2.793

                    2018影響因子

                    (CJCR)

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                    漸近非局部平均圖像去噪算法

                    邢笑笑 王海龍 李健 張選德

                    邢笑笑, 王海龍, 李健, 張選德. 漸近非局部平均圖像去噪算法. 自動化學報, 2020, 46(9): 1952?1960. doi: 10.16383/j.aas.c190294
                    引用本文: 邢笑笑, 王海龍, 李健, 張選德. 漸近非局部平均圖像去噪算法. 自動化學報, 2020, 46(9): 1952?1960. doi: 10.16383/j.aas.c190294
                    Xing Xiao-Xiao, Wang Hai-Long, Li Jian, Zhang Xuan-De. Asymptotic non-local means image denoising algorithm. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1952?1960. doi: 10.16383/j.aas.c190294
                    Citation: Xing Xiao-Xiao, Wang Hai-Long, Li Jian, Zhang Xuan-De. Asymptotic non-local means image denoising algorithm. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1952?1960. doi: 10.16383/j.aas.c190294

                    漸近非局部平均圖像去噪算法


                    DOI: 10.16383/j.aas.c190294
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      陜西科技大學電子信息與人工智能學院碩士研究生. 2017年獲得吉林農業大學工學學士學位. 主要研究方向為圖像處理, 圖像去噪. E-mail: xingxiao_0918@163.com

                      寧夏師范學院數學與計算機科學學院講師. 2011年獲得香港公開大學教育碩士學位. 主要研究方向為代數. E-mail: wanghailong7903@163.com

                      陜西科技大學電子信息與人工智能學院教授. 2002年獲得浙江大學工學博士學位. 主要研究方向為圖形圖像處理, 大數據挖掘與機器學習, 網絡與信息安全. E-mail: lijianjsj@sust.edu.cn

                      陜西科技大學電子信息與人工智能學院教授. 2013年獲得西安電子科技大學理學博士學位. 主要研究方向為圖像恢復, 圖像質量評價, 稀疏表示和低秩逼近理論. 本文通信作者. E-mail: zhangxuande@sust.edu.cn

                    • 基金項目:  國家自然科學基金(61871260, 61362029, 61811530325, 61871259, 61603234)資助

                    Asymptotic Non-local Means Image Denoising Algorithm

                    More Information
                    • Fund Project:  Supported by National Natural Science Foundation of China (61871260, 61362029, 61811530325, 61871259, 61603234)
                    • 摘要: 非局部平均去噪算法(Non-local means denoising algorithm, NLM)是圖像處理領域具有里程碑意義的算法, NLM的提出開啟了影響深遠的非局部方法. 本文從以下兩個方面來重新探討非局部平均算法: 1) 針對NLM算法運算復雜度高的問題, 基于互相關(Cross-correlation, CC)和快速傅里葉變換(Fast Fourier transformation, FFT)構造了一種快速算法; 2) NLM在濾除噪聲的同時會模糊圖像結構信息, 在強噪聲條件下更是如此. 針對這一問題, 提出了一種漸近非局部平均圖像去噪算法, 該算法利用方差的性質來控制濾波參數. 數值實驗表明, 快速算法較之經典算法, 在標準參數配置下運行速度可提高27倍左右; 漸近非局部平均圖像去噪算法較之經典非局部平均圖像去噪算法, 去噪效果顯著改善.
                    • 圖  1  像素點i處的取塊示意圖

                      Fig.  1  The schematic of taking blocks at pixel points i

                      圖  2  濾波參數的大小對權值的影響

                      Fig.  2  The influence of filter parameter size on the weight

                      圖  3  NLM濾波與原圖的效果比較

                      Fig.  3  Effect comparison of NLM and original image

                      圖  4  漸近非局部的濾波結果

                      Fig.  4  Denoising result of asymptotic non-local

                      圖  5  三種算法對噪聲圖像的效果比較

                      Fig.  5  Effect comparison of three algorithms on noisy image

                      圖  6  三種算法對局部噪聲圖像的效果比較

                      Fig.  6  Effect comparison of three algorithms on local noisy image

                      表  1  三種去噪算法運行速度的比較

                      Table  1  Comparison of running speeds of three denoising algorithms

                      圖像塊
                      尺寸
                      搜索區域
                      尺寸
                      NLM運行
                      時間 (s)
                      NLM-P運行
                      時間 (s)
                      FNLM運行
                      時間 (s)
                      NLM與NLM-P
                      運行時間之比值
                      NLM與FNLM
                      運行時間之比值
                      NLM-P與FNLM
                      運行時間之比值
                      3 × 321 × 21232.7919.417.1711.9932.462.71
                      3 × 331 × 31505.6442.0110.5312.0448.023.99
                      3 × 351 × 51873.02113.0413.957.7262.588.10
                      3 × 3101 × 1015 024.73160.1048.4931.38103.623.30
                      5 × 521 × 21236.1218.298.6812.9127.202.11
                      5 × 531 × 31512.7739.9012.7412.8540.253.13
                      5 × 551 × 51911.16108.0416.198.4356.286.67
                      5 × 5101 × 1015 159.80154.8353.1333.3397.122.91
                      7 × 721 × 21250.7719.2111.2813.0522.231.70
                      7 × 731 × 31547.5042.2916.5112.9533.162.56
                      7 × 751 × 151913.15114.3719.755.5846.245.79
                      7 × 7101 × 1015 328.55163.5659.9632.5888.872.73
                      9 × 921 × 21256.4918.5413.4013.8319.141.38
                      9 × 931 × 31560.1739.6320.7014.1327.061.91
                      9 × 951 × 51969.08108.7423.358.9141.504.66
                      9 × 9101 × 1015 516.60154.7567.4135.6581.842.30
                      下載: 導出CSV

                      表  2  三種去噪算法對灰度圖像的效果比較

                      Table  2  Effect comparison of three denoising algorithms on gray images

                      圖像算法25305075100
                      PSNR/SSIMPSNR/SSIMPSNR/SSIMPSNR/SSIMPSNR/SSIM
                      Camera 256 × 256NLM28.23/0.7727.27/0.7324.26/0.5721.82/0.4120.17/0.30
                      PNLM28.39/0.8227.58/0.7924.96/0.7122.59/0.6121.02/0.52
                      ANLM28.07/0.8327.43/0.8125.35/0.7323.32/0.6421.80/0.56
                      Lena 512 × 512NLM30.11/0.8929.13/0.8726.21/0.7823.75/0.6722.00/0.58
                      PNLM30.58/0.8929.72/0.8827.18/0.8125.07/0.7323.65/0.67
                      ANLM30.59/0.9029.80/0.8927.57/0.8325.72/0.7724.35/0.71
                      Boat 512 × 512NLM28.17/0.8527.21/0.8224.53/0.7222.48/0.6121.04/0.53
                      PNLM28.40/0.8527.51/0.8224.99/0.7223.17/0.6322.07/0.56
                      ANLM28.55/0.8627.74/0.8425.50/0.7523.73/0.6722.58/0.61
                      Finger 512 × 512NLM26.57/0.9325.43/0.9121.84/0.7919.18/0.6317.73/0.51
                      PNLM26.41/0.9325.45/0.9122.15/0.7819.22/0.5717.64/0.40
                      ANLM26.41/0.9425.63/0.9323.00/0.8320.40/0.6818.58/0.52
                      B Fly 512 × 512NLM28.09/0.8527.12/0.8223.88/0.6920.61/0.5418.39/0.41
                      NLM27.78/0.8826.98/0.8624.32/0.7921.44/0.68 18.99/0.56
                      ANLM27.61/0.8926.84/0.8724.65/0.8022.44/0.7220.45/0.63
                      Man 512 × 512NLM28.28/0.8527.39/0.8224.87/0.7122.83/0.6121.35/0.53
                      PNLM28.45/0.8427.62/0.8125.32/0.7123.61/0.6222.51/0.56
                      ANLM28.63/0.8627.89/0.8325.83/0.7524.20/0.6723.08/0.61
                      Baboon 512 × 512NLM24.53/0.8123.66/0.7721.60/0.6320.27/0.5219.36/0.44
                      PNLM24.61/0.8123.75/0.7621.51/0.5920.23/0.4719.61/0.40
                      ANLM24.62/0.8323.88/0.7921.83/0.6420.57/0.5319.90/0.45
                      Straw 256 × 256NLM24.67/0.8023.50/0.7420.71/0.5519.16/0.3918.27/0.31
                      PNLM24.94/0.8123.78/0.7520.66/0.5118.96/0.3218.25/0.24
                      ANLM24.96/0.8324.04/0.7821.23/0.5819.37/0.4018.51/0.32
                      Barbara 512 × 512NLM28.26/0.8927.11/0.8724.05/0.7621.92/0.6520.54/0.57
                      PNLM28.76/0.9027.64/0.8824.51/.07822.45/0.6821.30/0.60
                      ANLM28.72/0.9127.82/0.8925.08/0.8123.02/0.7121.82/0.65
                      Montage 256 × 256NLM30.31/0.8329.17/0.7825.54/0.6222.21/0.4420.24/0.33
                      PNLM30.56/0.8829.50/0.8626.41/0.7923.51/0.6921.31/0.59
                      ANLM30.60/0.8929.65/0.8727.04/0.8024.50/0.7122.28/0.62
                      House 256 × 256NLM30.60/0.7829.43/0.7425.92/0.5723.20/0.4121.43/0.30
                      PNLM31.30/0.8330.26/0.8126.97/0.7324.31/0.6222.74/0.54
                      ANLM31.28/0.8430.47/0.8227.85/0.7525.35/0.6623.58/0.58
                      Hill 512 × 512NLM28.21/0.8327.33/0.7924.94/0.6823.08/0.5821.68/0.51
                      PNLM28.37/0.8227.51/0.7825.31/0.6623.87/0.5723.01/0.52
                      ANLM28.69/0.8427.94/0.8125.86/0.7124.38/0.6223.44/0.57
                      Couple 512 × 512NLM27.50/0.8426.52/0.8024.03/0.6922.16/0.5820.84/0.50
                      PNLM27.76/0.8426.74/0.8024.27/0.6722.68/0.5721.71/0.51
                      ANLM28.12/0.8627.21/0.8324.79/0.7223.22/0.6222.20/0.56
                      Peppers 256 × 256NLM28.61/0.7927.58/0.7524.45/0.6021.76/0.4520.00/0.34
                      PNLM29.04/0.8328.08/0.8025.12/0.7222.40/0.6220.64/0.53
                      ANLM28.75/0.8427.93/0.8125.51/0.7423.34/0.6521.64/0.57
                      下載: 導出CSV
                      360彩票
                    • [1] 許錄平. 數字圖像處理學, 北京: 科學出版社, 2007. 86−88

                      Xu Lu-Ping. Digital Image Processing. Beijing: Publishing House of Science, 2007. 86−88
                      [2] Huang H C, Lee T C M. Data adaptive median filters for signal and image denoising using a generalized SURE criterion. IEEE Signal Processing Letters, 2006, 13(9): 561?564 doi:  10.1109/LSP.2006.874463
                      [3] Yuan S Q, Tan Y H. Impulse noise removal by a global-local noise detector and adaptive median filter. Signal Processing, 2006, 86(8): 2123?2128 doi:  10.1016/j.sigpro.2006.01.009
                      [4] Huang X D, Woolsey G A. Image denoising using wiener filtering and wavelet thresholding. In: Proceedings of the 2000 IEEE Multimedia and Expo, New York, USA: IEEE, 2000. 1759?1762
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                    圖(6) / 表(2)
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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2019-04-11
                    • 錄用日期:  2019-09-09
                    • 網絡出版日期:  2020-09-28
                    • 刊出日期:  2020-09-28

                    漸近非局部平均圖像去噪算法

                    doi: 10.16383/j.aas.c190294
                      基金項目:  國家自然科學基金(61871260, 61362029, 61811530325, 61871259, 61603234)資助
                      作者簡介:

                      陜西科技大學電子信息與人工智能學院碩士研究生. 2017年獲得吉林農業大學工學學士學位. 主要研究方向為圖像處理, 圖像去噪. E-mail: xingxiao_0918@163.com

                      寧夏師范學院數學與計算機科學學院講師. 2011年獲得香港公開大學教育碩士學位. 主要研究方向為代數. E-mail: wanghailong7903@163.com

                      陜西科技大學電子信息與人工智能學院教授. 2002年獲得浙江大學工學博士學位. 主要研究方向為圖形圖像處理, 大數據挖掘與機器學習, 網絡與信息安全. E-mail: lijianjsj@sust.edu.cn

                      陜西科技大學電子信息與人工智能學院教授. 2013年獲得西安電子科技大學理學博士學位. 主要研究方向為圖像恢復, 圖像質量評價, 稀疏表示和低秩逼近理論. 本文通信作者. E-mail: zhangxuande@sust.edu.cn

                    摘要: 非局部平均去噪算法(Non-local means denoising algorithm, NLM)是圖像處理領域具有里程碑意義的算法, NLM的提出開啟了影響深遠的非局部方法. 本文從以下兩個方面來重新探討非局部平均算法: 1) 針對NLM算法運算復雜度高的問題, 基于互相關(Cross-correlation, CC)和快速傅里葉變換(Fast Fourier transformation, FFT)構造了一種快速算法; 2) NLM在濾除噪聲的同時會模糊圖像結構信息, 在強噪聲條件下更是如此. 針對這一問題, 提出了一種漸近非局部平均圖像去噪算法, 該算法利用方差的性質來控制濾波參數. 數值實驗表明, 快速算法較之經典算法, 在標準參數配置下運行速度可提高27倍左右; 漸近非局部平均圖像去噪算法較之經典非局部平均圖像去噪算法, 去噪效果顯著改善.

                    English Abstract

                    邢笑笑, 王海龍, 李健, 張選德. 漸近非局部平均圖像去噪算法. 自動化學報, 2020, 46(9): 1952?1960. doi: 10.16383/j.aas.c190294
                    引用本文: 邢笑笑, 王海龍, 李健, 張選德. 漸近非局部平均圖像去噪算法. 自動化學報, 2020, 46(9): 1952?1960. doi: 10.16383/j.aas.c190294
                    Xing Xiao-Xiao, Wang Hai-Long, Li Jian, Zhang Xuan-De. Asymptotic non-local means image denoising algorithm. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1952?1960. doi: 10.16383/j.aas.c190294
                    Citation: Xing Xiao-Xiao, Wang Hai-Long, Li Jian, Zhang Xuan-De. Asymptotic non-local means image denoising algorithm. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1952?1960. doi: 10.16383/j.aas.c190294
                    • 圖像經常在采集和傳輸過程中被噪聲污染, 噪聲的存在會降低圖像質量, 影響人們對圖像的觀察. 在與圖像相關的各種應用中, 有效地抑制噪聲有助于產生可靠的結果. 因此, 對圖像進行預先的去噪處理非常重要.

                      圖像去噪一直是圖像處理領域的一個重要研究課題, 研究學者們根據噪聲特性, 提出了許多關于空域或頻域的濾波方法. 其中, 空域濾波是基于鄰域處理的增強方法, 直接在圖像所在的二維空間進行處理, 即處理每一個像素點的灰度值. 其主要方法有均值濾波、中值濾波、高斯濾波和維納濾波等[1-4]. 而頻域濾波是將圖像變換到頻域后, 在頻域中處理其變換系數, 然后再進行逆變換得到濾波后的圖像. 常用的變換包括小波變換[5-6]、傅里葉變換[7]、基于過完備字典的稀疏表示[8-9]、基于多尺度幾何分析的變換等[10-12]. 以上這些方法大多是基于局部處理的思想, 即通過對像素點鄰域內所有像素或部分像素進行加權平均從而實現圖像去噪. 1998年Tomasi等[13]提出了利用兩個像素空間上的鄰近關系和灰度上的相似性來確定權值的方法, 此為非局部思想的雛形. 2005年Buades等[14]基于圖像中包含大量自相似結構的特點, 提出了非局部平均去噪算法(Non-local means denoising algorithm, NLM), 該算法利用加權平均的思想來估計待處理像素點的值, 權重的大小利用兩個圖像塊的相似性來計算, 圖像塊之間的相似性由高斯加權歐氏距離度量. NLM充分利用了自然圖像中存在的大量冗余信息, 能更好地保持圖像的細節和紋理.

                      為了獲得更好的去噪性能, 許多學者對非局部平均去噪算法進行了深入的研究. 2007年Dabov等[15]提出了BM3D (Block-matching and 3D filtering)的方法, 該方法利用圖像塊之間的相似性, 對具有相似結構的圖像塊進行三維變換域濾波. 2018年Verma等[16]通過給每個像素重新選取合適的平滑參數, 提出了一種基于灰色關聯分析的非局部濾波方法. 2009年Tasdizen等[17]提出了基于主成分分析(Principle component analysis, PCA)的方法, 該方法利用PCA將圖像鄰域向量投影到低維子空間, 然后利用子空間中的距離計算相似性權值. 2011年Grewenig等[18]提出通過旋轉來查找更相似的圖像塊的方法, 將圖像中相似的圖像塊盡可能地提取出來. 2013年Wu等[19]提出了根據圖像塊差異的概率確定權值的方法, 該方法在高斯噪聲的假定下推導了圖像塊之間差異的概率分布, 并根據此概率分布來確定非局部平均算法中的權值. 2016年蔡斌等[20]提出了基于候選集選取的方法, 先搜索灰度分布相似的圖像塊組成候選集, 然后在候選集中選取結構更為相似的圖像塊. 2019年Bo等[21]提出了利用模糊理論來重新度量圖像像素之間相似性的方法. 2017年Nguyen等[22]對James-Stein型中心像素權重估計方法進行了改進. 2014年Jacques[23]提出了利用積分圖像(Integral images)技術對NLM算法進行加速的方法, 該方法對原始圖像進行整體平移, 而后通過對平移前后的兩幅圖像逐點計算差的平方來建立積分圖像, 而利用積分圖像計算兩個圖像塊之間的歐氏距離可以避免一定重復計算. 2016年黃智等[24] 利用圖像塊的奇異值分解重新定義鄰域間的相似度, 提出了混合相似性權重的方法. 2013年張選德等[25]利用奇異值分解建立符合“兩方向”和“求同存異”原則的非局部圖像去噪模型.

                      本文從以下兩個方面來重新探討非局部平均算法: 1) 針對算法時間復雜度高的問題, 提出一種快速非局部平均去噪算法(Fast non-local means denoising algorithm, FNLM), 該算法借助互相關(Cross-correlation, CC)和快速傅里葉變換(Fast Fourier tramsformation, FFT)來計算兩個圖像塊之間加權歐氏距離. 2) NLM算法在濾除噪聲的同時會模糊圖像的結構信息, 針對這一問題, 本文提出一種漸近非局部平均方法(Asymptotic non-local means, ANLM), 該方法利用方差的性質來控制濾波參數, 通過對圖像的漸近濾波來緩解結構信息的模糊. 數值實驗表明, 快速算法較之經典方法, 在標準參數配置下運行速度可提高27倍左右; 漸近非局部平均圖像去噪算法較之經典非局部平均圖像去噪算法, 能更好地保持圖像的結構信息, 從而獲得更好的去噪效果.

                      本文結構安排如下: 第1節給出退化模型和非局部平均圖像去噪算法的基本原理; 第2節介紹快速非局部平均圖像去噪算法; 第3節介紹ANLM去噪算法; 第4節通過仿真實驗來驗證FNLM和ANLM算法的有效性; 第5節對本文的工作進行總結.

                      • 假定退化模型為

                        $$ g = f+\eta $$ (1)

                        其中, $ f $表示理想的干凈圖像, $ g $表示噪聲圖像, $ \eta $表示獨立同分布(均值為零、標準差為$\sigma)$的高斯噪聲.

                      • 假定噪聲圖像$ {g} = \{g(i)|i\in{{\Omega}}\} $, 濾波后的圖像$ {{\hat{g}}} = \{{\hat{g}}(i)|i\in{{\Omega}}\} ,$ 其中, $ {{\Omega}} $為圖像區域, $ i $為像素索引. NLM算法中, $ {\hat{g}}(i) $可表示為

                        $$ {\hat{g}}(i) = \frac{\sum\limits_{j\in{{\Omega}}_i}{w(i,j)g(j)}} {\sum\limits_{j\in{{\Omega}}_i}{w(i,j)}} \qquad $$ (2)
                        $$ w(i,j) = \exp\left(-\frac{d(i,j)}{h^{2}}\right) \quad $$ (3)
                        $$ d(i,j) = \|N(i)-N(j)\|_{2,\alpha}^{2} \, $$ (4)

                        其中, $ N(i), N(j) $分別表示以像素$ i, j $為中心、大小為$ p\times p $的圖像塊; $ d(i,j) $$ N(i) $$ N(j) $之間的加權歐氏距離, $ \alpha $表為高斯核的標準差, $ w(i,j) $為賦予$ g(j) $的權值, 式(2)中分母$ \sum_{j\in{{\Omega}}_i}{w(i,j)} $表示歸一化因子, 歸一化因子保證權值之和為1; $ h $控制著濾波的平滑程度, 通常取$ h $為噪聲的標準方差, 即$ h = \sigma $; 在算法中每個圖像塊都要與搜索區域中所有的圖像塊進行相似性比較, 若搜索區域為整個圖像, 計算量將非常大. 為了提高算法的速度, 將$ {{\Omega}}_i $取為以像素$ i $為中心、大小為$q\times q$的方形區域.

                      • 在NLM算法中, 運算量主要消耗在兩個圖像塊之間加權歐氏距離的計算上. 假設圖像的大小為$ N\times N $, 像素點$ i $為待處理像素, 搜索區域$ {{\Omega}}_i $的大小為$ q\times q $. 為了計算$ {\hat{g}}(i) $, 需要計算$ N(i) $與搜索區域$ {{\Omega}}_i $中每個圖像塊$ N(j) $, $ j\in{\Omega}_i $之間的加權歐氏距離. 如此一來, 處理一個像素點需要計算$ 2p^{2}q^{2} $次乘法, 而處理整個圖像需要計算$ 2N^{2}p^{2}q^{2} $次乘法. 因此, NLM的計算復雜度為$ {\rm{O}}\left(N^{2}p^{2}q^{2}\right) $. 如上所述, NLM算法需要進行逐像素處理, 而且處理每個像素時需要計算以該像素為中心的圖像塊與搜索區域中每個圖像塊之間的加權歐氏距離, 因此存在大量的重復計算. 為了提高算法的執行效率, 下面利用互相關來構造一種快速算法.

                        由式(2)$\sim $(4)可見, NLM算法在處理第$ i $, $ i\in{{\Omega}} $個像素時, 需要計算圖像塊$ N(i) $$N(j),$ $ j\in{\Omega}_i $之間的加權歐氏距離

                        $$ \begin{array}{l} \|N(i)-N(j)\|_{2,\alpha}^{2} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\|N(i)\|_{2,\alpha}^{2}+\|N(j)\|_{2,\alpha}^{2}-2\times N(i)\otimes N(j) \end{array} $$ (5)

                        其中, $ \|N(i)\|_{2,\alpha}^{2} , \|N(j)\|_{2,\alpha}^{2} $分別表示圖像塊$ N(i) $, $ N(j) $的加權2-范數的平方, $ N(i)\otimes N(j) $表示$ N(i) $$ N(j) $的加權內積, 此處的“加權”是利用高斯核函數來完成的. 計算$ N(i) $中所有像素值的平方, 然后求和, 就得到了$ N(i) $的2-范數的平方$ \|N(i)\|_{2}^{2} $; 而計算$ N(i) $中所有像素值的平方, 然后求高斯加權和, 就得到了加權2-范數的平方$ \|N(i)\|_{2,\alpha}^{2} $. 類似地, 計算$ N(i) $$ N(j) $的逐點之乘積, 然后求和, 就得到$ N(i) $$ N(j) $的內積; 而計算$ N(i) $$ N(j) $的逐點之乘積, 然后求高斯加權和, 就得到$ N(i) $$ N(j) $的加權內積.

                        由式(5)可見, NLM算法需要計算$ \|N(i)\|_{2,\alpha}^{2} $, $ \|N(j)\|_{2,\alpha}^{2} $, $ i\in{{\Omega}} $, $ j\in{\Omega}_i $及其$ N(i)\otimes N(j) $, $ i\in{{\Omega}} $, $ j\in{\Omega}_i $. 下面說明如何來簡化計算: 1)關于$ \|N(i)\|_{2,\alpha}^{2} $, $ \|N(j)\|_{2,\alpha}^{2} $, $i\in{{\Omega}},$$ j\in{\Omega}_i $的計算. 利用高斯函數對平方圖像(計算輸入圖像的逐點平方所得的圖像)做相關濾波, 可以計算出整個圖像中所有圖像塊的加權2-范數的平方, 在后續處理中只需直接調用這些值. 2)關于$ N(i)\otimes N(j) $, $ i\in{{\Omega}} $, $ j\in{\Omega}_i $的計算. 對于每個$ i\in{{\Omega}} $, 同樣可利用互相關濾波一次性計算所有$ N(i)\otimes N(j) $, $ j\in{\Omega}_i $的值. 上面借助互相關濾波來減少NLM算法中的重復計算, 而互相關濾波可利用FFT加速實現.

                        一般地, 對于二維信號$ h(t) $, $ I(t) $, $ t\in {\bf R}^{2} $, $ h(t) $$ I(t) $的互相關定義為

                        $$ (h\star I)(\tau)= {\sum\limits_{t\in T}\overline{{h}(t)}}{I(t+\tau)} $$ (6)

                        其中, $\overline{{h}(t)}$$ h(t) $的復共軛, $ \tau $為位移, $ T $為互相關濾波時的圖像窗口. 類似于卷積定理, 互相關滿足

                        $$ {\cal F}\{h\star I\} = \overline{{\cal F}(h)}\cdot {\cal F}\{I\} $$ (7)
                        $$ \{h\star I\} = {\cal F}^{-1} \{\overline{{\cal F}(h)}\cdot {\cal F}\{I\}\} $$ (8)

                        其中$ {\cal F} $, $ {\cal F}^{-1} $, 分別表示傅里葉變換和傅里葉逆變換, 符號“$ \star $”表示互相關, 符號“$ \cdot $”表示逐點相乘, $\overline{{\cal F}(h)}$$ {\cal F}\{h\} $的復共軛.

                        從而, NLM中關于相似度的計算, 可轉化為FFT來實現

                        1) $ \|N(i)\|_{2,\alpha}^{2} $, $ \|N(j)\|_{2,\alpha}^{2} $, $ i\in\Omega $, $ j\in{\Omega}_i $

                        $$ {\cal F}^{-1} \{\overline{{\cal F}(G)}\cdot {\cal F}\{g\cdot g\}\} $$ (9)

                        來計算.

                        2)對于每個$ N(i)\otimes N(j) $, $ i\in{{\Omega}} $, $ j\in{\Omega}_i $

                        $$ {\cal F}^{-1} \{\overline{{\cal F}\{G\cdot N(i)\}}\cdot {\cal F}\{D(i)\}\} $$ (10)

                        來計算. 其中$ G $為高斯加權函數, $ D(i) $為搜索窗圖像, 即位于$ {\Omega}_i $區域的圖像塊, 如圖1所示.

                        圖  1  像素點i處的取塊示意圖

                        Figure 1.  The schematic of taking blocks at pixel points i

                      • 在NLM算法中, 濾波參數$ h $通常取噪聲的標準方差, 即$ h = \sigma $. 如圖2所示, 濾波參數$ h $的取值越小, 權值$ w(i,j) $受圖像塊之間加權歐氏距離$ d(i,j) $的影響越大; 反之, 濾波參數$ h $的取值越大, 權值$ w(i,j) $受圖像塊之間加權歐氏距離$ d(i,j) $的影響越小. 因此, 當圖像中含有強噪聲時, 即$ h = \sigma $取值較大時, 權值趨于一致, 而NLM的去噪效果也趨于均值濾波的濾波效果, 即圖像結構和細節信息丟失, 圖像變得模糊. 圖3中以Straw圖像為例, 當濾波參數的值為100時, 可以看出NLM濾波后得到的圖像非常模糊.

                        圖  2  濾波參數的大小對權值的影響

                        Figure 2.  The influence of filter parameter size on the weight

                        圖  3  NLM濾波與原圖的效果比較

                        Figure 3.  Effect comparison of NLM and original image

                        為了緩解上述問題, 我們采取漸近濾波的方法, 即進行多次濾波. 假定進行$ K $次濾波, $ K $次的濾波參數分別為$ h_{1}(i),h_{2}(i),\cdots,h_{k}(i) $, 其中$h_{k}(i) < \sigma,$$k = 1,2,\cdots,K, i\in{{\Omega}}$, 這樣每次濾除少量噪聲的同時盡可能保持圖像的結構, 以此來增強算法的結構保持能力. 但是, 到底進行多少次濾波和每次濾波參數應當如何選取, 都難以進行建模分析. 簡單起見, 這里采用兩階段濾波, 第1次濾波的濾波參數為$ h_{1}(i) = $$ 0.5\sigma, i\in{{\Omega}} $(所有的點使用相同的濾波參數), 而第2次濾波參數$ h_{2}(i) $利用第1次濾波的權值來進行逐點計算(每個點上使用不同的濾波參數).

                        假設$ X_{i},i = 1,2,\cdots,n $為獨立同分布的隨機變量, 則有

                        $$\begin{split} D\left(\sum\limits_{i = 1}^{n}a_{i}X_{i}\right) =& \sum\limits_{i = 1}^{n}a_{i}^2D(X_{i})+\\ &2\sum\limits_{1\leq i}\sum\limits_{<j\leq n}a_{i}a_{j}{{{\rm{Cov}}}(X_{i},X_{j}}) \end{split} $$ (11)

                        其中, $ D $表示方差, ${{\rm{Cov}}}(X_{i},X_{j})$表示協方差, 由于$ X_{1},X_{2},\cdots,X_{i} $是相互獨立的, 則 ${\rm{Cov}}(X_{i},X_{j}) = 0,$$i\neq j,$于是

                        $$ D\left(\sum\limits_{i = 1}^{n}a_{i}X_{i}\right) = \sum\limits_{i = 1}^{n}{a_{i}^2}{D(X_{i})} $$ (12)

                        由于噪聲是獨立同分布的, 因此根據式(12), 第1次濾波后, 每個像素點$ i\in\Omega $處的噪聲標準差為

                        $$ \sigma_{2}(i) = \sqrt{{\sum\limits_{j\in{\Omega}_i}}{w^{2}(i,j)}\sigma^2}, \quad i\in\Omega $$ (13)

                        而第2次濾波時平滑參數取為每一個像素點處的噪聲標準差, 即

                        $$ {h_{2}(i)} = \sigma_{2}(i) = \sqrt{{\sum\limits_{j\in{\Omega}_i}}{w^{2}(i,j)}\sigma^2}, \;\;i\in\Omega $$ (14)

                        圖4給出了對含噪的Lena圖像($ \sigma = 25 $)進行兩階段漸近濾波的效果圖. 其中, 圖4(a)表示噪聲圖像, 圖4(b)表示對圖4(a)進行濾波的結果(第1次), 而圖4(c)表示對圖4(d)進行濾波的結果(第2次).

                        圖  4  漸近非局部的濾波結果

                        Figure 4.  Denoising result of asymptotic non-local

                      • FFT在工程實踐中有廣泛的應用, 其計算速度較之離散傅里葉變換(Discrete Fourier transform, DFT)有明顯優勢. 對長度為$ M $的信號進行DFT, 其計算復雜度為${{\rm{O}}}(M^{2}),$而FFT的計算復雜度為${\rm{O}}(M{{{{\rm{log}}}}_2}M).$在FNLM算法中, 計算兩個圖像塊之間加權歐氏距離的過程轉換為FFT來實現, 這樣在減少重復計算的同時大大降低了算法的時間復雜度. 由FFT性質, 式(9)的計算復雜度為${\rm{O}}(2N^{2}+$${2N^{2}{{\rm{log}}_2}N^{2}}+{p^{2}{{\rm{log}}_2}p^{2}}) ,$式(10)的計算復雜度為${\rm{O}}\left(N^{2}\left({2q^{2}{{{{\rm{log}}}}_2}q^{2}}+{p^{2}}+{p^{2}{{{{\rm{log}}}}_2}p^{2}}+{q^{2}}\right)\right)$, 則FNLM算法的計算復雜度為${\rm{O}}(N^{2}({{{{{\rm{log}}}}_2}N}\!+\! \dfrac{p^{2}{{{{\rm{log}}}}_2}p}{N^{2}}\!+\! q^{2}{{{{\rm{log}}}}_2}q+ {p^{2}{{{{\rm{log}}}}_2}p})) .$由第2節的分析可知, 傳統NLM算法的計算復雜度為${{\rm{O}}}\left(N^{2}p^{2}q^{2}\right) .$由于$\lim_{\substack{x\to +\infty}} {\dfrac{{{\rm{log}}_2}x}{x^{k}}} = 0\; (k > 0)$, 因此, 當$ N $固定時

                        $$ \lim\limits_{\substack{q\to +\infty\\ p\to -\infty}}{\frac{N^{2}({{{{\rm{log}}_2}N}+{\frac{p^{2}{{\rm{log}}_2}p}{N^{2}}} +q^{2}{{\rm{log}}_2}q}+{p^{2}{{\rm{log}}_2}p})}{N^{2}p^{2}q^{2}}} = 0 $$ (15)

                        這意味著當$ p $$ q $取值較大時, FNLM的運算量比傳統NLM的運算量要小.

                        下面通過仿真實驗對NLM、FNLM、NLM-P[23]三種實現方法的運行時間進行比較. 三種方法均采用MATLAB R2016b實現, 計算平臺為dell-PC Intel(R) Core(TM) i7-7700 VPU @ 3.60 GHz 3.60 GHz, 8 GB內存的計算機. 表1列出了利用三種算法分別對512$\times \;512$的Lena圖像進行去噪處理, 參數$ p $, $ q $取不同值時的運行時間. 從中可見, 無論參數$ p $$ q $取何值, FNLM比NLM和NLM-P算法的運行時間都要快. 在標準參數配置下, 即$ p = 5 $, $ q = 21 $時, NLM-P較之NLM的運算速度可提高13倍左右; 而FNLM較之NLM的運算速度可提高27倍左右. 當$ p = 3 $, $ q = 101 $時, NLM-P較之NLM的運算速度可提高31倍左右; FNLM較之NLM的運算速度可提高103倍左右. 而當$ p = 3 $, $ q = 51 $時, FNLM較之NLM-P的運算速度可提高8倍左右(均已加粗顯示).

                        表 1  三種去噪算法運行速度的比較

                        Table 1.  Comparison of running speeds of three denoising algorithms

                        圖像塊
                        尺寸
                        搜索區域
                        尺寸
                        NLM運行
                        時間 (s)
                        NLM-P運行
                        時間 (s)
                        FNLM運行
                        時間 (s)
                        NLM與NLM-P
                        運行時間之比值
                        NLM與FNLM
                        運行時間之比值
                        NLM-P與FNLM
                        運行時間之比值
                        3 × 321 × 21232.7919.417.1711.9932.462.71
                        3 × 331 × 31505.6442.0110.5312.0448.023.99
                        3 × 351 × 51873.02113.0413.957.7262.588.10
                        3 × 3101 × 1015 024.73160.1048.4931.38103.623.30
                        5 × 521 × 21236.1218.298.6812.9127.202.11
                        5 × 531 × 31512.7739.9012.7412.8540.253.13
                        5 × 551 × 51911.16108.0416.198.4356.286.67
                        5 × 5101 × 1015 159.80154.8353.1333.3397.122.91
                        7 × 721 × 21250.7719.2111.2813.0522.231.70
                        7 × 731 × 31547.5042.2916.5112.9533.162.56
                        7 × 751 × 151913.15114.3719.755.5846.245.79
                        7 × 7101 × 1015 328.55163.5659.9632.5888.872.73
                        9 × 921 × 21256.4918.5413.4013.8319.141.38
                        9 × 931 × 31560.1739.6320.7014.1327.061.91
                        9 × 951 × 51969.08108.7423.358.9141.504.66
                        9 × 9101 × 1015 516.60154.7567.4135.6581.842.30
                      • 下面通過仿真實驗來驗證ANLM的有效性. 這里選取去噪研究中常用的14幅圖像作為測試圖像, 選取NLM、PNLM[19]作為比較算法. 三種算法中, 搜索區域和圖像塊的尺寸均設為$ 21\times 21 $$ 5\times 5 $. 數值實驗采用峰值信噪比(Peak signal to noise ratio, PSNR)和結構相似度(Structural similarity, SSIM)作為指標.

                        表2對三種算法在不同噪聲強度下的PSNR和SSIM進行比較. 從中可見, 無論PSNR還是SSIM, ANLM較之傳統的NLM都有一定的提高. 當噪聲標準差小于50時, ANLM的PSNR大部分情況下都略高于NLM和PNLM算法, 同時SSIM均優于NLM和PNLM算法; 當噪聲標準差大于等于50時, ANLM在PSNR和SSIM上均優于NLM和PNLM算法(均已加粗顯示). 對噪聲標準差為100的Lena圖像, ANLM算法具有較明顯的優勢, 其PSNR值比NLM的PSNR值高出2.35 dB; 其余的測試圖像在強噪聲條件下ANLM算法的PSNR值也都明顯高于NLM. 這說明噪聲標準差越大, ANLM算法較之NLM改善越明顯.

                        表 2  三種去噪算法對灰度圖像的效果比較

                        Table 2.  Effect comparison of three denoising algorithms on gray images

                        圖像算法25305075100
                        PSNR/SSIMPSNR/SSIMPSNR/SSIMPSNR/SSIMPSNR/SSIM
                        Camera 256 × 256NLM28.23/0.7727.27/0.7324.26/0.5721.82/0.4120.17/0.30
                        PNLM28.39/0.8227.58/0.7924.96/0.7122.59/0.6121.02/0.52
                        ANLM28.07/0.8327.43/0.8125.35/0.7323.32/0.6421.80/0.56
                        Lena 512 × 512NLM30.11/0.8929.13/0.8726.21/0.7823.75/0.6722.00/0.58
                        PNLM30.58/0.8929.72/0.8827.18/0.8125.07/0.7323.65/0.67
                        ANLM30.59/0.9029.80/0.8927.57/0.8325.72/0.7724.35/0.71
                        Boat 512 × 512NLM28.17/0.8527.21/0.8224.53/0.7222.48/0.6121.04/0.53
                        PNLM28.40/0.8527.51/0.8224.99/0.7223.17/0.6322.07/0.56
                        ANLM28.55/0.8627.74/0.8425.50/0.7523.73/0.6722.58/0.61
                        Finger 512 × 512NLM26.57/0.9325.43/0.9121.84/0.7919.18/0.6317.73/0.51
                        PNLM26.41/0.9325.45/0.9122.15/0.7819.22/0.5717.64/0.40
                        ANLM26.41/0.9425.63/0.9323.00/0.8320.40/0.6818.58/0.52
                        B Fly 512 × 512NLM28.09/0.8527.12/0.8223.88/0.6920.61/0.5418.39/0.41
                        NLM27.78/0.8826.98/0.8624.32/0.7921.44/0.68 18.99/0.56
                        ANLM27.61/0.8926.84/0.8724.65/0.8022.44/0.7220.45/0.63
                        Man 512 × 512NLM28.28/0.8527.39/0.8224.87/0.7122.83/0.6121.35/0.53
                        PNLM28.45/0.8427.62/0.8125.32/0.7123.61/0.6222.51/0.56
                        ANLM28.63/0.8627.89/0.8325.83/0.7524.20/0.6723.08/0.61
                        Baboon 512 × 512NLM24.53/0.8123.66/0.7721.60/0.6320.27/0.5219.36/0.44
                        PNLM24.61/0.8123.75/0.7621.51/0.5920.23/0.4719.61/0.40
                        ANLM24.62/0.8323.88/0.7921.83/0.6420.57/0.5319.90/0.45
                        Straw 256 × 256NLM24.67/0.8023.50/0.7420.71/0.5519.16/0.3918.27/0.31
                        PNLM24.94/0.8123.78/0.7520.66/0.5118.96/0.3218.25/0.24
                        ANLM24.96/0.8324.04/0.7821.23/0.5819.37/0.4018.51/0.32
                        Barbara 512 × 512NLM28.26/0.8927.11/0.8724.05/0.7621.92/0.6520.54/0.57
                        PNLM28.76/0.9027.64/0.8824.51/.07822.45/0.6821.30/0.60
                        ANLM28.72/0.9127.82/0.8925.08/0.8123.02/0.7121.82/0.65
                        Montage 256 × 256NLM30.31/0.8329.17/0.7825.54/0.6222.21/0.4420.24/0.33
                        PNLM30.56/0.8829.50/0.8626.41/0.7923.51/0.6921.31/0.59
                        ANLM30.60/0.8929.65/0.8727.04/0.8024.50/0.7122.28/0.62
                        House 256 × 256NLM30.60/0.7829.43/0.7425.92/0.5723.20/0.4121.43/0.30
                        PNLM31.30/0.8330.26/0.8126.97/0.7324.31/0.6222.74/0.54
                        ANLM31.28/0.8430.47/0.8227.85/0.7525.35/0.6623.58/0.58
                        Hill 512 × 512NLM28.21/0.8327.33/0.7924.94/0.6823.08/0.5821.68/0.51
                        PNLM28.37/0.8227.51/0.7825.31/0.6623.87/0.5723.01/0.52
                        ANLM28.69/0.8427.94/0.8125.86/0.7124.38/0.6223.44/0.57
                        Couple 512 × 512NLM27.50/0.8426.52/0.8024.03/0.6922.16/0.5820.84/0.50
                        PNLM27.76/0.8426.74/0.8024.27/0.6722.68/0.5721.71/0.51
                        ANLM28.12/0.8627.21/0.8324.79/0.7223.22/0.6222.20/0.56
                        Peppers 256 × 256NLM28.61/0.7927.58/0.7524.45/0.6021.76/0.4520.00/0.34
                        PNLM29.04/0.8328.08/0.8025.12/0.7222.40/0.6220.64/0.53
                        ANLM28.75/0.8427.93/0.8125.51/0.7423.34/0.6521.64/0.57

                        為了驗證ANLM算法去噪的視覺效果. 圖5給出了三種算法對于House圖像在中等噪聲水平($ \sigma = 30 $)下的去噪效果對比圖, 圖5(c)為NLM算法的去噪效果圖, 可以看出仍殘留少量的噪聲; 圖5(d)5(e)分別為PNLM和ANLM算法的去噪效果圖, 可以看出這兩種算法的視覺效果相當, 且與NLM算法相比獲得了較好的視覺效果; 圖6給出了三種算法對于B Fly局部圖在強噪聲水平($ \sigma = $$ 100 $)下的去噪效果對比圖, 可以看出, 在強噪聲水平下的實驗可以充分體現三種算法在視覺效果上的差異, 其中ANLM可以獲得比其他兩種算法更好的視覺效果. 這充分驗證了ANLM算法的有效性.

                        圖  5  三種算法對噪聲圖像的效果比較

                        Figure 5.  Effect comparison of three algorithms on noisy image

                        圖  6  三種算法對局部噪聲圖像的效果比較

                        Figure 6.  Effect comparison of three algorithms on local noisy image

                      • 本文對經典的NLM算法進行研究, 貢獻主要包括以下兩個方面: 1) 對NLM中最耗運算量的相似性度量的計算進行了分解和分析. 首先將相似性度量的計算轉換為相關濾波, 然后利用FFT來實現相關濾波, 由此構造了快速算法; 2) 針對NLM在噪聲方差較大時, 會引起圖像結構和紋理模糊的問題, 提出了一種漸近非局部濾波方法. 這種方法對圖像進行兩次非局部濾波, 第1次濾波參數取$ h_{1}(i) = 0.5\sigma $, $ i\in{{\Omega}} $, 第2次濾波參數利用方差的性質進行逐點運算. 數值實驗表明, 快速算法較之NLM在運算速度上有大幅度提高; 漸近濾波算法較之NLM算法, 去噪效果有顯著改善.

                        近年來, 深度學習方法的興起迅速地改變了整個計算機視覺領域的研究動向. 當然深度學習的方法依賴于大樣本進行訓練, 對運算能力有非常高的要求. 目前, 如何將傳統方法與深度學習有效結合, 改善深度學習方法的“黑箱化”現狀, 或者利用傳統方法來簡化深度網絡, 這些問題得到了研究同行們的重視. 非局部方法利用圖像固有的自相似結構, 在圖像處理領域具有里程牌意義. 對這一方法的深入研究, 有助于將非局部方法和深度學習方法有效結合, 而這也正是我們下一步的主要工作.

                    參考文獻 (25)

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