2.793

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                    基于多模態特征子集選擇性集成建模的磨機負荷參數預測方法

                    劉卓 湯健 柴天佑 余文

                    劉卓, 湯健, 柴天佑, 余文. 基于多模態特征子集選擇性集成建模的磨機負荷參數預測方法. 自動化學報, 2020, 46(x): 1?12. doi: 10.16383/j.aas.c190735
                    引用本文: 劉卓, 湯健, 柴天佑, 余文. 基于多模態特征子集選擇性集成建模的磨機負荷參數預測方法. 自動化學報, 2020, 46(x): 1?12. doi: 10.16383/j.aas.c190735
                    LIU Zhuo, TANG Jian, CHAI Tian-Yo, YU Wen. Selective ensemble modeling approach for mill load parameter forecasting based on multi-modal feature sub-sets. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(x): 1?12. doi: 10.16383/j.aas.c190735
                    Citation: LIU Zhuo, TANG Jian, CHAI Tian-Yo, YU Wen. Selective ensemble modeling approach for mill load parameter forecasting based on multi-modal feature sub-sets. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(x): 1?12. doi: 10.16383/j.aas.c190735

                    基于多模態特征子集選擇性集成建模的磨機負荷參數預測方法


                    DOI: 10.16383/j.aas.c190735
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      博士, 東北大學流程工業綜合自動化國家重點實驗室講師. 主要研究方向為復雜工業過程建模. E-mail: liuzhuo@ise.neu.edu.cn

                      北京工業大學教授. 主要研究方向為小樣本數據建模、城市固廢自動化處理等. 本文通訊作者. E-mail: freeflytang@bjut.edu.cn

                      中國工程院院士, 東北大學教授. IEEE Fellow, IFAC Fellow, 歐亞科學院院士. 主要研究方向為自適應控制, 智能解耦控制, 流程工業綜合自動化理論、方法與技術. E-mail: ychai@mail.neu.edu.cn

                      墨西哥國立理工大學高級研究中心自動化部教授. 主要研究方向為復雜工業過程建模與控制, 機器學習. E-mail: yuw@ctrl.cinvestav.mx

                      通訊作者: 湯健, freeflytang@bjut.edu.cn
                    • 基金項目:  國家自然科學基金(61703089, 61803191, 61673097), 中央高?;究蒲袠I務費專項資金項目(N17080400), 礦冶過程自動控制技術國家重點實驗室, 礦冶過程自動控制技術北京市重點實驗室(BGRIMM-KZSKL-2018-06)

                    Selective Ensemble Modeling Approach for Mill Load Parameter Forecasting Based on Multi-modal Feature Sub-sets

                    More Information
                    • Fund Project:  Supported by National Natural Science Foundation of P. R. China (61703089, 61803191, 61673097), the Fundamental Research Funds for the Central Universities (N17080400), National & Beijing Key Laboratory of Process Automation in Mining & Metallurgy(BGRIMM-KZSKL-2018-06)
                    • 摘要: 如何融合球磨機系統研磨過程所產生的多模態機械信號構建磨機負荷參數預測(MLPF)模型是當前研究的熱點問題. 針對上述問題, 本文提出一種基于多模態特征子集選擇性集成(SEN)建模的MLPF方法. 首先, 對多模態機械信號進行時頻域變換得到高維頻譜數據; 接著, 采用相關系數法和互信息法對多模態頻譜進行線性和非線性特征子集的自適應選擇; 最后, 采用優化和加權算法對上述特征子集的候選子模型進行自適應地選擇與合并, 得到基于SEN機制的MLPF模型. 采用磨礦過程實驗球磨機的機械信號仿真驗證了所提方法的有效性.
                    • 圖  1  磨機系統不同位置機械信號的產生機理示意圖

                      Fig.  1  Generation mechanism of mechanical signals in different position of mill system

                      圖  2  建模策略

                      Fig.  2  The proposed modeling strategy

                      圖  3  實驗球磨機傳感器布置示意圖

                      Fig.  3  Layout of sensors for experimental ball mill

                      圖  4(a)  模態Ch1的頻譜變量與MBVR間的相關系數和互信息值

                      Fig.  4(a)  Correlation coefficient and mutual information value between spectrum variable of mode ch1 and MBVR

                      圖  4(b)  模態Ch6的頻譜變量與MBVR間的相關系數和互信息值

                      Fig.  4(b)  Correlation coefficient and mutual information value between spectrum variable of mode ch6 and MBVR

                      圖  4(c)  模態Ch8的頻譜變量與MBVR間的相關系數和互信息值

                      Fig.  4(c)  Correlation coefficient and mutual information value between spectrum variable of mode ch8 and MBVR

                      表  1  面向PD的不同模態頻譜特征的特征選擇系數統計表

                      Table  1  Coefficients Statistical table of different modal spectrum feature for PD

                      類別Ch1Ch2Ch3Ch4Ch5Ch6Ch7Ch8
                      線性特征選擇系數Min0.090500.0078680.36780.0050180.00019940.0095960.0020750.8741
                      線性特征選擇系數Max1.28971.73511.19131.39045.28831.26492.05641.0571
                      非線性特征選擇系數Min0.66440.56590.88130.84030.57180.70390.48600.9228
                      非線性特征選擇系數Max1.07151.08851.16801.13041.35561.13521.6231.0599
                      下載: 導出CSV

                      表  2  候選子模型編碼

                      Table  2  Coding of candidate sub-models

                      序號子模型特點子模型名稱子模型編碼多模態通道編號
                      1lin_linCorr-PLS1-81-Ch1, 2-Ch2, 3-Ch3, 4-Ch4, 5-Ch5, 6-Ch6, 7-Ch7, 8-Ch8
                      2nonlin_linMi-PLS9-169-Ch1, 10-Ch2, 11-Ch3, 12-Ch4, 13-Ch5, 14-Ch6, 15-Ch7, 16-Ch8
                      3lin_nonlinCorr-RWNN17-2417-Ch1, 18-Ch2, 19-Ch3, 20-Ch4, 21-Ch5, 22-Ch6, 23-Ch7, 24-Ch8
                      4nonlin_nonlinMi-RWNN25-3225-Ch1, 26-Ch2, 27-Ch3, 28-Ch4, 29-Ch5, 30-Ch6, 31-Ch7, 32-Ch8
                      下載: 導出CSV

                      表  3  不同特征選擇系數時所構建的SEN模型的預測誤差和所選擇的子模型編號

                      Table  3  Prediction error of SEN model with different feature selection coefficients and selected sub-model number

                      序號MBVRPDCVR
                      測試誤差集成子模型編號測試誤差集成子模型編號測試誤差集成子模型編號
                      10.05330{ 21 23 27 31 17 32 19 24 30}0.01579{26 18 30}0.01083{14 19 26 18 30 22}
                      20.06204{14 31 32 24 27 30}0.01805{25 10 31 32 14 19 24 18 30}0.009697{27 26 22 30}
                      30.04515{9 17 26 14 30 27 22 32 19 24}0.01855{24 14 18 30 26}0.01146{27 14 19 26 31 18 30 22}
                      40.04717{23 17 27 19 32 24 30}0.01582{14 24 26 27 32 30}0.009544{19 30 22}
                      50.05231{27 17 30 23 19 32 24}0.01843{24 14 25 22 18 19 30}0.01093{20 14 31 27 32 19 26 22 30}
                      60.04433{31 22 30 32 19 24}0.01452{22 14 24 32 26 19 30}0.009930{23 25 20 18 32 27 26 19 30 22}
                      70.05697{31 32 24}0.01627{26 22 18 24 32 19 30}0.009870{6 20 28 19 32 18 26 27 22 30}
                      80.04459{27 26 23 22 31 25 30 17 32 24}0.01687{27 18 32 19 30}0.009280{28 18 26 27 19 22 30}
                      90.04969{26 32 27 30 25 19 24}0.01718{2 18 27 6 26 32 25 30}0.009650{18 32 26 25 27 19 30 22}
                      100.04624{22 17 26 27 30 25 32 19 31 24}0.01748{25 26 22 32 27 6 18 19 30}0.01212{22 30}
                      110.04404{25 17 18 27 22 19 30 24}0.01769{17 23 22 26 27 6 30 19 18}??
                      下載: 導出CSV

                      表  4  磨機負荷參數各通道與多模態特征子集選擇性集成模型的測試誤差比較

                      Table  4  Comparison of test errors between various channels of mill load parameters and multi-modal feature subset SEN model

                      RMSREs備注
                      MBVRPDCVR
                      Corr-PLSMi-PLSCorr-RWNNMi-RWNNCorr-PLSMi-PLSCorr-RWNNMi-RWNNCorr-PLSMi-PLSCorr-RWNNMi-RWNN
                      Ch10.19240.34260.13140.15030.067100.054110.069100.051610.059110.066220.070300.04930筒體振動
                      Ch20.32130.72070.31030.14010.042210.044300.033210.037510.056500.047110.037110.02620筒體振動
                      Ch30.44010.44310.091120.090200.120120.076110.031110.052100.11320.078310.029220.03810筒體振聲
                      Ch40.51250.42250.28220.20010.11420.086200.064600.11840.074420.069100.041100.04772筒體振聲
                      Ch50.46110.34090.19110.22210.10870.081220.11610.098100.097110.096100.044400.09911軸承振動
                      Ch60.31050.21410.14310.13410.044100.037200.035200.024310.035200.036410.016300.01720軸承振動
                      Ch70.38020.25020.13210.11010.10830.062410.061210.056110.094510.048110.049100.04141軸承振動
                      Ch80.59340.60310.080900.36310.09710.079100.033100.032200.14210.089300.068400.03730研磨振聲
                      本文方法0.044040.014520.00928
                      下載: 導出CSV

                      表  5  磨機負荷參數各通道與多模態特征子集選擇性集成模型的平均測試誤差比較

                      Table  5  Average test errors comparison of the various channels of mill load parameters and multi-modal feature subset SEN model

                      通道MBVRPDCVR平均預測誤差備注
                      Ch10.13140.051610.049300.07740筒體振動
                      Ch20.14010.033210.026200.06650筒體振動
                      Ch30.090200.031110.029220.05020筒體振聲
                      Ch40.20010.064600.041100.1019筒體振聲
                      Ch50.19110.081220.044400.1056軸承振動
                      Ch60.13410.024310.016300.05820軸承振動
                      Ch70.11010.056110.041410.06920軸承振動
                      Ch80.080900.032200.037300.05010研磨振聲
                      本文方法0.044040.014520.009280.02260
                      下載: 導出CSV
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                      2 Chai Tian-You. Operational optimization and feedback control for complex industrial processes. Acta Automatica Sinica, 2013, 39(11): 1744?1757 doi:  10.3724/SP.J.1004.2013.01744
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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2019-10-23
                    • 錄用日期:  2020-02-07

                    基于多模態特征子集選擇性集成建模的磨機負荷參數預測方法

                    doi: 10.16383/j.aas.c190735
                      基金項目:  國家自然科學基金(61703089, 61803191, 61673097), 中央高?;究蒲袠I務費專項資金項目(N17080400), 礦冶過程自動控制技術國家重點實驗室, 礦冶過程自動控制技術北京市重點實驗室(BGRIMM-KZSKL-2018-06)
                      作者簡介:

                      博士, 東北大學流程工業綜合自動化國家重點實驗室講師. 主要研究方向為復雜工業過程建模. E-mail: liuzhuo@ise.neu.edu.cn

                      北京工業大學教授. 主要研究方向為小樣本數據建模、城市固廢自動化處理等. 本文通訊作者. E-mail: freeflytang@bjut.edu.cn

                      中國工程院院士, 東北大學教授. IEEE Fellow, IFAC Fellow, 歐亞科學院院士. 主要研究方向為自適應控制, 智能解耦控制, 流程工業綜合自動化理論、方法與技術. E-mail: ychai@mail.neu.edu.cn

                      墨西哥國立理工大學高級研究中心自動化部教授. 主要研究方向為復雜工業過程建模與控制, 機器學習. E-mail: yuw@ctrl.cinvestav.mx

                      通訊作者: 湯健, freeflytang@bjut.edu.cn

                    摘要: 如何融合球磨機系統研磨過程所產生的多模態機械信號構建磨機負荷參數預測(MLPF)模型是當前研究的熱點問題. 針對上述問題, 本文提出一種基于多模態特征子集選擇性集成(SEN)建模的MLPF方法. 首先, 對多模態機械信號進行時頻域變換得到高維頻譜數據; 接著, 采用相關系數法和互信息法對多模態頻譜進行線性和非線性特征子集的自適應選擇; 最后, 采用優化和加權算法對上述特征子集的候選子模型進行自適應地選擇與合并, 得到基于SEN機制的MLPF模型. 采用磨礦過程實驗球磨機的機械信號仿真驗證了所提方法的有效性.

                    English Abstract

                    劉卓, 湯健, 柴天佑, 余文. 基于多模態特征子集選擇性集成建模的磨機負荷參數預測方法. 自動化學報, 2020, 46(x): 1?12. doi: 10.16383/j.aas.c190735
                    引用本文: 劉卓, 湯健, 柴天佑, 余文. 基于多模態特征子集選擇性集成建模的磨機負荷參數預測方法. 自動化學報, 2020, 46(x): 1?12. doi: 10.16383/j.aas.c190735
                    LIU Zhuo, TANG Jian, CHAI Tian-Yo, YU Wen. Selective ensemble modeling approach for mill load parameter forecasting based on multi-modal feature sub-sets. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(x): 1?12. doi: 10.16383/j.aas.c190735
                    Citation: LIU Zhuo, TANG Jian, CHAI Tian-Yo, YU Wen. Selective ensemble modeling approach for mill load parameter forecasting based on multi-modal feature sub-sets. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(x): 1?12. doi: 10.16383/j.aas.c190735
                      • 磨礦過程難以檢測的磨機負荷參數(MLP), 即料球比(MBVR, material to ball volume ratio)、磨礦濃度(PD, pulp density)和充填率(CVR, ball charge volume ratio), 與磨礦過程的產品質量和生產效率密切相關, 對其進行實時檢測是實現選礦過程運行優化控制的關鍵因素之一[1, 2]. 數據驅動的軟測量建模技術廣泛用于類似難測參數的推理估計[3]. 旋轉運行的磨機在筒體、軸承、研磨區域等不同位置所產生的機械振動/振聲信號, 在產生機理、靈敏度和蘊含信息等方面存在差異性、冗余性與互補性[4, 5]. 文獻[6]指出事物被體驗或表達存在多種特定方式(模態), 可融合多模態的有價值信息實現分類或回歸. 針對球磨機系統, 蘊含著差異化MLP信息的多模態機械振動/振聲信號頻譜特征常用于構建MLPF模型[7, 8, 9].

                        為構建具有可解釋性和較強泛化能力的MLPF模型, 進行多模態頻譜特征的有效選擇是較為有效的策略. 特征選擇算法能夠有效去除“無關特征”與“冗余特征”, 并確保重要特征不丟失[10]. 針對機械振動頻譜進行特征子集的選擇更具有價值[11]. 此外, 不同MLP與高維特征間的映射關系也呈現出差異性.

                        基于單個輸入特征與MLP等難測參數間的相關系數能夠選擇線性相關特征, 如文獻[12]結合多目標優化算法和相關系數進行微陣列數據的特征選擇, 文獻[13]提出基于相關系數的多目標半監督特征選擇方法, 文獻[14]提出基于熵的相關系數的特征聚類方法對特征子集進行快速聚類. 針對基于相關系數的線性方法難以描述復雜非線性映射關系的缺點, 互信息法可有效選擇與難測參數相關的非線性特征[15, 16], 如文獻[17]和[18]提出了基于個體最佳互信息和條件互信息的特征選擇方法. 針對高維頻譜數據, 如何自適應確定特征選擇閾值并進行有效的線性和非線性特征子集的選擇是待解決的開放問題.

                        在選擇包含不同數量特征的線性和非線性頻譜特征子集后, 還需解決MLPF的構建問題. 通常, 上述線性和非線性機械頻譜特征子集間存在冗余性和互補性. 基于這些特征子集所構建的線性或非線性模型針對不同MLP參數的預測性能也存在差異性. 集成建模通過組合多個異質或同質子模型的輸出提高預測模型的穩定性和魯棒性, 其難點問題是如何提高子模型間的多樣性. 文獻[19]指出子模型多樣性的構造策略包括樣本空間重采樣、特征空間特征子集劃分或特征變換等, 其中基于特征空間的構造策略能夠獲得更佳的預測性能.

                        基于較高頻率分辨率獲得的單/多尺度頻譜間具有較強的共線性. 潛結構映射或偏最小二乘(PLS, partial least squares)算法能夠提取低維潛在變量(LV, latent variable)構建回歸模型, 適合對高維頻譜數據建模[20, 21]. 為提高MLPF模型泛化性能, 文獻[22]提出基于“操作輸入特征”與“采樣訓練樣本”的雙重維度集成構造策略, 用以構建SEN MLPF模型; 該方法構建的模型能夠有效融合多源有價值信息, 與運行專家感知MLP的機制相類似, 但所構建的MLPF模型結構較為復雜. 此外, 上述方法屬于同質子模型集成, 并且未對頻譜特征進行線性或非線性子集的選擇. 面對小樣本, 基于單尺度頻譜構建的MLPF模型的泛化性能較好, 但在模型可解釋性和洞悉研磨過程機理等方面存在欠缺. 隨機權神經網絡(RWNN, Random weight neural network)是隱含層輸入權重隨機產生、輸出權重采用Moore-Penrose廣義逆方法計算的單隱含層神經網絡[23, 24], 具有較快的學習速度. 為克服工況漂移帶來的泛化性能下降問題, 文獻[25]和文獻[26, 27]構建了基于更新樣本和遷移學習的MLPF模型. 為選擇更有價值的多模態機械信號, 文獻[28]提出了面向MLPF的信號分析評估與優化組合算法, 但其并未進行多模態特征子集的選擇.

                        在已有研究中, 關于多模態特征選擇與融合的研究多偏向基于圖像的應用領域, 如文獻[29]利用多核學習方法融合對圖像所提取的顏色、紋理、輪廓、深度等多模態特征進行分類檢測; 文獻[30]提出融合語音信號和腦電信號的多模態情感識別; 文獻[31]綜述多模態功能神經影像的多元機器學習融合方法; 文獻[32]綜述了深度多模態學習, 指出采用正則化方法對多模態融合結構進行學習和優化是研究熱點; 文獻[33]提出采用多種深度神經網絡的多模態融合策略手勢識別. 上述研究的多模態主要是從數據來源的視角進行, 存在的問題是深度融合方法難以對所選擇多模態特征進行合理的物理解釋.

                        因此, 基于多模態機械頻譜的MLPF模型構建, 需要解決以下2個問題: (1)如何進行線性特征和非線性特征子集的選擇; (2)如何基于多模態特征子集構建差異性的集成子模型并進行有效選擇與合并以構建SEN模型. 綜上, 本文提出了一種基于多模態特征子集SEN建模的MLPF方法. 首先, 對多模態機械信號進行時頻域變換得到高維頻譜數據; 然后, 采用相關系數法和互信息法對多模態頻譜變量進行線性和非線性特征子集的自適應選擇; 接著, 構建基于多模態特征的候選子模型后進行自適應選擇與合并, 進而獲得基于SEN的MLPF模型. 采用磨礦過程實驗球磨機的多模態機械振動信號仿真驗證了所提方法的有效性.

                      • 球磨機是依靠鋼球和礦石間的沖擊和研磨進行破碎的重型旋轉設備. 磨機系統不同位置機械信號的產生機理如圖1所示[28].

                        圖  1  磨機系統不同位置機械信號的產生機理示意圖

                        Figure 1.  Generation mechanism of mechanical signals in different position of mill system

                        圖中, ${{x}}_{{\rm{VS}}}^{\rm{t}}$表示筒體振動信號, ${{x}}_{{\rm{V1}}}^{\rm{t}}$${{x}}_{{\rm{V2}}}^{\rm{t}}$表示前后軸承座機械振動信號, ${{x}}_{{\rm{AS}}}^{\rm{t}}$表示筒體表面振聲信號, ${{x}}_{{\rm{A1}}}^{\rm{t}}$表示磨機研磨區域下方振聲信號.

                        圖1所示, 分層排列的鋼球隨球磨機旋轉以不同的沖擊力和周期被拋落或滑落, 這些沖擊力相互疊加導致筒體振動; 同時, 磨機自身質量的不平衡和安裝偏置也引起筒體振動, 這些疊加后的沖擊力導致筒體振動${{x}}_{{\rm{VS}}}^{\rm{t}}$. 顯然, 磨機旋轉整周期的不同階段所蘊含的MLP信息具有差異性. 筒體振動經機械傳動設備的多級傳遞會濾掉高頻部分, 其殘余振動導致磨機前后軸承座在水平和垂直方向的振動, 再耦合其他來源振動后導致軸承座振動${{x}}_{{\rm{V1}}}^{\rm{t}}$${{x}}_{{\rm{V2}}}^{\rm{t}}$. 球磨機內部噪聲經連續反射后形成混合聲場, 經磨機筒體傳出產生空氣噪聲, 筒體振動的聲發射機理產生結構噪聲, 此兩種噪聲是筒體近表面振聲${{x}}_{{\rm{AS}}}^{\rm{t}}$的主要組成部分; 此外, 磨機研磨區域下方的振聲${{x}}_{{\rm{A1}}}^{\rm{t}}$還包含來自其他磨機和鄰近設備的背景噪聲.

                        因此, 球磨機系統不同位置測量的多模態機械信號所蘊含的MLP信息具有冗余性和互補性. 理論上, 不同區域的頻譜具有其特定的物理含義. 因此, 有必要對多模態機械頻譜特征進行選擇性融合.

                      • 本文提出了由時頻域變換、多模態線性/非線性特征子集選擇、多模態SEN模型構建共3個模塊組成的建模策略, 如圖2所示.

                        圖  2  建模策略

                        Figure 2.  The proposed modeling strategy

                        圖2中, $J$表示多模態機械信號的測量數量, ${{X}}_{}^j$表示基于設計方案進行$N$次實驗所采集的長度為$M$的第$j{\rm{th}}$個模態的機械信號, ${{Z}}_{}^j$表示將${{X}}_{}^j$采用FFT(fast Fourier transform)技術變換至頻域獲得的機械頻譜, ${{Z}}_{{\rm{lin}}}^j$${{Z}}_{{\rm{nonlin}}}^j$表示基于${{Z}}_{}^j$所提取的線性和非線性特征子集, ${\hat{{y}}}_{{\rm{linPLS}}}^j$${\hat{{y}}}_{{\rm{linRWNN}}}^j$表示基于線性特征子集${{Z}}_{{\rm{lin}}}^j$構建的線性PLS和非線性RWNN子模型的預測輸出, ${\hat{{y}}}_{{\rm{nonlinPLS}}}^j$${\hat{{y}}}_{{\rm{nonlinRWNN}}}^j$表示基于非線性子集${{Z}}_{{\rm{nonlin}}}^j$構建的線性PLS和非線性RWNN子模型的預測輸出, ${{y}}$${\hat{{y}}}$表示MLP及其預測輸出, ${J_{{\rm{sel}}}}$${k_{{\rm{feasel}}}}$表示MLPF軟測量模型的集成尺寸和特征選擇系數.

                      • 以基于設計方案進行$N$次實驗所采集的長度為$M$的第$j{\rm{th}}$個模態的機械信號${{X}}_{}^j$為例, 可用如下矩陣表示,

                        $$ {{X}}_{}^j = \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}_1^j} \\ {...} \\ {{{x}}_n^j} \\ {...} \\ {{{x}}_N^j} \end{array}} \!\!\right] = \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {x_{11}^j}&{...}&{x_{1m}^j}&{...}&{{{x}}_{1M}^j} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {x_{n1}^j}&{...}&{x_{nm}^j}&{...}&{x_{nM}^j} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {x_{N1}^j}&{...}&{x_{Nm}^j}&{...}&{x_{NM}^j} \end{array}} \!\!\right] $$ (1)

                        將上式中的第$n{\rm{th}}$次實驗的時域信號${{x}}_n^j$變換至頻域獲得機械頻譜${{z}}_n^j$, 可采用如下過程表示,

                        $${{x}}_n^j = [x_{n1}^j, \cdots ,x_{nm}^j, \cdots ,x_{nM}^j]\xrightarrow{{{\rm{FFT}}}}{{z}}_n^j$$ (2)

                        進一步, 將全部$N$次實驗(建模的$N$個樣本)的第$j{\rm{th}}$個模態的機械信號均變換至頻域, 可得到${{Z}}_{}^j$, 可改寫為如下式所示,

                        $$\begin{array}{l} {{Z}}_{}^j = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{z}}_1^j} \\ {...} \\ {{{z}}_n^j} \\ {...} \\ {{{z}}_N^j} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z_{11}^j}&{...}&{z_{1p}^j}&{...}&{z_{1P}^j} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {z_{n1}^j}&{...}&{z_{np}^j}&{...}&{z_{nP}^j} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {z_{N1}^j}&{...}&{z_{Np}^j}&{...}&{z_{NP}^j} \end{array}} \right] \\ \;\;\;\;\;\;\; = [\begin{array}{*{20}{c}} {{{z}}_1^j}&{...}&{{{z}}_p^j}&{...}&{{{z}}_P^j} \end{array}] \\ \end{array} $$ (3)

                        式中, $N$$P$分別代表建模樣本的數量和維數, 即$P$為頻譜特征的數量, ${{z}}_p^j$表示第$p{\rm{th}}$個輸入特征. 相應的, 磨機負荷難測參數的真值表示為${\bf{y}} = \{ y_n^{}\} _{n = 1}^N$.

                        進一步, 全部$J$個模態的機械信號的頻譜可表示為$\{ {{Z}}_j^{}\} _{j = 1}^J$.

                      • 以第$j{\rm{th}}$個模態為例, 首先計算第$p{\rm{th}}$個頻譜變量${{z}}_p^j$的相關系數的絕對值, 如下所示,

                        $$ \xi _p^j = \left| {\frac{{\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {\left[ {\left( {z_{np}^j{{ - }}\bar z{{_p^j}_{}}} \right)\left( {{y_n}{{ - }}\bar y} \right)} \right]} }}{{\sqrt {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {{{\left( {z_{np}^j{{ - }}\bar z{{_{}^j}_p}} \right)}^2}} } \sqrt {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {{{\left( {{y_n}{{ - }}\bar y} \right)}^2}} } }}} \right| $$ (4)

                        其中, $\bar z_p^j$$\bar y$分別表示第$p{\rm{th}}$個頻譜輸入特征和MLP的全部$N$個建模樣本的平均值, $\left| \cdot \right|$表示取絕對值. 為表述方便, 后文稱$\xi _p^j$為第$j{\rm{th}}$個模態第$p{\rm{th}}$個頻譜特征的相關系數值.

                        重復上述過程, 獲得全部輸入特征的相關系數并記為$\{ \xi _p^j\} _{p = 1}^P$.

                        接著, 計算第$j{\rm{th}}$個模態中最大和最小線性相關系數與均值的比值$k_{{\rm{linMin}}}^j$$k_{{\rm{linMax}}}^j$, 如下所示,

                        $$ k_{{\rm{linMin}}}^j = {{\min (\{ \xi _p^j\} _{p = 1}^P)} / {\frac{1}{P}\sum\limits_{p = 1}^P {\xi _p^j} }}$$ (5)
                        $$ k_{{\rm{linMax}}}^j = {{\max (\{ \xi _p^j\} _{p = 1}^P)} / {\frac{1}{P}\sum\limits_{p = 1}^P {\xi _p^j} }} $$ (6)

                        對全部模態執行上述過程后, 采用如下公式獲得線性特征選擇系數的上限和下限,

                        $$k_{{\rm{lin}}}^{{\rm{Up}}} = \min \left( {\{ k_{{\rm{linMax}}}^j\} _{j = 1}^J} \right)$$ (7)
                        $$k_{{\rm{lin}}}^{{\rm{Down}}} = \max \left( {\{ k_{{\rm{linMin}}}^j\} _{j = 1}^J} \right)$$ (8)

                        仍以第$j{\rm{th}}$個模態為例, 首先計算第$p{\rm{th}}$個頻譜變量${{z}}_p^j$的互信息值, 如下所示,

                        $$\zeta _p^{_j} = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = 1}^N {{p_{{\rm{rob}}}}(z_{np}^j,{y_n}){\rm{log}}\left( {\frac{{{p_{{\rm{rob}}}}(z_{np}^j,{y_n})}}{{{p_{{\rm{rob}}}}(z_{np}^j){p_{{\rm{rob}}}}({y_n})}}} \right)} } $$ (9)

                        其中, ${p_{{\rm{rob}}}}(z_{np}^j,{y_n})$表示聯合概率密度, ${p_{{\rm{rob}}}}(z_{np}^j)$${p_{{\rm{rob}}}}({y_n})$表示邊際概率密度.

                        重復上述過程, 獲得頻譜特征的互信息值并記為$\{ \zeta _p^{_j}\} _{p = 1}^P$.

                        接著, 計算第$j{\rm{th}}$個模態中最大和最小互信息值與均值的比值, 如下所示,

                        $$ k_{{\rm{nonlinMin}}}^j = {{\min (\{ \zeta _p^{_j}\} _{p = 1}^P)} / {\frac{1}{P}\sum\limits_{p = 1}^P {\zeta _p^{_j}} }} $$ (10)
                        $$ k_{{\rm{nonlinMax}}}^j = {{\max (\{ \zeta _p^{_j}\} _{p = 1}^P)} / {\frac{1}{P}\sum\limits_{p = 1}^P {\zeta _p^{_j}} }} $$ (11)

                        對全部模態執行上述過程后, 采用如下公式獲得非線性特征選擇系數的上限和下限,

                        $$ k_{{\rm{nonlin}}}^{{\rm{Up}}} = \min \left( {\left\{ k_{{\rm{nonlinMax}}}^j\right\} _{j = 1}^J} \right) $$ (12)
                        $$ k_{{\rm{nonlin}}}^{{\rm{Down}}} = \max \left( {\left\{ k_{{\rm{nonlinMin}}}^j\right\} _{j = 1}^J} \right)$$ (13)

                        進一步, 采用如下公式獲得頻譜特征選擇系數的上限和下限,

                        $$k_{{\rm{feasel}}}^{{\rm{Up}}} = \min \left( {k_{{\rm{nonlin}}}^{{\rm{Up}}},k_{{\rm{lin}}}^{{\rm{Up}}}} \right)$$ (14)
                        $$k_{{\rm{feasel}}}^{{\rm{Down}}} = \max \left( {k_{{\rm{nonlin}}}^{{\rm{Down}}},k_{{\rm{lin}}}^{{\rm{Down}}}} \right)$$ (15)

                        本文中, 對全部模態采用相同的特征選擇系數${k_{{\rm{feasel}}}}$.

                        按如下公式結合預測性能自適應確定${J_{{\rm{feasel}}}}$個特征選擇系數的取值,

                        $${k_{{\rm{feasel}}}} = k_{{\rm{feasel}}}^{{\rm{Down}}}:k_{{\rm{feasel}}}^{{\rm{step}}}:k_{{\rm{feasel}}}^{{\rm{Up}}}$$ (16)

                        其中, ${k_{{\rm{feasel}}}}$取為1時, 表示閾值為均值; $k_{{\rm{feasel}}}^{{\rm{step}}}$表示用于計算${J_{{\rm{feasel}}}}$個特征選擇系數的步長, 采用如下公式獲得,

                        $$k_{{\rm{feasel}}}^{{\rm{step}}} = \frac{{k_{{\rm{feasel}}}^{{\rm{Up}}} - k_{{\rm{feasel}}}^{{\rm{Down}}}}}{{{J_{{\rm{feasel}}}}}}$$ (17)

                        不同模態的線性特征和非線性特征的選擇閾值$\theta _{{\rm{feasel}}}^{}$采用如下公式獲得,

                        $$\theta _{{\rm{linfeasel}}}^j = {k_{{\rm{feasel}}}} \cdot \frac{1}{P}\sum\limits_{p = 1}^P {\xi _p^j} $$ (18)
                        $$\theta _{{\rm{nonlinfeasel}}}^j = {k_{{\rm{feasel}}}} \cdot \frac{1}{P}\sum\limits_{p = 1}^P {\zeta _p^{_j}} $$ (19)

                        以第$j{\rm{th}}$個模態的第$p{\rm{th}}$個輸入特征為例, 線性特征按如下規則進行選擇,

                        $$ \alpha _p^j = \left\{ \begin{aligned} & 1,\;{\rm{ if}}\;\;\;\;\xi _p^j \ge \theta _{{\rm{linfea}}}^j \\ & 0{\rm{ }},\;{\rm{ else }}\;\xi _p^j{\rm{ < }}\theta _{{\rm{linfea}}}^j \\ \end{aligned} \right. $$ (20)

                        選擇其中$\alpha _p^j{\rm{ = }}1$的變量作為基于閾值$\theta _{{\rm{linfea}}}^{{j_{{\rm{lin}}}}}$選擇的線性特征, 對第$j{\rm{th}}$個模態的全部原始特征執行上述過程并將線性特征子集記為$Z_{{\rm{linfea}}}^{{j_{}}}$, 進一步表示為

                        $$ \begin{split} {\bf{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j =\,& [{\bf{z}}_{}^1, \cdots ,{\bf{z}}_{}^{p_{{\rm{linfea}}}^j}, \cdots ,{\bf{z}}_{}^{P_{{\rm{linfea}}}^{{j_{}}}}] \\ =\,& {[{({\bf{z}}_{{\rm{linfea}}}^j)_1}, \cdots ,{({\bf{z}}_{{\rm{linfea}}}^j)_n}, \cdots ,{({\bf{z}}_{{\rm{linfea}}}^j)_N}]^{\rm{T}}} \end{split} $$ (21)

                        其中, ${\bf{z}}_{}^{p_{{\rm{linfea}}}^j}$表示${\bf{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j$中的第$p_{{\rm{linfea}}}^{{j_{}}}{\rm{th}}$個特征, $p_{{\rm{linfea}}}^{{j_{}}} = 1,\cdots ,P_{{\rm{linfea}}}^{{j_{}}}$, $P_{{\rm{linfea}}}^{{j_{}}}$表示${\bf{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j$特征的數量; ${({\bf{z}}_{{\rm{linfea}}}^j)_n}$表示${\bf{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j$的第$n{\rm{th}}$個樣本; ${({\bf{z}}_{{\rm{linfea}}}^j)_N}$表示${\bf{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j$的第$N{\rm{th}}$個樣本.

                        進一步, 將全部$J$個模態的線性特征子集標記為$\{ {\bf{X}}_{{\rm{linfea}}}^j\} _{j = 1}^J$.

                        對第$j{\rm{th}}$個模態執行類似上述線性特征子集的選擇過程, 并將所選擇的非線性特征子集記為${\bf{Z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^{{j_{}}}$, 進一步表示為,

                        $$ \begin{split} & {\bf{Z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^{{j_{}}} \\ &\quad = [{\bf{z}}_{}^1, \cdots ,{\bf{z}}_{}^{p_{{\rm{nonlinfea}}}^j}, \cdots ,{\bf{z}}_{}^{P_{{\rm{nonlinfea}}}^j}] \\ &\quad = {[{({\bf{z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j)_1}, \cdots ,{({\bf{z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j)_n}, \cdots ,{({\bf{z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j)_N}]^{\rm{T}}} \end{split} $$ (22)

                        其中, ${\bf{x}}_{}^{p_{{\rm{nonlinfea}}}^j}$表示${\bf{X}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j$中的第$p_{{\rm{nonlinfea}}}^{{j_{}}}{\rm{th}}$個特征, $p_{{\rm{nonlinfea}}}^{{j_{}}} = 1,...,P_{{\rm{nonlinfea}}}^{{j_{}}}$, $P_{{\rm{nonlinfea}}}^{{j_{}}}$表示${\bf{Z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j$特征的數量. ${({\bf{z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j)_n}$表示${\bf{Z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j$的第$n{\rm{th}}$個樣本, ${({\bf{z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j)_N}$表示${\bf{Z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j$的第$N{\rm{th}}$個樣本.

                        進一步, 將全部$J$個模態的非線性特征子集標記為$\{ {\bf{Z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j\} _{j = 1}^J$.

                      • 偏最小二乘(PLS)算法的目標是通過最大化輸入輸出數據間的協方差, 將原始輸入特征空間的信息投影到由少數潛在變量(LV)組成新空間[11]. 以第$j{\rm{th}}$個線性特征子集${\bf{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j$構建線性PLS子模型$f_{{\rm{linPLS}}}^j\left( \cdot \right)$為例, 其構建過程可表示為,

                        $$ \begin{split} & \left\{ {{{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j,{{y}}} \right\}\xrightarrow{{f_{{\rm{linPLS}}}^j\left( \cdot \right)}} \\ &\quad \left\{ {{{T}}_{{\rm{linPLS}}}^j,{{U}}_{{\rm{linPLS}}}^j,{{W}}_{{\rm{linPLS}}}^j,{{P}}_{{\rm{linPLS}}}^j,{{Q}}_{{\rm{linPLS}}}^j,{{B}}_{{\rm{linPLS}}}^j} \right\} \end{split} $$ (23)

                        其中, ${{T}}_{{\rm{linPLS}}}^j = [{{{t}}_{\rm{1}}}, \cdots ,{{{t}}_{h_{{\rm{linPLS}}}^j}}, \cdots ,{{{t}}_{H_{{\rm{linPLS}}}^j}}]$${{U}}_{{\rm{linPLS}}}^j =, $$ [{{{u}}_{\rm{1}}}, \cdots {{{u}}_{h_{{\rm{linPLS}}}^j}}, \cdots ,{{{u}}_{H_{{\rm{linPLS}}}^j}}]$分別表示輸入輸出數據的潛在變量(得分)矩陣; ${{W}}_{{\rm{linPLS}}}^j = [{{{w}}_{\rm{1}}}, \cdots ,{{{w}}_{h_{{\rm{linPLS}}}^j}}, $$ \cdots ,{{{w}}_{H_{{\rm{linPLS}}}^j}}]$表示權重矩陣, ${{P}}_{{\rm{linPLS}}}^j = [{{{p}}_{\rm{1}}}, \cdots ,{{{p}}_{h_{{\rm{linPLS}}}^j}}, $$ \cdots ,{{{p}}_{H_{{\rm{linPLS}}}^j}}]$${{Q}}_{{\rm{linPLS}}}^j = [{{{q}}_{\rm{1}}}, \cdots ,{{{q}}_{h_{{\rm{linPLS}}}^j}}, \cdots ,{{{q}}_{H_{{\rm{linPLS}}}^j}}]$分別表示輸入和輸出數據的載荷矩陣, ${{B}}_{{\rm{linPLS}}}^j = $$ {\rm{diag}}[{{}_{\rm{1}}}, \cdots ,{{}_{h_{{\rm{linPLS}}}^j}}, \cdots ,{{}_{H_{{\rm{linPLS}}}^j}}]$表示回歸系數矩陣, $H_{{\rm{linPLS}}}^j$表示基于驗證數據集獲得的LV數量.

                        線性PLS子模型$f_{{\rm{linPLS}}}^j\left( \cdot \right)$的預測輸出可表示為,

                        $$ \begin{split} {\hat{{y}}}_{{\rm{linPLS}}}^j =\,& {{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j{({{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j)^{\rm{T}}}{{U}}_{{\rm{linPLS}}}^j\\ & {\left( {{{({{T}}_{{\rm{linPLS}}}^j)}^{\rm{T}}}{{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j{{({{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j)}^{\rm{T}}}{{U}}_{{\rm{linPLS}}}^j} \right)^{ - 1}}{({{T}}_{{\rm{linPLS}}}^j)^{\rm{T}}} \end{split} $$ (24)

                        對全部$J$個模態的線性特征子集執行上述過程, 由全部線性特征構建的線性特征線性子模型子集及其預測輸出分別為$\{ f_{{\rm{linPLS}}}^j\left( \cdot \right)\} _{j = 1}^J$$\{ \hat y_{{\rm{linPLS}}}^j\} _{j = 1}^J$.

                        類似的, 以全部非線性特征子集$\{ {\bf{Z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j\} _{j = 1}^J$采用PLS構建的非線性特征線性子模型子集及其預測輸出分別為$\{ f_{{\rm{nonlinPLS}}}^j\left( \cdot \right)\} _{j = 1}^J$$\{ \hat y_{{\rm{nonlinPLS}}}^j\} _{j = 1}^J$.

                        以第$j{\rm{th}}$個線性特征子集${\bf{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j$構建非線性RWNN子模型$f_{{\rm{linRWNN}}}^j\left( \cdot \right)$為例, 基于隨機產生的輸入權重${\bf{w}}_{{\rm{linRWNN}}}^j$和偏置$b_{{\rm{linRWNN}}}^j$, 以及激活函數$g( \cdot )$獲得隱含層神經元的輸出矩陣${\bf{H}}_{{\rm{linRWNN}}}^j$如下所示,

                        $$ \begin{split} & {\bf{H}}_{{\rm{linRWNN}}}^j =\\ & \left[ \begin{aligned} & {g\left( {{{\left( {{\bf{w}}_{{\rm{linRWNN}}}^j} \right)}_1} \cdot {{\left( {{\bf{z}}_{{\rm{linfea}}}^j} \right)}_1} + {{\left( {b_{{\rm{linRWNN}}}^j} \right)}_1}} \right) },\\ & { \cdots, g\left( {{{\left( {{\bf{w}}_{{\rm{linRWNN}}}^j} \right)}_L} \cdot {{\left( {{\bf{z}}_{{\rm{linfea}}}^j} \right)}_1} + {{\left( {b_{{\rm{linRWNN}}}^j} \right)}_L}} \right)}\\ & { \cdots ,}\quad { \cdots ,}\quad { \cdots ,}\\ & {g\left( {{{\left( {{\bf{w}}_{{\rm{linRWNN}}}^j} \right)}_1} \cdot {{\left( {{\bf{z}}_{{\rm{linfea}}}^j} \right)}_N} + {{\left( {b_{{\rm{linRWNN}}}^j} \right)}_1}} \right)},\\ & { \cdots, g\left( {{{\left( {{\bf{w}}_{{\rm{linRWNN}}}^j} \right)}_L} \cdot {{\left( {{\bf{z}}_{{\rm{linfea}}}^j} \right)}_N} + {{\left( {b_{{\rm{linRWNN}}}^j} \right)}_L}} \right)} \end{aligned} \right] \end{split} $$ (25)

                        其中, $L$表示基于驗證數據集的預測誤差獲得的隱含層節點數.

                        進一步, 通過${{H}}_{{\rm{linRWNN}}}^j$的Moore-Penrose廣義逆矩陣${({{H}}_{{\rm{linRWNN}}}^j)^\dagger }$得到隱含層的輸出權值,

                        $${\hat {{\beta }}}_{{\rm{linRWNN}}}^j = {({{H}}_{{\rm{linRWNN}}}^j)^\dagger }{{y}}$$ (26)

                        基于線性特征子集${\bf{Z}}_{{\rm{linfea}}}^j$的非線性RWNN子模型$f_{{\rm{nonlinRWNN}}}^j\left( \cdot \right)$的預測輸出可表示為,

                        $${\hat{{y}}}_{{\rm{nonlinRWNN}}}^j = {\left( {{{({{H}}_{{\rm{linRWNN}}}^j)}^\dagger }} \right)^{\rm{T}}} \cdot {\hat {{\beta }}}_{{\rm{linRWNN}}}^j$$ (27)

                        對全部$J$個模態的線性特征子集執行上述過程, 由全部線性特征子集構建的非線性特征線性子模型子集及其預測輸出分別為$\{ f_{{\rm{linRWNN}}}^j\left( \cdot \right)\} _{j = 1}^J$$\{ {\hat{\bf{y}}}_{{\rm{linRWNN}}}^j\} _{j = 1}^J$.

                        類似的, 基于非線性特征子集$\{ {\bf{Z}}_{{\rm{nonlinfea}}}^j\} _{j = 1}^J$采用RWNN構建的非線性特征非線性子模型子集及其預測輸出分別為$\{ f_{{\rm{nonlinRWNN}}}^j\left( \cdot \right)\} _{j = 1}^J$$\{ \hat y_{{\rm{nonlinRWNN}}}^j\} _{j = 1}^J$.

                        將上述全部$J$個模態的4類子模型的預測輸出按如下方式進行合并,

                        $$ \begin{split} \{ \hat y_{{\rm{can}}}^{{j_{{\rm{can}}}}}\} _{{j_{{\rm{can}}}} = 1}^{4J} =\,& [\{ \hat y_{{\rm{linPLS}}}^j\} _{j = 1}^J,\{ \hat y_{{\rm{nonlinPLS}}}^j\} _{j = 1}^J, \\ & \{ \hat y_{{\rm{linRWNN}}}^j\} _{j = 1}^J,\{ \hat y_{{\rm{nonlinRWNN}}}^j\} _{j = 1}^J] \end{split} $$ (28)

                        其中, $4J$為全部4類子模型的數量, 也是候選子模型的數量; $\hat y_{{\rm{can}}}^{{j_{{\rm{can}}}}}$表示第$j_{{\rm{can}}}^{}{\rm{th}}$個候選子模型的輸出, $j_{{\rm{can}}}^{}{\rm{ = }}1, \cdots ,4J$.

                        此處, 需要采用優化算法從$4J$個候選子模型中選擇$J_{{\rm{sel}}}^{}$個集成子模型(即SEN模型的集成尺寸)并對$J_{{\rm{sel}}}^{}$個集成子模型的預測輸出進行組合, 得到最終基于SEN的MLPF預測模型的輸出, 即存在如下關系,

                        $$ \left\{ \begin{aligned} & {{\hat{{y}}} = f_{{\rm{SEN}}}^{}\left( {\{ {\hat{{y}}}_{}^{{j_{{\rm{sel}}}}}\} _{{j_{{\rm{sel}}}} = 1}^{{J_{{\rm{sel}}}}}} \right)} \\ & {\{ {\hat{{y}}}_{}^{{j_{{\rm{sel}}}}}\} _{{j_{{\rm{sel}}}} = 1}^{{J_{{\rm{sel}}}}} \in \{ {\hat{{y}}}_{}^j\} _{j = 1}^{4J}} \end{aligned}\right. $$ (29)

                        其中, $f_{{\rm{SEN}}}^{}\left( \cdot \right)$表示對$J_{{\rm{sel}}}^{}$個集成子模型的預測輸出進行合并的算法.

                        針對上述問題, 此處采用的策略是: 首先選定用于合并集成子模型預測輸出的算法, 然后以最小化SEN模型的均方根相對誤差(RMSRE)為準則, 采用優化算法尋優$f_{{\rm{SEN}}}^{}\left( \cdot \right)J_{{\rm{sel}}}^{}$個集成子模型并對其輸出進行合并, 得到集成尺寸為$J_{{\rm{sel}}}^{}$的SEN模型.

                        用于對$J_{{\rm{sel}}}^{}$個集成子模型的預測輸出進行合并的算法$f_{{\rm{SEN}}}^{}\left( \cdot \right)$ 主要包括計算集成子模型的加權系數法和采用線性、非線性回歸建模方法構建集成子模型輸出與SEN模型輸出間的映射關系. 其中, 加權系數法包括簡單平均方法、自適應加權融合方法和誤差信息墑加權方法. 本文采用自適應加權融合算法:

                        采用如下公式獲得SEN模型的輸出,

                        $${\hat{\bf{y}}} = f_{{\rm{SEN}}}^{}\left( {\{ {\hat{\bf{y}}}_{}^{{j_{{\rm{sel}}}}}\} _{{j_{{\rm{sel}}}} = 1}^{{J_{{\rm{sel}}}}}} \right) = \sum\limits_{j_{{\rm{sel}}}^{} = 1}^{{J_{{\rm{sel}}}}} {w_{}^{j_{{\rm{sel}}}^{}}} {\hat{\bf{y}}}_{}^{j_{{\rm{sel}}}^{}}$$ (30)

                        其中, $w_{}^{j_{{\rm{sel}}}^{}}$表示第$j_{{\rm{sel}}}^{}{\rm{th}}$個集成子模型的加權系數, 滿足條件$\displaystyle\sum\limits_{j_{{\rm{sel}}}^{}}^{J_{{\rm{sel}}}^{}} {w_{}^{j_{{\rm{sel}}}^{}} = 1} $.

                        $$w_{}^{j_{{\rm{sel}}}^{}} = \frac{1}{{{{(\sigma _{}^{j_{{\rm{sel}}}^{}})}^2}\sum\limits_{j_{{\rm{sel}}}^{} = 1}^{J_{{\rm{sel}}}^{}} {\frac{1}{{{{(\sigma _{}^{j_{{\rm{sel}}}^{}})}^2}}}} }}$$ (31)

                        其中, $\sigma _{}^{j_{{\rm{sel}}}^{}}$是第$j_{{\rm{sel}}}^{}{\rm{th}}$個集成子模型的預測輸出${\hat{\bf{y}}}_{}^{j_{{\rm{sel}}}^{}}$的標準差.

                      • 以基于實驗球磨機的高維筒體振動頻譜對MLPF進行建模以驗證本文所提方法. 本實驗在直徑為602 mm和長度為715 mm的小型實驗磨機上進行, 其中磨機筒體的旋轉速度為42 r/min. 全部8個模態機械信號的采樣頻率均為51200 Hz, 傳感器安裝位置和類型: (1)固定在磨機筒體表面的2個加速度傳感器; (2)與磨機筒體表面相距2 mm的2個聲傳感器; (3)位于磨機軸承座左側測量垂直振動、右側測量垂直和水平振動的3個加速度傳感器; (4)位于磨機研磨區域下方10 mm的1個聲傳感器. 這些模態依次被標記為Ch1-Ch8, 如圖3所示[28].

                        圖  3  實驗球磨機傳感器布置示意圖

                        Figure 3.  Layout of sensors for experimental ball mill

                        共進行了5種工況下的527次實驗: 第1次(B=292 kg, W=35 kg, M=25.5~174 kg); 第2次(B= 340.69 kg, W=40 kg, M=29.7~170.1); 第3次(B=389.36 kg, W=40 kg, M=34.2~157.5 kg); 第4次(B=438.03 kg, W=35 kg, M=23.4~151.2 kg); 第5次(B=486.7 kg, W=40 kg, M=15.3~144.9 kg), 其中, B、M、W分別代表鋼球、物料和水負荷. 上述實驗均是在固定鋼球和水負荷, 逐漸增加礦石負荷的情況進行的. 將全部樣本中的4/5用做訓練和驗證數據集, 其余的用于模型測試.

                      • 首先, 對時域信號進行濾波處理; 然后, 采用FFT技術將磨機運行中穩定旋轉周期的數據轉換至頻域, 得到每個模態的多個旋轉周期的單尺度頻譜; 最后, 將這些穩定旋轉周期的譜數據進行平均, 獲得最終維數為12800的建模頻譜. 部分實驗的頻譜曲線詳見文獻[28].

                      • 基于317個訓練數據, 計算全部8個模態的頻譜變量分別與三個磨機負荷參數(MBVR、CVR和PD)間的相關系數和互信息值, 此處以MBVR磨機負荷參數的Ch1、Ch6和Ch8通道為例, 如圖4所示.

                        圖  4(a)  模態Ch1的頻譜變量與MBVR間的相關系數和互信息值

                        Figure 4(a).  Correlation coefficient and mutual information value between spectrum variable of mode ch1 and MBVR

                        圖  4(b)  模態Ch6的頻譜變量與MBVR間的相關系數和互信息值

                        Figure 4(b).  Correlation coefficient and mutual information value between spectrum variable of mode ch6 and MBVR

                        圖  4(c)  模態Ch8的頻譜變量與MBVR間的相關系數和互信息值

                        Figure 4(c).  Correlation coefficient and mutual information value between spectrum variable of mode ch8 and MBVR

                        圖4和其它通道圖可知, 基于相關系數和基于互信息的特征度量結果對不同模態機械頻譜特征具有差異性, 并且采用不同閾值選擇的特征子集也具有差異性.

                        依據本文所提方法, 基于相關系數值和互信息值的最小/最大值與各自均值的比值確定特征選擇系數的上限和下限, 兩者相差越大表明頻譜特征間的差異越大.

                        本文以三個磨機負荷中的PD模型為例, 面向PD的不同模態頻譜特征的特征選擇系數統計結果如下表所示.

                        表1可得到, 相關系數閾值的下限和上限分別為0.8741和1.057, 互信息閾值的下限和上限分別為0.9228和1.0599, 進而得到PD多模態特征選擇的下限和上限為0.9228和1.057.

                        表 1  面向PD的不同模態頻譜特征的特征選擇系數統計表

                        Table 1.  Coefficients Statistical table of different modal spectrum feature for PD

                        類別Ch1Ch2Ch3Ch4Ch5Ch6Ch7Ch8
                        線性特征選擇系數Min0.090500.0078680.36780.0050180.00019940.0095960.0020750.8741
                        線性特征選擇系數Max1.28971.73511.19131.39045.28831.26492.05641.0571
                        非線性特征選擇系數Min0.66440.56590.88130.84030.57180.70390.48600.9228
                        非線性特征選擇系數Max1.07151.08851.16801.13041.35561.13521.6231.0599

                        通過三個磨機負荷參數的不同模態頻譜特征的特征選擇系數統計表可知, 不同模態針對不同磨機負荷參數選擇的特征子集具有差異性的, 基于這些特征子集構建線性和非線性子模型是非常必要的.

                      • 本文中的線性建模方法為PLS, 非線性建模方法為RWNN, 采用驗證數據集確定前者的潛變量個數和后者的隱層節點個數. 基于上述2個特征子集和2種建模方法, 組合得到的候選子模型類型為4種. 為便于后文統計, 對候選子模型的編碼采用如表2所示的形式.

                        表 2  候選子模型編碼

                        Table 2.  Coding of candidate sub-models

                        序號子模型特點子模型名稱子模型編碼多模態通道編號
                        1lin_linCorr-PLS1-81-Ch1, 2-Ch2, 3-Ch3, 4-Ch4, 5-Ch5, 6-Ch6, 7-Ch7, 8-Ch8
                        2nonlin_linMi-PLS9-169-Ch1, 10-Ch2, 11-Ch3, 12-Ch4, 13-Ch5, 14-Ch6, 15-Ch7, 16-Ch8
                        3lin_nonlinCorr-RWNN17-2417-Ch1, 18-Ch2, 19-Ch3, 20-Ch4, 21-Ch5, 22-Ch6, 23-Ch7, 24-Ch8
                        4nonlin_nonlinMi-RWNN25-3225-Ch1, 26-Ch2, 27-Ch3, 28-Ch4, 29-Ch5, 30-Ch6, 31-Ch7, 32-Ch8

                        表2中: 在“子模型特點”列中, 前項表示特征類型, 后項表示子模型類型, 相應的“lin”和“nonlin”分別表示線性和非線性; 在“子模型名稱”列中, “Corr”和“Mi”分別表示相關系數和互信息.

                        針對不同MLP, 取特征選擇系數的數量${J_{{\rm{feasel}}}}$均為10. 采用不同特征選擇系數所構建的SEN模型的預測誤差和所選擇的子模型編號如表3所示.

                        表 3  不同特征選擇系數時所構建的SEN模型的預測誤差和所選擇的子模型編號

                        Table 3.  Prediction error of SEN model with different feature selection coefficients and selected sub-model number

                        序號MBVRPDCVR
                        測試誤差集成子模型編號測試誤差集成子模型編號測試誤差集成子模型編號
                        10.05330{ 21 23 27 31 17 32 19 24 30}0.01579{26 18 30}0.01083{14 19 26 18 30 22}
                        20.06204{14 31 32 24 27 30}0.01805{25 10 31 32 14 19 24 18 30}0.009697{27 26 22 30}
                        30.04515{9 17 26 14 30 27 22 32 19 24}0.01855{24 14 18 30 26}0.01146{27 14 19 26 31 18 30 22}
                        40.04717{23 17 27 19 32 24 30}0.01582{14 24 26 27 32 30}0.009544{19 30 22}
                        50.05231{27 17 30 23 19 32 24}0.01843{24 14 25 22 18 19 30}0.01093{20 14 31 27 32 19 26 22 30}
                        60.04433{31 22 30 32 19 24}0.01452{22 14 24 32 26 19 30}0.009930{23 25 20 18 32 27 26 19 30 22}
                        70.05697{31 32 24}0.01627{26 22 18 24 32 19 30}0.009870{6 20 28 19 32 18 26 27 22 30}
                        80.04459{27 26 23 22 31 25 30 17 32 24}0.01687{27 18 32 19 30}0.009280{28 18 26 27 19 22 30}
                        90.04969{26 32 27 30 25 19 24}0.01718{2 18 27 6 26 32 25 30}0.009650{18 32 26 25 27 19 30 22}
                        100.04624{22 17 26 27 30 25 32 19 31 24}0.01748{25 26 22 32 27 6 18 19 30}0.01212{22 30}
                        110.04404{25 17 18 27 22 19 30 24}0.01769{17 23 22 26 27 6 30 19 18}??

                        表3可知:

                        1) MBVR模型的最小預測誤差為0.04404, 集成尺寸為8, 其集成子模型集合為{25 17 18 27 22 19 30 24}, 子模型的預測誤差按照由高到低排序; 結合表2可知, 這些集成子模型的具體含義為Mi-RWNN-Ch1、Corr-RWNN-Ch1、Corr-RWNN-Ch2、Mi-RWNN-Ch3、Corr-RWNN-Ch6、Corr-RWNN -Ch3、Mi-RWNN -Ch6、Corr-RWNN -Ch8; 可見, 線性特征-非線性子模型為3個, 非線性特征-線性子模型為5個, 表明基于相關系數構建的RWNN子模型性能更加; 模態通道為Ch1、Ch2、Ch3、Ch6和Ch8, 分別代表筒體振動、筒體振動、筒體振聲、軸承振動和研磨區域振聲, 其中Corr-RWNN -Ch8具有最小的預測誤差, 表明不同模態特征蘊含的MBVR信息具有差異性.

                        2) PD模型的最小預測誤差為0.01452, 集成尺寸為7, 其集成子模型集合為{22 14 24 32 26 19 30}, 子模型的預測誤差按照由高到低排序; 結合表2可知, 這些集成子模型的具體含義為Corr-RWNN-Ch6、Mi-PLS -Ch6、Corr-RWNN -Ch8、Mi-RWNN-Ch8、Mi-RWNN-Ch2、Corr-RWNN -Ch3、Mi-RWNN -Ch6; 可見, 線性特征-非線性子模型為3個, 非線性特征-非線性子模型為3個, 線性特征-線性子模型為3個, 表明基于互信息提取特征子集構建的RWNN子模型性能更加; 模態通道為Ch6、Ch8、Ch2和Ch3, 分別代表軸承振動、研磨區域振聲、筒體振動和筒體振聲, 其中Mi-RWNN-Ch6具有最小的預測誤差, 表明不同模態特征蘊含的PD信息具有差異性, 并且主要存在機械振動模態頻譜特征中.

                        3) CVR模型的最小預測誤差為0.009280, 集成尺寸為7, 其集成子模型集合為{28 18 26 27 19 22 30}, 子模型的預測誤差按照由高到低排序; 結合表2可知, 這些集成子模型的具體含義為Mi-RWNN -Ch4、Corr-RWNN -Ch2、Mi-RWNN-Ch2、Mi-RWNN-Ch3、Corr-RWNN-Ch3、Corr-RWNN-Ch6、Mi-RWNN-Ch6; 可見, 線性特征-非線性子模型為3個, 非線性特征-非線性子模型為4個, 表明基于相關系數和互信息提取特征構建的RWNN子模型性能能夠互補; 模態通道為Ch4、Ch2、Ch3和Ch6, 分別代表筒體表面振聲、筒體表面振動、筒體表面振聲和軸承振動, 其中Mi-RWNN -Ch6具有最小的預測誤差, 表明不同模態特征蘊含的CVR信息具有差異性, 主要存在機械振動和筒體表面振聲頻譜特征中.

                      • 本文采用的是8個模態機械信號數據, 數據不同于其他已有磨機負荷預測方法. 因此, 此處進行單通道和本文所提方法的實驗結果比較.

                        表4表5可知:

                        表 4  磨機負荷參數各通道與多模態特征子集選擇性集成模型的測試誤差比較

                        Table 4.  Comparison of test errors between various channels of mill load parameters and multi-modal feature subset SEN model

                        RMSREs備注
                        MBVRPDCVR
                        Corr-PLSMi-PLSCorr-RWNNMi-RWNNCorr-PLSMi-PLSCorr-RWNNMi-RWNNCorr-PLSMi-PLSCorr-RWNNMi-RWNN
                        Ch10.19240.34260.13140.15030.067100.054110.069100.051610.059110.066220.070300.04930筒體振動
                        Ch20.32130.72070.31030.14010.042210.044300.033210.037510.056500.047110.037110.02620筒體振動
                        Ch30.44010.44310.091120.090200.120120.076110.031110.052100.11320.078310.029220.03810筒體振聲
                        Ch40.51250.42250.28220.20010.11420.086200.064600.11840.074420.069100.041100.04772筒體振聲
                        Ch50.46110.34090.19110.22210.10870.081220.11610.098100.097110.096100.044400.09911軸承振動
                        Ch60.31050.21410.14310.13410.044100.037200.035200.024310.035200.036410.016300.01720軸承振動
                        Ch70.38020.25020.13210.11010.10830.062410.061210.056110.094510.048110.049100.04141軸承振動
                        Ch80.59340.60310.080900.36310.09710.079100.033100.032200.14210.089300.068400.03730研磨振聲
                        本文方法0.044040.014520.00928

                        表 5  磨機負荷參數各通道與多模態特征子集選擇性集成模型的平均測試誤差比較

                        Table 5.  Average test errors comparison of the various channels of mill load parameters and multi-modal feature subset SEN model

                        通道MBVRPDCVR平均預測誤差備注
                        Ch10.13140.051610.049300.07740筒體振動
                        Ch20.14010.033210.026200.06650筒體振動
                        Ch30.090200.031110.029220.05020筒體振聲
                        Ch40.20010.064600.041100.1019筒體振聲
                        Ch50.19110.081220.044400.1056軸承振動
                        Ch60.13410.024310.016300.05820軸承振動
                        Ch70.11010.056110.041410.06920軸承振動
                        Ch80.080900.032200.037300.05010研磨振聲
                        本文方法0.044040.014520.009280.02260

                        1) 本文所提方法針對3個磨機負荷參數的平均預測誤差為0.02260, 小于基于單通道的平均預測誤差, 其中: Ch4和Ch5的預測誤差最大, 分別為0.1019和0.1056, 其他5個通道的預測誤差在0.0501-0.0774之間. 因此, 本文所提方法的預測性能比基于單通道的方法提升了1倍, 表明了所提方法的有效性.

                        2) 不同通道的平均測試誤差間具有差異性, 其中: 筒體振動Ch1和Ch2的預測誤差差別較小, 筒體振聲Ch3和Ch4的預測誤差相差2倍, 筒體左側軸承振動信號Ch5比右側軸承振動信號Ch6和Ch7的預測誤差大2倍, 研磨區域振聲Ch8的預測誤差較小, 這表明磨機不同位置的振動和振聲信號中包含著不同的磨機負荷參數信息, 采用不同通道的多模態信號有助于實現磨機負荷參數的準確測量; 此外, Ch4和Ch5預測誤差遠高于其他通道, 表明這兩個通道可能存在故障.

                        3) 同一MLP在不同機械通道上的測試誤差具有差異性, 其中: 針對MBVR, Ch8的測試誤差最小, 僅為0.08090, 而Ch4的最大, 為0.2001, 兩者相差2倍; 針對PD, Ch6的測試誤差最小, 為0.02431, Ch5的最大, 為0.08122, 相差近4倍; 針對CVR, Ch6的測試誤差最小, 為0.01630, Ch1的最大為0.04930, 相差3倍. 此外, 針對PD和CVR, Ch6通道均具有最佳的測試誤差. 上述結果表明, 針對同一個MLP而言, 各模態信號特征之間的確存在冗余性和互補性, 進行多模態信號頻譜特征的選擇與融合是合理的.

                        4) 同一模態(通道)針對不同MLP的測試誤差具有差異性: 針對MBVR的預測誤差均高于PD和CVR, 如Ch3的MBVR預測誤差為0.09020, PD和CVR預測誤差分別為0.03111和0.02922, 相差近3倍, 說明各個通道對不同磨機負荷參數的敏感度不同; 但是, 這也可能與所采用的實驗磨機的特性是相關的. 顯然, 這需要進行更為深入的實驗研究.

                      • 針對多模態高維機械頻譜數據輸入特征與MLP間的可解釋映射模型難以構建的難題, 本文提出了基于多模態特征異質模型集成的MLPF方法. 主要貢獻表現在: 能夠依據多模態頻譜數據特性進行線性特征子集和非線性特征子集的自適應選擇, 提出構建線性特征線性子模型、線性特征非線性子模型、非線性特征線性子模型、非線性特征非線性子模型的策略增強集成子模型間的差異性, 提出了多模態頻譜子模型的自適應選擇與合并方法. 通過磨礦過程實驗球磨機的高維機械振動和振聲頻譜數據仿真驗證了所提方法的有效性.

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