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                    分布參數系統源控制系統設計

                    周筆鋒 羅毅平 唐果寧

                    周筆鋒, 羅毅平, 唐果寧. 分布參數系統源控制系統設計. 自動化學報, 2019, 45(x): 1?6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
                    引用本文: 周筆鋒, 羅毅平, 唐果寧. 分布參數系統源控制系統設計. 自動化學報, 2019, 45(x): 1?6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
                    Zhou Bi-Feng, Luo Yi-Ping, Tang Guo-Ning. Distributed Parameter Systems of Source Control. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1?6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
                    Citation: Zhou Bi-Feng, Luo Yi-Ping, Tang Guo-Ning. Distributed Parameter Systems of Source Control. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1?6. doi: 10.16383/j.aas.c190612

                    分布參數系統源控制系統設計


                    DOI: 10.16383/j.aas.c190612
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      2015年獲得湖南工程學院碩士學位. 目前為湖南科技大學博士研究生, 主要研究方向為復雜網絡系統, 分布參數系統, 永磁同步電機失磁故障診斷.E-mail: zhoubifeng99@163.com

                      湖南工程學院教授. 2006年獲得華南理工大學博士學位. 主要研究方向為復雜網絡系統, 分布參數系統. 本文通信作者.E-mail: lyp8688@sohu.com

                      湖南科技大學教授. 中國機械工程學會高級會員, 主要研究方向為永磁同步電機失磁故障診斷, 摩擦磨損及耐磨材料研究.E-mail: tangguoning99@163.com

                    • 基金項目:  國家自然科學基金(11972156)資助, 湖南省教育廳科學研究項目(19C0418)資助

                    Distributed Parameter Systems of Source Control

                    More Information
                    • Fund Project:  Supported by National Natural Science Foundation of China (11972156), Supported by Science Research Projects of Hunan Province Education Department (19C0418)
                    • 摘要: 針對一類分布參數系統, 提出了源控制方法. 將構成分布參數系統的空間分成若干分, 每份為一個節點, 在所有的節點中, 將能產生量變源頭的節點定義為源節點, 跟隨源節點變化的節點為跟隨節點, 以此構建分布參數系統模型. 對于源節點, 根據經驗函數結合反饋偏差調節設計控制器, 對跟隨節點考慮源節點控制的逸散作用控制. 利用Lyapunov穩定性理論并結合LMI處理方法, 得出了分布式參數系統穩定源控制器存在的充分條件. 最后結合所給條件, 給出一個數值仿真說明其有效性.
                    • 圖  1  系統源節點$W_{L}(x,t)$狀態圖

                      Fig.  1  the system state of source nodes $W_{L}(x,t)$

                      圖  2  系統跟隨節點$W_{g}(x,t)$狀態圖

                      Fig.  2  the system state of following nodes $W_{g}(x,t)$

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                      Zhou Y J, CUI B T. Boundary control of the distributed parameter systems described by a class of semi-linear parabolic partial differential equations[J/OL]. Control and Decision, 1-9. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.0289.
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                      16 Luan X L, Li K, Liu F. Disturbance decoupling for hyperbolic-type distributed parameter systems with boundary control. Control and Decision, 2016, 31(2): 256?260
                      [17] 周筆鋒, 羅毅平. 時滯分布參數系統中和控制器設計. 自動化學報, 2018, 44(12): 2222?2227

                      17 Zhou B F, Luo Y P. Distributed parameter systems of neutralization control with delay. Acta Automatica Sinica, 2018, 44(12): 2222?2227
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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2019-09-02
                    • 錄用日期:  2019-12-23
                    • 網絡出版日期:  2020-01-02

                    分布參數系統源控制系統設計

                    doi: 10.16383/j.aas.c190612
                      基金項目:  國家自然科學基金(11972156)資助, 湖南省教育廳科學研究項目(19C0418)資助
                      作者簡介:

                      2015年獲得湖南工程學院碩士學位. 目前為湖南科技大學博士研究生, 主要研究方向為復雜網絡系統, 分布參數系統, 永磁同步電機失磁故障診斷.E-mail: zhoubifeng99@163.com

                      湖南工程學院教授. 2006年獲得華南理工大學博士學位. 主要研究方向為復雜網絡系統, 分布參數系統. 本文通信作者.E-mail: lyp8688@sohu.com

                      湖南科技大學教授. 中國機械工程學會高級會員, 主要研究方向為永磁同步電機失磁故障診斷, 摩擦磨損及耐磨材料研究.E-mail: tangguoning99@163.com

                    摘要: 針對一類分布參數系統, 提出了源控制方法. 將構成分布參數系統的空間分成若干分, 每份為一個節點, 在所有的節點中, 將能產生量變源頭的節點定義為源節點, 跟隨源節點變化的節點為跟隨節點, 以此構建分布參數系統模型. 對于源節點, 根據經驗函數結合反饋偏差調節設計控制器, 對跟隨節點考慮源節點控制的逸散作用控制. 利用Lyapunov穩定性理論并結合LMI處理方法, 得出了分布式參數系統穩定源控制器存在的充分條件. 最后結合所給條件, 給出一個數值仿真說明其有效性.

                    English Abstract

                    周筆鋒, 羅毅平, 唐果寧. 分布參數系統源控制系統設計. 自動化學報, 2019, 45(x): 1?6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
                    引用本文: 周筆鋒, 羅毅平, 唐果寧. 分布參數系統源控制系統設計. 自動化學報, 2019, 45(x): 1?6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
                    Zhou Bi-Feng, Luo Yi-Ping, Tang Guo-Ning. Distributed Parameter Systems of Source Control. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1?6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
                    Citation: Zhou Bi-Feng, Luo Yi-Ping, Tang Guo-Ning. Distributed Parameter Systems of Source Control. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1?6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
                    • 實際生活中許多物理系統如熱擴散, 流體換熱器, 化學工程, 旋轉梁, 可變幾何形狀, 靜電微致動器, 集成和消防神經元等等都具有時空特性, 它們的行為必須依賴于時間和空間位置, 這些系統的時空過程被稱為分布參數系統(DPSs)[1-9]. 針對此類系統, 學者們通常根據能量守恒定律構建擬線性拋物型偏微分方程(quasi-linear parabolic partial differential equation PDE)進行研究. 所以, 以擬線性拋物型偏微分方程建模研究分布參數系統一直是國內外相關領域學者的重點研究課題[10-17].

                      針對分布參數系統的穩定性控制問題, 許多學者提出了各類行之有效的方法, 分布式控制[10-12]是最早提出的一種控制方式之一, 如文獻[10]中, LUO針對分布參數系統, 設計分布式控制器, 得出了分布參數系統指數穩定控制器存在的充分條件. 文獻[11]中, Ji以模型參考為基礎, 研究了馬爾可夫跳躍分布參數系統的自適應控制問題. 分布式控制方法針對分布參數系統的所有節點進行控制, 雖然理論上能達到良好的控制效果, 但是在實際工程中對分布參數系統的所有節點進行控制往往是很難做到的. 針對此類問題, 又有學者提出了分布參數系統邊界控制方案[13-16], 如文獻[13]中, Zhang針對一類非線性隨機分布參數系統的H$ \infty $邊界控制問題, 提出了一種簡單而有效的H$ \infty $邊界靜態輸出反饋(SOF)控制方案, 并進行了邊界配置測量以保證具有H$ \infty $性能的均方意義上的局部指數穩定. 文獻[14]中, Zhou針對一類由半線性拋物型偏微分方程描述的分布參數系統, 提出基于邊界控制的控制策略研究了其鎮定問題. 邊界控制方案對于低維空間(如一維)具有很好的效果, 但隨著分布參數系統的空間維數增高, 對系統進行邊界控制會比較難實現. 基于此, 有學者針對分布參數系統提出了中和控制方案, 如在文獻[17]中, Zhou針對具有時滯特性的分布參數系統, 提出并設計了中和控制器, 討論了此類系統的穩定問題. 中和控制方案對于具有實體擴散類的分布參數系統(如污染物擴散), 在找到對應“解藥”后具有很好的控制效果, 但對于能量類的擴散(如熱傳遞)的分布參數系統模型, 本文提出的源控制方案能達到更加優越的效果.

                      源控制方法是基于能量守恒定律. 首先, 將空間分成若干份, 每份空間看成一個節點, 基于每個節點與節點間的能量傳遞, 定義空間能量傳遞拓撲矩陣, 這樣的系統就是一個分布參數模型. 如在一個大型會議室中, 我們設計中央空調的排風口時, 通常想了解會議室各個區域的溫度的變化情況, 使會議室內各點溫度達到一致狀態. 將會議室內空間分成干份, 這樣, 會議室的溫度變化情況就可以看作是一個分布參數系統. 然后, 在系統空間的所有節點中, 將能使能量產生量變源頭的節點空間定義為源節點, 其它節點稱為跟隨節點. 如前面的例子, 中央空調的排風口就是源節點, 其它的點是跟隨節點.

                      本文所設計的源控制方法僅針對源節點, 根據經驗函數設計控制器, 同時通過反饋控制作用對系統進行二次調節, 而針對其它跟隨節點, 考慮分布參數系統的時空特性, 由于源節點的逸散作用, 跟隨節點同樣受到控制影響. 與文獻[10-12]提出的分布式控制方法不同, 分布式控制是要對系統的每一點進行控制. 所以, 本文所提出的源控制方法在分布參數系統的實際控制上具有可操作性. 進而, 本文針對分布參數系統, 對源節點根據經驗函數與反饋調節結合, 對跟隨節點產生逸散控制作用, 研究分布參數系統的穩定性問題就顯得尤為有意義了.

                      基于此, 本文將構成分布參數系統的空間分成若干份, 每份為一個節點, 在所有的節點中, 將空間產生量變的源頭的節點定義為源節點, 跟隨源節點變化的節點為跟隨節點, 研究分布參數系統的鎮定問題. 對于源節點, 根據經驗函數結合反饋偏差調節設計控制器, 對跟隨節點考慮源節點控制的逸散作用. 利用Lyapunov穩定性理論并結合LMI處理方法, 得出了分布式參數系統穩定源控制器存在的充分條件. 最后結合所給條件, 給出一個數值仿真說明其有效性.

                      • 考慮下列具有分布參數系統

                        源節點:

                        $$ \begin{split} \frac{{\partial {w_i}(x,t)}}{{\partial t}} =& \displaystyle\sum_{j = 1,j \ne i}^n {{G_{ij}}} \displaystyle\sum_{k = 1}^m {\frac{{{\partial ^2}({w_j}(x,t) - {w_i}(x,t))}}{{\partial x_k^2}}} + \\ &{f({w_i}(x,t)) + {u_i},i = 1,2,...,l}\\[-10pt] \end{split} $$ (1)

                        跟隨節點:

                        $$ \begin{split} \dfrac{{\partial {w_i}(x,t)}}{{\partial t}} =&\displaystyle\sum_{j = 1,j \ne i}^n \!\!\!\!{{G_{ij}}}\displaystyle\sum_{k = 1}^m {\frac{{{\partial ^2}({w_j}(x,t) \!-\! {w_i}(x,t))}}{{\partial x_k^2}}} \!\!+\!\! {u_i},\\ &{i = l + 1,l + 2,...,n}\\[-10pt] \end{split} $$ (2)

                        其中$ (x,t)\in \Omega \times R_{+} $, $ f(\cdot ) $為系統源節點自激項, $ u_{i} $為控制輸入. $ \Omega = \left \{ x,\left | x \right |<l<\infty \right \} \in R^m $為具有光滑邊界$ \partial \Omega $的有界區域, 且$ mes \Omega>0 $, $ G_{ij} $表示系統內各節點的擴散或吸收因子, $ \Delta = \displaystyle\sum_{k = 1}^{m}\dfrac{\partial^2}{\partial x_k^2} $為的laplace擴散$ - $吸收算子, 根據能量守恒定律, 滿足:

                        $$ \sum\limits_{i = 1}^{n}G_{ik} = -\sum\limits_{j = 1}^{n}G_{kj},G_{ii} = 0 i = 1,2,...,n $$ (3)

                        對于$ G_{ij} $, 若節點$ i $對節點$ j $產生正效應, 則$ G_{ij}>0 $, 反之$ G_{ij}<0 $, 滿足: $ G_{ij} = -G_{ji},j \neq i $.

                        對于系統(1)(2), 改寫為矩陣形式:

                        $$ \begin{split} \frac{{\partial {W_L}(x,t)}}{{\partial t}} =& F({W_L}(x,t)) + {G_{Lg}}\Delta {W_g}(x,t) + \\ &{({G_L} - {G_{ZL}})\Delta {W_L}(x,t) + {U_L}} \end{split} $$ (4)
                        $$\begin{split} \dfrac{\partial W_{g}(x,t)}{\partial t} =& G_{gL}\Delta W_{L}(x,t)+(G_{g}-\\ &G_{Zg})\Delta W_{g}(x,t)+U_{g} \end{split}\qquad\qquad $$ (5)

                        其中狀態變量:

                        $$ W_{L}(x,t) = (w_{1}(x,t),...,w_{l}(x,t))^{\rm T} \in R^{l} ;\qquad\qquad\;\; $$
                        $$ W_{g}(x,t) = (w_{l+1}(x,t),...,w_{n}(x,t))^{\rm T} \in R^{n-l} ;\qquad\;\; $$
                        $$ W(x,t) = (W_{L}^{T}(x,t),W_{g}^{T}(x,t))^{\rm T} \in R^{n};\qquad\qquad\;\; $$
                        $$ F(W_{L}(x,t)) = (f(w_{1}(x,t)),...,f(w_{l}(x,t)))^{\rm T} \in R^{l} ; $$

                        控制輸入:

                        $$ U_{L}(x,t) = (u_{1},...,u_{l})^{\rm T} \in R^{l} ; $$
                        $$ (u_{l+1},...,u_{n})^{\rm T} \in R^{n-l};\qquad\;\;\; $$
                        $$ G = G_{ij} ,\; G_{zi} = \sum_{j = 1}^{n}G_{ij} ,\qquad $$
                        $$ G_{Z} = diag(G_{z1},...,G_{zn}) \qquad $$

                        滿足:

                        $$ {G_Z} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_{ZL}}}&0\\ 0&{{G_{Zg}}} \end{array}} \right],\;G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_L}}&{{G_{Lg}}}\\ {{G_{gL}}}&{{G_g}} \end{array}} \right] $$

                        注: 矩陣$ G $為系統擴散-吸收因子矩陣, 對于系統源節點, 系統擴散因子大于吸收因子, 即滿足$ G_{L}-G_{ZL}>0 $.

                        系統初始邊界條件為:

                        $$ W(x,t) = 0, (x,t)\in \partial \Omega \times [0,+\infty ) $$ (6)

                        $$ \frac{\partial W(x,t)}{\partial t} = 0, (x,t)\in \partial \Omega \times [0,+\infty ) $$ (7)

                        其中$ n $$ \partial \Omega $的單位外法向量.

                      • 定義1. 分布參數系統源控制: 將構成分布參數系統的空間分成若子空間, 每個子空間看成一個節點, 在系統所有的節點中, 將空間產生量變源頭的節點定義為源節點, 跟隨源節點變化的節點為跟隨節點. 源控制為僅對系統源節點進行控制作用, 對于跟隨節點, 其控制作用為對源節點的控制逸散作用.

                        引理1.[18] 設$ \Omega \in R^{n} $是邊界$ \partial \Omega $內的光滑有界區域, $ n $$ \partial \Omega $的單位外法向量, $ G\subset \Omega $為一光滑子域, 若$ u,v \in C^{2}(\bar{G}) $, 則

                        $$ \int_{G}u\Delta vdx = \int_{\partial G}u\frac{\partial v}{\partial n}ds-\int_{\Omega }\bigtriangledown u \bigtriangledown vdx $$ (8)

                        其中: $ \bigtriangledown $表示Hamiltion算子, $ ds $表示邊界區域的面積微元.

                        假設1.[19] 存在常數$ L>0 $, 及存在正定矩陣$ \Gamma \in r^{n \times n} $, 對于任意$ x,y \in R^{n \times n} $. 對于非線性函數$ f(\cdot) $, 滿足:

                        $$ (x-y)^{T} (f(x)-f(y))\leqslant L(x-y)^{{\rm T}} \Gamma (x-y) $$ (9)

                        為使系統達到穩定狀態, 對源節點設計控制器

                        $$ {u_i} = - \hat f({w_i}(x,t)) + \sum\limits_{j = 1}^l {{k_{ij}}} {w_j}(x,t),i = 1,...,l$$ (10)

                        對于跟隨節點, 其控制輸入為源節點逸散控制, 滿足

                        $$ \begin{split} {u_i} =& \sum_{j = 1}^l {{b_{ij}}} \displaystyle\sum_{k = 1}^m {\dfrac{{{\partial ^2}({\varphi _i}{w_j}(x,t) - {w_i}(x,t))}}{{\partial x_k^2}}} ,\\ &{i = l + 1,...,n} \end{split} $$ (11)

                        其中$ k_{ij} $為控制增益, $ K = (k_{ij})_{l \times l} $, $ b_{ij} $表示源節點作用在該節點的逸散因子, $ B = (b_{ij})_{(n-l)\times l} $, $ \varphi = diag(\varphi_{1},...,\varphi_{n-l}) $表示源節點對跟隨節點可作用因子, $ \hat{f}(\cdot) $表示$ f(\cdot) $的經驗函數, 若$ ff(\cdot) = f(\cdot)-$$\hat{f}(\cdot) $, 滿足 $ ff(0) = 0 $.

                        $$ \Psi = diag(\sum_{j = 1}^l {{b_{1j}}} ,...,\sum_{j = 1}^l {{b_{(n - l)j}}} ),\qquad\qquad\quad $$
                        $$ \hat{F}(W_{L}(x,t)) = (\hat{f}(w_{1}(x,t)),...,\hat{f}(w_{l}(x,t))),\quad $$
                        $$ FF(W_{L}(x,t)) = F(W_{L}(x,t))-\hat{F}(W_{L}(x,t)) .\;\; $$

                        由此, 公式(4)、(5)中, $ U_{L} $$ U_{g} $滿足:

                        $$ U_{L} = -\hat{F}(W_{L}(x,t))+KW_{L}(x,t) , $$
                        $$ U_{g} = \varphi B \Delta W_{L}(x,t)- \Psi \Delta W_{g}(x,t), $$
                      • 通過構造合適的Lyapunov-Krasovskii函數, 結合LMI, 由Green公式、矩陣不等式處理法, 根據Lyapunov穩定性理論, 可以得出所討論系統狀態漸進穩定的結果.

                        定理1. 在假設1條件下, 關于系統源系統節點(1)及跟隨系統節點(2), 對于任意給定的正定矩陣$ P $, $ Q $, 若存在矩陣$ K $, 使得如下線性矩陣不等式成立:

                        $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Pi _1} + \Pi _1^T}&0&0\\ 0&{{\Pi _2}}&{{\Pi _4}}\\ 0&*&{{\Pi _3} + \Pi _3^T} \end{array}} \right] < 0 $$ (12)

                        其中

                        $$ \begin{split} &{\Pi _1} = 2pLI + 2{X_1}\\[-2pt] &{\Pi _2} = - p({G_L} - {G_{ZL}}) - p{({G_L} - {G_{ZL}})^{\rm T}}\\[-2pt] &{\Pi _3} = - Q({G_g} - {G_{Zg}}) + {X_3}\\[-2pt] &{\Pi _4} = - p{G_{Lg}} - G_{gL}^{\rm T}Q + {X_2}\\[-2pt] &{X_1}{\rm{ = }}pK\\[-2pt] &{X_2} = {B^{\rm T}}{\varphi ^{\rm T}}Q\\[-2pt] &{X_3} = Q\Psi \end{split} $$

                        則系統(1)(2)在給出的邊界條件和源控制器(10)(11)下是漸進穩定的, 符號$ * $代表矩陣的對稱項.

                        證明: 構造Lyapunov-Krasovskii函數

                        $$ \begin{split} V =& 1/2\int_{\Omega }W_{L}^{{\rm T}}(x,t)PW_{L}(x,t)+\\[-2pt] &W_{g}^{{\rm T}}(x,t)QW_{g}(x,t)dx \end{split} $$ (13)
                        $$ \dot{V} = \int_{\Omega }W_{L}^{{\rm T}}(x,t)P\dot{W}_{L}(x,t)+W_{g}^{{\rm T}}(x,t)Q\dot{W}_{g}(x,t)dx $$
                        $$ \begin{split} \dot{V} = &\int_{\Omega }W_{L}^{{\rm T}}(x,t)P(F(W_{L}(x,t))-\hat{F}(W_{L}(x,t)))+\\ &W_{L}^{{\rm T}}(x,t)PKW_{L}(x,t)+\\ &W_{L}^{{\rm T}}(x,t)P(G_{L}-G_{ZL})\Delta W_{L}(x,t)+\\ &W_{g}^{{\rm T}}(x,t)Q(G_{gL}+\varphi B)\Delta W_{L}(x,t)+\\ &W_{g}^{{\rm T}}(x,t)Q(G_{g}-G_{Zg}-\Psi)\Delta W_{g}(x,t)+\\ &W_{L}^{{\rm T}}(x,t)PG_{Lg}\Delta W_{g}(x,t)dx \end{split} $$

                        $ p = \lambda _{max}(P) $, 由假設1

                        $$ \begin{align} \dot{V}\leqslant & \int_{\Omega } p L W_{L}^{{\rm T}}(x,t)W_{L}(x,t)+\\[-2pt] &p W_{L}^{{\rm T}}(x,t)KW_{L}(x,t)+\\[-2pt] &\left[ \begin{array}{*{20}{c}} W_{L}(x,t) \\ W_{g}(x,t) \end{array} \right]^{{\rm T}}\\[-2pt] &\left[ \begin{array}{cc} p(G_{L}-G_{ZL})&pG_{Lg} \\ Q(G_{gL}+\varphi B)&Q(G_{g}-G_{Zg}-\Psi) \end{array} \right]\\[-2pt] &\left[ \begin{array}{*{20}{c}} \Delta W_{L}(x,t) \\ \Delta W_{g}(x,t) \end{array} \right] dx \end{align} $$

                        $ W(x,t) = \begin{bmatrix} W_{L}(x,t) \\ W_{g}(x,t) \end{bmatrix} $,

                        $$ \begin{array}{l} \Gamma = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {p({G_L} - {G_{ZL}})}&{p{G_{Lg}}}\\ {Q({G_{gL}} + \varphi B)}&{Q({G_g} - {G_{Zg}} - \Psi )} \end{array}} \right]\\ I(t) = \displaystyle\int_\Omega {{W^T}} (x,t)\Gamma \Delta W(x,t)dx \end{array} $$

                        利用引理1和邊界條件

                        $$ \begin{align} I(t)& = \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{n} \Gamma_{ij}\int_{\Omega }w_{i}(x,t)\Delta w_{i}(x,t)dx=\\ & \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{n} \Gamma_{ij}[\int_{\partial \Omega }w_{i}(x,t)\frac{\partial w_{i}(x,t) }{\partial n}dx-\\ &\int_{\Omega }\bigtriangledown w_{i}(x,t) \bigtriangledown w_{i}(x,t)dx]=\\ & -\int_{\Omega }\bigtriangledown W^{T}(x,t)\Gamma \bigtriangledown W(x,t)dx \end{align} $$
                        $$ \begin{align} \dot{V}\leqslant &\int_{\Omega } p L W_{L}^{{\rm T}}(x,t)W_{L}(x,t)+\\ &p W_{L}^{{\rm T}}(x,t)KW_{L}(x,t)-\\ &\left[ \begin{array}{*{20}{c}} \bigtriangledown W_{L}(x,t) \\ \bigtriangledown W_{g}(x,t) \end{array} \right]^{{\rm T}}\\ &\left[ \begin{array}{cc} p(G_{L}-G_{ZL})&pG_{Lg} \\ Q(G_{gL}+\varphi B)&Q(G_{g}-G_{Zg}-\Psi) \end{array} \right]\\ &\left[ \begin{array}{*{20}{c}} \bigtriangledown W_{L}(x,t) \\ \bigtriangledown W_{g}(x,t) \end{array} \right]dx \end{align} $$

                        即存在

                        $$ \dot{V} = \int_{\Omega }\eta^{{\rm T}}(t) \Phi \eta(t)dx $$

                        其中

                        $$ \eta(t) = col \left \{ W_{L}(x,t), \bigtriangledown W_{L}(x,t), \bigtriangledown W_{g}(x,t) \right \} $$
                        $$ \Phi = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Xi _1}}&0&0\\ 0&{{\Xi _2}}&{ - p{G_{Lg}}}\\ 0&{{\Xi _3}}&{{\Xi _4}} \end{array}} \right]\qquad\qquad\qquad\quad $$
                        $$ \begin{array}{l} {\Xi _1} = pLI + pK\\ {\Xi _2} = - p({G_L} - {G_{ZL}})\\ {\Xi _3} = - Q(G_{gL}^{\rm T} + \varphi B)\\ {\Xi _4} = - Q({G_g} - {G_{Zg}} - \Psi ) \end{array}\qquad\qquad\qquad\quad $$

                        $ \Phi+\Phi^{T}<0 $, 則$ \Phi<0 $

                        $$ \begin{array}{l} {X_1}{\rm{ }} = {\rm{ }}pK{\rm{ }}\\ {X_2} = {B^{\rm T}}{\varphi ^{\rm T}}Q\\ {X_3} = Q\Psi \end{array} $$

                        所以, 若

                        $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Pi _1} + \Pi _1^{\rm T}}&0&0\\ 0&{{\Pi _2}}&{{\Pi _4}}\\ 0&*&{{\Pi _3} + \Pi _3^{\rm T}} \end{array}} \right] < 0 $$

                        其中

                        $$ \begin{array}{l} {\Pi _1} = 2pLI + 2{X_1}\\ {\Pi _2} = - p({G_L} - {G_{ZL}}) - p{({G_L} - {G_{ZL}})^{\rm T}}\\ {\Pi _3} = - Q({G_g} - {G_{Zg}}) + {X_3}\\ {\Pi _4} = - p{G_{Lg}} - G_{gL}^{\rm T}Q + {X_2} \end{array} $$

                        $ \dot{V}<0 $, 由此定理1得證.□

                        定理1給出了非線性分布參數系統源控制鎮定性的充分條件, 下面對一般線性分布參數系統這一特殊情形, 給出相應系統鎮定的一個推論.

                        源節點:

                        $$ \begin{split} \dfrac{\partial W_{L}(x,t)}{\partial t} =& A W_{L}(x,t)+G_{Lg}\Delta W_{g}(x,t)+\\ &(G_{L}-G_{ZL})\Delta W_{L}(x,t)+U_{L} \end{split} $$ (14)

                        跟隨節點:

                        $$ \begin{split} \dfrac{\partial W_{g}(x,t)}{\partial t} = &G_{gL}\Delta W_{L}(x,t)+\\ &(G_{g}-G_{Zg})\Delta W_{g}(x,t)+U_{g} \end{split} $$ (15)

                        推論1. 對于源節點系統(14)及跟隨節點系統(15), 任意給定的正定矩陣$ P $, $ Q $, 若存在矩陣$ K $, 使得如下線性矩陣不等式成立:

                        $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Phi _1} + \Phi _1^{\rm T}}&0&0\\ 0&{{\Phi _2}}&{ - p{G_{Lg}} - G_{gL}^{\rm T}Q + {X_2}}\\ 0&*&{{\Phi _3} + \Phi _3^{\rm T}} \end{array}} \right] < 0 $$ (16)

                        其中

                        $$ \begin{array}{l} {\Phi _1} = 2pAI + 2{X_1}\\ {\Phi _2} = - p({G_L} - {G_{ZL}}) - p{({G_L} - {G_{ZL}})^{\rm T}}\\ {\Phi _3} = - Q({G_g} - {G_{Zg}}) + {X_3}{\rm{ }}\\ {X_1}{\rm{ }} = {\rm{ }}pK\\ {X_2} = {B^{\rm T}}{\varphi ^{\rm T}}Q\\ {X_3} = Q\Psi \end{array} $$

                        則系統(14)(15)在給出的邊界條件和源控制器(10)(11)下是漸進穩定的, 符號$ * $代表矩陣的對稱項.

                        證明: 構造Lyapunov-Krasovskii函數

                        $$ V = \int_{\Omega }W_{L}^{{\rm T}}(x,t)PW_{L}(x,t)+W_{g}^{{\rm T}}(x,t)QW_{g}(x,t)dx $$

                        證明參考定理1.□

                      • 為了說明問題, 考慮如下分布參數系統及控制系統

                        $$ \left\{ \begin{split} \dfrac{\partial W_{L}(x,t)}{\partial t} =& F(W_{L}(x,t))+G_{Lg}\Delta W_{g}(x,t)+\\ &(G_{L}-G_{ZL})\Delta W_{L}(x,t)+U_{L}\\ \dfrac{\partial W_{g}(x,t)}{\partial t} =& G_{gL}\Delta W_{L}(x,t)+\\ &(G_{g}-G_{Zg})\Delta W_{g}(x,t)+U_{g} \end{split}\right. $$

                        對分布參數系統, 取源節點為$ l = 1 $, 隨節點$ n-l = 3 $, 系統參數非線性函數與經驗函數誤差滿足: $ L = 4.5 $, 擴散-吸收因子$ G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{G_L}}&{{G_{Lg}}}\\{{G_{gL}}}&{{G_g}}\end{array}} \right]$, 其中$ G_{L} = 0 $, $ G_{Lg} = [-1,-0.1,-0.01] $, $ {G_g} =$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 0.5}&{ - 0.05}\\{0.5}&0&{ - 0.25}\\{0.05}&{0.25}&0\end{array}} \right] $, 所以$ G_{ZL} = -1.11 $, $ G_{Zg} = $$diag (0.450.35, 0.31) $

                        應用定理1所提出的方法, 通過Matlab軟件中的LMI工具箱, 可以得到控制系統參數: $K = $$ -4.9603 $, $ B = [-1,-3,-3.8]^{T} $, $ \varphi = diag(0.4569, $$0.0152,0.0012) $, 即 $ \Psi = diag(-1,-3,-3.8) $.

                        給定系統的初始條件$ w_{1}(x,0) = \exp(0.7* $$(-x\!+\!5)) $, $ w_{2}(x,0) \!=\! 10*\sin(x) $, $ w_{3}(x,0) \!=\! \sin(2*x) $, $ w_{4}(x,0) = 0.1*\sin(3*x) $, 圖1-2, 分別給出了系統源節點狀態和系統跟隨的狀態圖.

                        圖  1  系統源節點$W_{L}(x,t)$狀態圖

                        Figure 1.  the system state of source nodes $W_{L}(x,t)$

                        圖  2  系統跟隨節點$W_{g}(x,t)$狀態圖

                        Figure 2.  the system state of following nodes $W_{g}(x,t)$

                      • 本文將構成分布參數系統的空間分成若干分, 每份為一個節點, 在所有的節點中, 定義將能產生量變的源頭定義為源節點, 跟隨源節點變化的節點為跟隨節點, 由此構建分布參數系統模型. 對于源節點, 根據經驗函數結合反饋偏差調節設計控制器, 對跟隨節點考慮源節點控制的逸散作用, 設計控制器. 利用Lyapunov穩定性理論并結合LMI處理方法, 得出了分布式參數系統穩定源控制器存在的充分條件. 最后結合所給條件, 給出一個數值仿真說明其有效性.

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