均延誤為0.96 s.

                        表 8  基于滾動時間窗的優化結果

                        Table 8.  Optimization results based on rolling horizon window

                        時段 $0\sim 5 $ s $5\sim 10 $ s $10\sim 15 $ s $15\sim 20 $ s $20\sim 25 $ s $25\sim 30 $ s $30\sim 35 $ s $35\sim 40 $ s $40\sim 45 $ s $45\sim 50 $ s
                        延誤 (s) 2.71 14.00 23.85 15.92 4.59 6.08 3.63 2.96 15.54 16.67
                        車均延誤 0.23 0.88 1.40 1.14 0.38 0.47 0.28 0.27 0.86 1.39
                        時段 $50\sim 55 $ s $55\sim 60 $ s $60\sim 65 $ s $65\sim 70 $ s $70\sim 75 $ s $75\sim 80 $ s $80\sim 85 $ s $85\sim 90 $ s $90\sim 95 $ s $95\sim 100 $ s
                        延誤 (s) 26.58 25.09 14.13 5.26 3.08 16.87 22.44 4.61 6.81 17.09
                        車均延誤 1.90 1.32 0.88 0.53 0.22 1.21 1.18 0.46 0.52 0.95

                        表9給出了本文求解算法在不同數量的相互沖突車輛到達時的計算效率, 從表9中可以看出, 當到達車輛數增大時, 由于本文模型需求解全局最優解, 模型的計算時間增幅較大. 如需考慮實時計算需求, 可使用上述滾動時間窗的方法進行優化, 表9同時給出了基于2 s的滾動時間窗的平均計算時間.

                        表 9  計算時間表(s)

                        Table 9.  Results of computational time (s)

                        到達車輛數 本文模型計算時間 基于滾動時間窗平均計算時間
                        9輛車 0.05 0.03
                        10輛車 0.14 0.02
                        11輛車 0.22 0.04
                        12輛車 0.67 0.06
                        13輛車 1.47 0.09
                        14輛車 1.40 0.09
                        15輛車 1.68 0.09
                        16輛車 2.25 0.05
                        17輛車 3.06 0.05
                        18輛車 5.57 0.08
                        19輛車 11.97 0.16
                        20輛車 18.05 0.17
                      • 自動駕駛環境下的交叉口管控是自動駕駛技術在城市道路應用的關鍵點, 在交叉口內部區域, 自動駕駛車輛的行駛路徑和進入時刻是研究的重點. 已有研究大多假設行駛路徑確定且已知, 將其作為輸入研究最佳的進入時刻. 但在自動駕駛環境下, 由于無需信號燈控制, 可以針對每臺車輛進行通行方案的優化, 車輛可以通過選擇不同進口道和出口道的方式規避沖突, 因此, 可以同時優化車輛在交叉口內部的行駛路徑和車輛進入交叉口的時刻.

                        本文正是基于上述思路, 將交叉口內部區域離散化, 建立直角坐標系確定網格的坐標方程. 考慮車輛的實際大小并面向非常規交叉口, 使用橢圓曲線建立轉彎車輛行駛路徑的精確軌跡方程, 再通過外邊界投影降維法建立軌跡方程和交叉口空間的映射關系, 計算駛入和駛出網格的時刻. 建立沖突模型確保網格不被重疊占用, 確保車輛行駛安全, 模型以總延誤最小為目標函數. 將模型在AMPL中編碼, 使用CPLEX求解器求解. 對模型進行案例分析, 結果表明: 對比無路徑規劃模型、感應控制和先到先服務模型, 本文模型能顯著降低車均延誤, 提高交叉口空間利用率.

                        然而, 本文沒有研究自動駕駛交叉口交通管控模型的求解算法, 在大量相互沖突的車輛同時到達交叉口時, 會存在求解變慢的問題, 可采用滾動時間窗的方法求解, 下一步也將研究更加高效的求解方法. 其次, 本文模型假設車輛在交叉口內部勻速行駛, 下一步可在考慮乘客舒適性的基礎上, 優化自動駕駛車輛的行車速度. 此外, 下一步研究可考慮將基于預定(Reservation)的道路或車輛資源分配引入自動駕駛環境下的交叉口管控模型[32-33]. 最后, 不同需求和不同到達分布條件下的模型效益測試和仿真平臺開發也是本文進一步的研究方向.

                        表 A1  擴展參數說明表

                        Table A1.  Extended parameter definition

                        參數 說明
                        v 表示車輛以速度 v 勻速通過交叉口 (m/s)
                        FEiWj, fEiWj 車輛軌跡的外邊界和內邊界方程
                        $Q^{1}_{Oi→Dj}, Q^{2}_{Oi→Dj}$ 直行軌跡 OiDj 的外邊界進入和駛出交叉口的點用 $Q^{1}_{Oi→Dj}$和 $ Q^{2}_{Oi→Dj}$表示, 對應的橫縱坐標分別為
                        $( {X_{Oi \to Dj}^1,{\rm{} }Y_{Oi \to Dj}^1} )$、 $( {X_{Oi \to Dj}^2,{\rm{} }Y_{Oi \to Dj}^2} )$
                        gab, hab, qab, uab 按順時針方向, 網格 Rab 的四個頂點, 對應的橫縱坐標依次是 $ \left( {{x_g},{y_g}} \right)$, $ \left( {{x_h},{y_h}} \right)$, $ \left( {{x_q},{y_q}} \right)$, $ \left( {{x_u},{y_u}} \right)$
                        Gab, Hab, Qab, Uab 表示網格 Rab 的四個頂點在軌跡范圍內, 對應的橫縱坐標依次是 $ \left( {{x_G},{y_G}} \right),\;\left( {{x_H},{y_H}} \right),\;\left( {{x_Q},{y_Q}} \right),\;\left( {{x_U},{y_U}} \right)$
                        ${G'_{ab} },{H'_{ab} },{Q'_{ab} },{U'_{ab} }$ 表示點 Gab, Hab, Qab, Uab 在外邊界線上的投影點, 對應的橫縱坐標依次是 $( { {x'_G},{y'_G} } ),\;( { {x'_H},{y'_H} } ),\;( { {x'_Q},{y'_Q} } ),\;( { {x'_U},{y'_U} } )$
                        $C^{ab}_{Oi→Dj}$ 內邊界方程和網格坐標范圍的交點, 橫縱坐標為 $ \left( {{x_c},{y_c}} \right)$
                        $C_{Oi \to Dj}^{ab'}$ 交點 $C^{ab}_{Oi→Dj}$在外邊界的投影點, 橫縱坐標為 $\left( { {x'_c},{y'_c}} \right)$
                        $D^{ab}_{Oi→Dj}$ 外邊界方程和網格坐標范圍的交點, 橫縱坐標為 $ \left( {{x_d},{y_d}} \right)$
                        $l_{Oi \to Dj}^{\left( z \right)}$ 相鄰兩外邊界交點之間的距離(m)
                        z 外邊界方程和網格坐標范圍的的交點的序號, 其中 $z \in \left\{ {1,2, ··· ,Z} \right\}$
                        Z 軌跡外邊界與網格交點的個數
                        $A^{ab}_{Oi→Dj}$ 車輛駛入網格 Rab 的位置點, 橫縱坐標為 $\left( {x_{Oi \to Dj}^{ab},y_{Oi \to Dj}^{ab} } \right)$
                        $A_{Oi \to Dj}^{ab'}$ 點 $A{ {_{Oi \to Dj}^{ab} } }$在軌跡外邊界的投影點, 橫縱坐標為 $\left( {x_{Oi \to Dj}^{ab'},y_{Oi \to Dj}^{ab'} } \right)$
                        $l^{ab}_{Oi→Dj}$ 駛入網格位置點的投影點 $ A{{_{Oi \to Dj}^{ab'}}}$與緊鄰其后的外邊界交點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{ab} } }$的距離 (m)
                        $B^{ab}_{Oi→Dj}$ 駛出網格的位置點, 橫縱坐標為 $\left( {X_{Oi \to Dj}^{ab},Y_{Oi \to Dj}^{ab} } \right)$
                        $B_{Oi \to Dj}^{ab'}$ 點 $B{ {_{Oi \to Dj}^{ab} } }$在軌跡外邊界的投影點, 橫縱坐標為 $\left( {X_{Oi \to Dj}^{ab},Y_{Oi \to Dj}^{ab'} } \right)$
                        $L^{ab}_{Oi→Dj}$ 駛出網格位置點的投影點 $B{ {_{Oi \to Dj}^{ab'} } }$與緊鄰其后的外邊界交點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{ab} } }$的距離 (m)
                        k 外邊界直線軌跡方程 FOiDj 的斜率或外邊界曲線上某點切線的斜率
                        K 點與投影點確定的直線的斜率
                        C 常數
                        N* 正整數集合
                        M 大的正數
                        vt 車輛進入交叉口時的速度 (m/s)
                        a 車輛加減速時的加速度 (m·s2)
                        tD(z) 車輛在點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{ab\left( z-1 \right)} } }$和點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{ab\left( z \right)} } }$之間, 加速 (或減速) 行駛 $ l_{Oi \to Dj}^{\left( z \right)}$的距離所用的時間(s)
                        tA(z) 車輛在點 $A{ {_{Oi \to Dj}^{ab'} } }$和點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{abA\left( z \right)} } }$之間, 加速 (或減速) 行駛 $l^{ab}_{Oi→Dj}$的距離所用的時間(s)
                        TB(z) 車輛在點 $B{ {_{Oi \to Dj}^{ab'} } }$和點 $D{ {_{Oi \to Dj}^{abB\left( z \right)} } }$之間, 加速 (或減速) 行駛 $L^{ab}_{Oi→Dj}+d_e$距離所用的時間(s)
                    參考文獻 (33)

                    目錄

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