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                    基于稀疏學習的微電網負載建模

                    平作為 何維 李俊林 楊濤

                    平作為, 何維, 李俊林, 楊濤. 基于稀疏學習的微電網負載建模. 自動化學報, 2020, 46(9): 1798?1808. doi: 10.16383/j.aas.c200154
                    引用本文: 平作為, 何維, 李俊林, 楊濤. 基于稀疏學習的微電網負載建模. 自動化學報, 2020, 46(9): 1798?1808. doi: 10.16383/j.aas.c200154
                    Ping Zuo-Wei, He Wei, Li Jun-Lin, Yang Tao. Sparse learning for load modeling in microgrids. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1798?1808. doi: 10.16383/j.aas.c200154
                    Citation: Ping Zuo-Wei, He Wei, Li Jun-Lin, Yang Tao. Sparse learning for load modeling in microgrids. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1798?1808. doi: 10.16383/j.aas.c200154

                    基于稀疏學習的微電網負載建模


                    DOI: 10.16383/j.aas.c200154
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      華中科技大學人工智能與自動化學院博士研究生. 主要研究方向為智能電網, 系統辨識與非線性控制.E-mail: pingzuowei@hust.edu.cn

                      華中科技大學電氣與電子工程學院博士后. 主要研究方向為電力電子裝備建模, 穩定分析與控制.E-mail: hewei5590@hust.edu.cn

                      華中科技大學人工智能與自動化學院博士研究生. 主要研究方向為系統辨識, 稀疏信號恢復, 非凸優化與高維統計.E-mail: jlli@hust.edu.cn

                      東北大學流程工業綜合自動化國家重點實驗室教授. 主要研究方向為工業人工智能, 信息物理系統, 分布式協同控制和優化. 本文通信作者.E-mail: yangtao@mail.neu.edu.cn

                    • 基金項目:  國家自然科學基金委重大項目 (61991403, 61991400)資助

                    Sparse Learning for Load Modeling in Microgrids

                    More Information
                    • Fund Project:  Supported by Major Program of National Natural Science Foundation of China (61991403, 61991400)
                    • 摘要: 微電網由負載、儲能系統和分布式電源互聯集成到能源系統中, 微電網系統可以作為一個整體系統與電網并行運行或以孤島模式運行. 負載建模是微電網運行和管理中的一個基本問題. 本文著重解決以下兩個關鍵問題: 1)協調負載模型結構的合理性和簡潔性; 2)負載模型參數的校準. 與常規負載建模方法不同, 本文提出了一類數據驅動建模方法以同時實現負載模型結構選擇和參數校準. 具體地, 該方法從量測數據中稀疏學習靜態負載模型和動態負載模型, 其關鍵方法分別來自于稀疏貝葉斯學習方法和交替方向方法, 即從一組備選非線性字典函數中稀疏學習最主要的非線性項以平衡數據擬合度并實現模型學習. 所提出的方法將機器學習與稀疏表示相結合, 旨在對負載模型從物理角度提供機理解釋并向配電網系統操作員提供有關負載的動態信息. 在孤島微電網測試系統中驗證并評估了所提出的算法. 研究測例表明所提出算法從量測數據中實現負載稀疏學習的合理性和對于噪聲的魯棒性.
                    • 圖  1  微電網通過公共連接點連接主網

                      Fig.  1  A generic MG is connected to the main grid at the point of common coupling

                      圖  2  廣義Hammerstein模型表示負載功率關系

                      Fig.  2  A general Hammerstein model represenstation for load power

                      圖  3  孤島微電網測試系統

                      Fig.  3  Islanded microgrid test system

                      圖  4  電壓輸出和恒定阻抗(Z)負載有功功率辨識結果

                      Fig.  4  Voltage output and identified real power of constant impedance load

                      圖  5  電壓輸出和恒定電流(I)負載有功功率辨識結果

                      Fig.  5  Voltage output and identified real power of constant current load

                      圖  6  電壓輸出和恒定功率(P)負載有功功率辨識結果

                      Fig.  6  Voltage output and identified real power of constant power load

                      圖  7  孤島微電網對于ZIP負載的電壓輸出

                      Fig.  7  Voltage output of the islanded microgrid for ZIP load

                      圖  8  ZIP負載有功功率和無功功率辨識結果

                      Fig.  8  Identified real and reactive power output of ZIP load

                      圖  9  指數負載有功功率和無功功率辨識結果

                      Fig.  9  Identified real and reactive power output of exponential load

                      圖  10  電壓輸出和動態負載有功功率辨識結果

                      Fig.  10  Voltage output and identified real power of dynamic load

                      圖  11  有功功率真實值與擬合殘差

                      Fig.  11  Fitting error of real power

                      表  1  不同負載元件指數值$ n_p $$ n_q $[34]

                      Table  1  Values of the exponents $ n_p $ and $ n_q $ for different load components[34]

                      負載元件/指數值 $ {n_p} $ $ {n_q} $
                      空調 $ 0.50 $ $ 2.50 $
                      電阻加熱器 $ 2.00 $ $ 0.00 $
                      $ 1.00 $ $ 3.00 $
                      泵機 $ 0.08 $ $ 1.60 $
                      大型工業電機 $ 0.05 $ $ 0.50 $
                      小型工業電機 $ 0.10 $ $ 0.60 $
                      下載: 導出CSV

                      表  2  輸電線路參數

                      Table  2  Parameters of transmission lines

                      輸電線路 線路1 線路2 線路3
                      $ \Omega^{-1} $ 10 10.67 9.82
                      下載: 導出CSV

                      表  3  微電網系統參數

                      Table  3  Parameters of the islanded microgrid

                      參數 $ \mu G_1 $ $ \mu G_2 $ $ \mu G_3 $ $ \mu G_4 $
                      DG $ \tau_{P}(s) $ 0.16 0.16 0.16 0.16
                      $ K_{P}(s) $ $ 4\times 10^{-5} $ $ 2\times 10^{-5} $ $ 3\times 10^{-5} $ $ 4\times 10^{-5} $
                      $ \tau_{Q}(s) $ 0.16 0.16 0.16 0.16
                      $ K_{Q}(s) $ $ 4.2\times 10^{-4} $ $ 4.2\times 10^{-4} $ $ 4.2\times 10^{-4} $ $ 4.2\times 10^{-4} $
                      Load $ P_{Z} $ 0.01 0.02 0.03 0.04
                      $ P_{I} $ 1 2 3 4
                      $ P_{P} $ $ 1\times 10^{4} $ $ 1.1\times 10^{4} $ $ 1.2\times 10^{4} $ $ 1.3\times 10^{4} $
                      $ Q_{Z} $ 0.01 0.02 0.03 0.04
                      $ Q_{I} $ 1 2 3 4
                      $ Q_{P} $ $ 1\times 10^{4} $ $ 1.1\times 10^{4} $ $ 1.2\times 10^{4} $ $ 1.3\times 10^{4} $
                      下載: 導出CSV

                      表  4  負載Z, I, P稀疏辨識結果

                      Table  4  Sparse identification results for Z, I, P load

                      字典函數 Z I P
                      1 0 0 $1\times 10^{-4} $
                      $ V_1 $ 0 1.001 0
                      $ V_1^2 $ 0.098 0 0
                      $ V_1^3 $ 0 0 0
                      $ V_1^4 $ 0 0 0
                      1 0 0 $1.1\times 10^{-4} $
                      $ V_2 $ 0 1.998 0
                      $ V_2^2 $ 0.019 0 0
                      $ V_2^3 $ 0 0 0
                      $ V_2^4 $ 0 0 0
                      1 0 0 $1.2\times 10^{-4} $
                      $ V_3 $ 0 2.999 0
                      $ V_3^2 $ 0.031 0 0
                      $ V_3^3 $ 0 0 0
                      $ V_3^4 $ 0 0 0
                      1 0 0 $1.4\times 10^{-4} $
                      $ V_4 $ 0 3.999 0
                      $ V_4^2 $ 0.039 0 0
                      $ V_4^3 $ 0 0 0
                      $ V_4^4 $ 0 0 0
                      下載: 導出CSV

                      表  5  ZIP負載稀疏辨識結果

                      Table  5  Sparse identification results for ZIP load

                      字典函數 $ 1 $ $ V $ $ V^2 $ $ V^3 $ $ V^{3.5} $ $ V^4 $ $ V^6 $
                      負載1 $1\times 10^{4}$ 1.001 0.011 0 0 0 0
                      負載2 $1.1\times 10^{4}$ 2.005 0.019 0 0 0 0
                      負載3 $1.2\times 10^{4}$ 2.993 0.029 0 0 0 0
                      負載4 $1.3\times 10^{4}$ 4.009 0.041 0 0 0 0
                      下載: 導出CSV

                      表  6  指數負載稀疏辨識結果

                      Table  6  Sparse identification results for exponential load

                      字典函數 $ 1 $ $ V^{0.05} $ $ V^{0.08} $ $ V^{0.1} $ $ V^{0.5} $ $ V $ $ V^{2.5} $
                      空調 0 0 0 0 1 0 0
                      泵機 0 0 1 0 0 0 0
                      大型工業電機 0 1 0 0 0 0 0
                      小型工業電機 0 0 0 1 0 0 0
                      下載: 導出CSV

                      表  7  動態負載稀疏辨識結果

                      Table  7  Sparse identification results for dynamic load

                      字典函數 有功功率 無功功率
                      $ y(t) $ 1.0001 1.0001
                      $ q^{-1}y(t) $ ?1.6003 ?0.8997
                      $ q^{-2}y(t) $ 0.7998 0.5003
                      $ q^{-3}y(t) $ 0 0
                      $ q^{-4}y(t) $ 0 0
                      $ 1 $ 0.9002 0.8905
                      $ V(t) $ 0.4003 0.0984
                      $ V^2(t) $ 0.1727 0.4447
                      $ V^3(t) $ 0 0
                      $ V^4(t) $ 0 0
                      下載: 導出CSV
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                    • [1] 孫秋野, 滕菲, 張化光. 能源互聯網及其關鍵控制問題. 自動化學報, 2017, 43(2): 176?194

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                    圖(11) / 表(7)
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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2020-03-23
                    • 錄用日期:  2020-06-11
                    • 網絡出版日期:  2020-09-28
                    • 刊出日期:  2020-09-20

                    基于稀疏學習的微電網負載建模

                    doi: 10.16383/j.aas.c200154
                      基金項目:  國家自然科學基金委重大項目 (61991403, 61991400)資助
                      作者簡介:

                      華中科技大學人工智能與自動化學院博士研究生. 主要研究方向為智能電網, 系統辨識與非線性控制.E-mail: pingzuowei@hust.edu.cn

                      華中科技大學電氣與電子工程學院博士后. 主要研究方向為電力電子裝備建模, 穩定分析與控制.E-mail: hewei5590@hust.edu.cn

                      華中科技大學人工智能與自動化學院博士研究生. 主要研究方向為系統辨識, 稀疏信號恢復, 非凸優化與高維統計.E-mail: jlli@hust.edu.cn

                      東北大學流程工業綜合自動化國家重點實驗室教授. 主要研究方向為工業人工智能, 信息物理系統, 分布式協同控制和優化. 本文通信作者.E-mail: yangtao@mail.neu.edu.cn

                    摘要: 微電網由負載、儲能系統和分布式電源互聯集成到能源系統中, 微電網系統可以作為一個整體系統與電網并行運行或以孤島模式運行. 負載建模是微電網運行和管理中的一個基本問題. 本文著重解決以下兩個關鍵問題: 1)協調負載模型結構的合理性和簡潔性; 2)負載模型參數的校準. 與常規負載建模方法不同, 本文提出了一類數據驅動建模方法以同時實現負載模型結構選擇和參數校準. 具體地, 該方法從量測數據中稀疏學習靜態負載模型和動態負載模型, 其關鍵方法分別來自于稀疏貝葉斯學習方法和交替方向方法, 即從一組備選非線性字典函數中稀疏學習最主要的非線性項以平衡數據擬合度并實現模型學習. 所提出的方法將機器學習與稀疏表示相結合, 旨在對負載模型從物理角度提供機理解釋并向配電網系統操作員提供有關負載的動態信息. 在孤島微電網測試系統中驗證并評估了所提出的算法. 研究測例表明所提出算法從量測數據中實現負載稀疏學習的合理性和對于噪聲的魯棒性.

                    English Abstract

                    平作為, 何維, 李俊林, 楊濤. 基于稀疏學習的微電網負載建模. 自動化學報, 2020, 46(9): 1798?1808. doi: 10.16383/j.aas.c200154
                    引用本文: 平作為, 何維, 李俊林, 楊濤. 基于稀疏學習的微電網負載建模. 自動化學報, 2020, 46(9): 1798?1808. doi: 10.16383/j.aas.c200154
                    Ping Zuo-Wei, He Wei, Li Jun-Lin, Yang Tao. Sparse learning for load modeling in microgrids. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1798?1808. doi: 10.16383/j.aas.c200154
                    Citation: Ping Zuo-Wei, He Wei, Li Jun-Lin, Yang Tao. Sparse learning for load modeling in microgrids. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1798?1808. doi: 10.16383/j.aas.c200154
                    • 智能微電網(Microgrid, MG)是大型電力系統的現代化、小型化的一種形式, 是多種能源發電設備和終端用戶設備的智能優化和管理, 能夠提供更高的供電可靠性, 更易滿足用戶增長的需求, 最大可能地利用清潔能源并促進技術創新, 在實現持續發展目標的同時最大化投資效益[1]. 智能微電網是指由分布式電源、儲能裝置、能量轉換裝置、相關負載和監控、保護裝置匯集而成的小型配發電系統, 是一個能夠實現自我控制、保護和管理的自治系統, 既可以與外部電網并網運行, 也可以孤立運行[2-4]. 通過配電線路, 耦合微電網交換電力能夠減輕可再生能源造成的波動, 并通過聚集效應來平衡本地發電與消耗之間的不平衡[5-6]. 微電網運行控制策略以及電壓穩定性分析的研究主要依靠于對負載模型的充分了解. 負載建模, 即, 對負載模型表示, 是決定微電網管理的關鍵因素[7]. 負載建模的不準確表示可能會導致整個電網激進或保守的運行. 在激進的結果中, 電網預防風險的能力明顯減弱, 則會導致停電并威脅電網甚至公共安全; 在保守的結果中, 很難計算出電網功率傳輸的極限, 甚至可能導致輸電受限. 因此, 負載建模是微電網系統運行及分析的關鍵問題, 且具有重要的理論和實際價值[8].

                      通常, 獲取電網負載的詳細模型比對特定的電網系統組件建模更具復雜性. 因此, 電網運行中的負載模型必須能夠反映負載的機理性質, 并能夠用簡單的低階模型來表征. 特別地, 負載模型可以分為靜態負載模型和動態負載模型, 其中, 靜態負載模型包括ZIP(恒定阻抗(Z)、恒定電流(I)和恒定功率(P))模型和指數模型, 它們揭示了功率與電壓之間的關系[9]. 獲得簡潔的負載模型并確保模型的合理性是負載建模的核心問題. 現已有許多研究提出方法致力于負載模型參數辨識. 靜態負載的參數估計是相對簡單的, 因為負載模型中不包含動態變量. 在這種情況下, 參數估計的任務實際上簡化為曲線擬合. 文獻[10]嘗試使用改進Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)算法和最小二乘方法來估計靜態負載參數. 然而, 需要注意的是, 任何基于梯度的優化應用都可能會達到局部最優, 因此導致獲得不準確的參數估計.

                      盡管靜態負載模型已很好地應用于電壓穩定性分析, 但是這些模型無法描述發生干擾時負載的動態響應[11-12]. 動態負載模型是負載的時間敏感性行為, 是典型的Hammerstein系統[13]. 傳統意義上, 大多數基于量測的建模方法會考慮給定負載模型結構, 并使用不同的優化方法來估計相應的模型參數. 在這些優化方法中, 非線性最小二乘法[14]、 加權最小二乘[15]、遺傳算法[16]、卡爾曼濾波方法[17]和粒子群優化算法[18]廣泛用于負載建模. 然而, 由于給定負載模型無法準確描述負載可能的動態現象[19], 研究人員對人工智能建模方法, 例如神經網絡[20-21]和模糊系統[22], 表現出興趣. 但是, 這些方法存在著某些缺點和局限性, 主要是收斂速度慢和算法對參數初始值的高敏感性, 以及由于局部最小值導致的訓練失敗[19]. 此外, 相關的模型參數在不同的建模條件和電壓擾動下變化很大. 因此, 參數更新過程可能變得非常耗時, 使得在實際應用中無法使用此類方法.

                      近年來, 有關上述基于量測的建模方法是否對靜態負載和動態負載建模具有限制的研究引起了廣泛的討論. 對于給定模型結構[23], 上述方法無法解決負載建模中廣泛存在的模型結構不合理問題. 關于負載建模, 有兩個方面需要考慮: 描述可能的負載結構特性和估計模型參數的方法[24]. 這就是泛化能力, 即擬合新的量測數據的能力.

                      為了克服上述不足, 我們旨在提出一類數據驅動建模方法以同時實現負載模型結構的選擇和負載模型參數的辨識. 就提升負載建模質量而言, 人工智能方法, 尤其是機器學習, 討論構建負載動力學模型以尋找狀態變量和負載輸出之間的數量關系. 與現有人工智能方法不同, 我們提出的稀疏學習建模方法不僅能同時實現負載模型結構的選擇以及負載模型參數的辨識, 所獲得的模型還具有物理可解釋性, 可以為配電系統運營商提供負載的動態描述. 本文分別討論了靜態負載建模和動態負載建模. 本文的貢獻主要有兩個方面:

                      1)將稀疏表示與機器學習相結合, 從量測數據中稀疏學習靜態負載和動態負載, 其關鍵方法分別來自于稀疏貝葉斯學習方法和交替方向方法, 即從一組備選非線性字典函數中選擇最主要非線性項以準確擬合數據, 從而平衡模型的復雜性以避免過擬合. 從理論上講, 我們的工作基于存在備選非線性字典函數這一事實, 其線性組合可以表示靜態負載模型和動態負載模型.

                      2)所提出的數據驅動建模方法闡述了稀疏學習的一般框架, 在靜態負載和動態負載建模過程中同時實現了負載動力學的合理模型結構選擇和精確參數估計, 給予了模型物理性解釋, 甚至在有噪聲的情況下具有良好的魯棒性和準確性.

                      本文的其余部分安排如下. 第1節闡述了微電網架構. 第2節介紹了微電網中不同類型的負載. 第3節提出了一類數據驅動負載稀疏建模算法. 第4節通過多個研究測例說明所提出算法的有效性, 即, 稀疏建模算法可以同時實現負載模型選擇和參數校準.

                      • 在未來智能配電網系統中, 通過互聯運行的微電網以實現適當的功率共享是至關重要的. 微電網的示意如圖1所示, 其中每個分布式發電裝置(Distributed generation, DG)與各自的本地負載相連.

                        圖  1  微電網通過公共連接點連接主網

                        Figure 1.  A generic MG is connected to the main grid at the point of common coupling

                      • 近來的研究中, 下垂控制是微電網中有效的功率共享問題解決方案[25-27]. 受文獻[28-29]啟發, 相角下垂控制使用相角而不是頻率來表示功率不平衡. 考慮具有$ N $個分布式發電裝置的孤島微電網. 在接口$i \in \{1, \cdots, N \}$處, 可以指定如下相角和電壓下垂控制:

                        $$ \begin{split} &\tau_{P_i}\dot{\delta}_i = -\delta_i+\delta_i^d-k_{P_i}(P_i-P_i^d) \\ &\tau_{Q_i}\dot{V}_i = -V_i+V_i^d-k_{Q_i}(Q_i-Q_i^d) \end{split} $$ (1)

                        其中, $ \delta_i $$ V_i $分別表示相角和電壓, $ \delta_i^d $$ V_i^d $為設定參考值. $ \tau_{P_i} $$ \tau_{Q_i} $分別表示相角跟蹤時間常數和電壓跟蹤時間常數, $ k_{P_i} , k_{Q_i} $分別為相角和電壓下垂增益, 表示敏感度以指示有功功率和無功功率的不平衡. $ P_i $$ Q_i $分別是第$ i $個分布式發電裝置的有功功率輸出和無功功率輸出, $ P_i^d $$ Q_i^d $分別是標稱有功功率和標稱無功功率.

                      • 對于微電網中第$ i $個分布式發電裝置, $ P_i $$ Q_i $不是本地確定的, 而是系統交互的結果, 可以視為來自網絡的反饋. 標稱有功和無功注入$ P_i^d ,Q_i^d $由電網調度決定, 并在調度期間保持恒定. 變量$ \delta_i $$ V_i $由本地網絡反饋量測量$ P_i , Q_i $以及參考設定值$\delta_i^d , $$ V_i^d , P_i^d , Q_i^d $調控. 注入的有功功率和無功功率由以下功角關系確定[30]

                        $$ \begin{split} &\hat{P}_i = \sum\limits_{k = 1,k\neq i}^{N} V_i V_k |B_{ik}|\sin(\delta_{i}-\delta_k ) \\ &\hat{Q}_i = V_i^2 |B_{ii}| - \sum\limits_{k = 1,k\neq i}^{N} V_i V_k |B_{ik}|\sin(\delta_{i}-\delta_{k}) \end{split} $$

                        其中, $ B_{ik} $表示第$ i $個分布式發電裝置和第$ k $個分布式發電裝置之間的輸電線路, $ |B_{ik}| $是電納$ B_{ik} $的幅值.

                        $ i $個分布式發電裝置的有功功率和無功功率輸出為

                        $$ \begin{array}{l} {P}_i = P_{L,i}+\hat{P}_i \\ {Q}_i = Q_{L,i}+\hat{Q}_i \end{array} $$

                        其中, $ P_{L,i} $$ Q_{L,i} $是負載的有功功率和無功功率需求, 負載類型可能是靜態負載也可能是動態負載.

                      • 在微電網的電壓調節研究中, 負載類型對電壓穩定性分析會產生影響. 具體地, 負載主要分為兩種, 靜態負載和動態負載. 靜態負載模型, 包括ZIP負載模型和指數負載模型, 在任何時刻的有功功率和無功功率取決于節點電壓幅度. 由于動態負載是對電壓和時間的響應, 所以模型更加復雜.

                      • 負載節點$ i $上有功功率和無功功率需求$ P_{L,i} $$ Q_{L,i} $關于電壓是非線性的, 其模型為

                        $$ P_{L,i} = P_{p,i}+I_{p,i}V_i+Z_{p,i}V_i^2 $$ (2)
                        $$ Q_{L,i} = Q_{q,i}+I_{q,i}V_i+Z_{q,i}V_i^2 $$ (3)

                        此模型稱為ZIP負載模型[31], $ i = 1, \cdots, N ,$參數$ P_{p,i}, I_{p,i}, Z_{p,i} ,Q_{q,i}, I_{q,i}, Z_{q,i} $為正. 特別地, ZIP負載模型具有三種特殊的表達形式.

                        1)負載節點$ i $上有功功率和無功功率需求$ P_{L,i} $$ Q_{L,i} $與電壓平方成正比, 其模型為

                        $$ \begin{split} &P_{L,i} = Z_{p,i} V_i^2 \\ &Q_{L,i} = Z_{q,i} V_i^2 \end{split} $$ (4)

                        此模型稱為恒定阻抗負載模型, $ i = 1, \cdots, N. $

                        2)負載節點$ i $上有功功率和無功功率需求$ P_{L,i} $$ Q_{L,i} $ 與電壓成正比, 其模型為

                        $$ \begin{split} & P_{L,i} = I_{p,i} V_i \\ &Q_{L,i} = I_{q,i} V_i \end{split} $$ (5)

                        此模型稱為恒定電流負載模型, $ i = 1, \cdots, N .$

                        3)負載節點$ i $上有功功率和無功功率需求$ P_{L,i} $$ Q_{L,i} $與電壓無關, 其模型為

                        $$ \begin{split} &P_{L,i} = P_{p,i} \\ &Q_{L,i} = Q_{q,i} \end{split} $$ (6)

                        此模型稱為恒定功率負載模型, $ i = 1, \cdots, N. $

                      • 靜態負載也可以表示為指數形式[32-33]

                        $$ \begin{split} &P_{L,i} = P_{0} V_i^{n_p} \\ &Q_{L,i} = Q_{0} V_i^{n_q} \end{split} $$ (7)

                        其中, $i = 1, \cdots, N.$此模型的參數為指數$ n_p ,n_q $和系數$ P_0 , Q_0 .$針對不同負載元件, 模型的指數常數值信息如表1所示.

                        表 1  不同負載元件指數值$ n_p $$ n_q $[34]

                        Table 1.  Values of the exponents $ n_p $ and $ n_q $ for different load components[34]

                        負載元件/指數值 $ {n_p} $ $ {n_q} $
                        空調 $ 0.50 $ $ 2.50 $
                        電阻加熱器 $ 2.00 $ $ 0.00 $
                        $ 1.00 $ $ 3.00 $
                        泵機 $ 0.08 $ $ 1.60 $
                        大型工業電機 $ 0.05 $ $ 0.50 $
                        小型工業電機 $ 0.10 $ $ 0.60 $
                      • 為了進一步研究, 假定動態負載模型表示為一組非線性微分方程. 這里我們假定負載消耗的有功功率具有如下非線性形式[35]

                        $$ T_{p,i} \frac{{\rm{d}}P_{L,i}}{{\rm{d}}t}+P_{L,i} = \alpha_{1,i}+ \alpha_{2,i} V_i +\alpha_{3,i} V_i^2 $$ (8)

                        其中, $i = 1, \cdots, N.$類似的方程對于無功功率也同樣有效. 與無功功率有關的方程式如下

                        $$ T_{q,i} \frac{{\rm{d}} Q_{L,i}}{{\rm{d}}t} + Q_{L,i} = \beta_{1,i}+ \beta_{2,i} V_i +\beta_{3,i} V_i^2$$ (9)

                        其中, $i = 1, \cdots, N.$

                        式(8)和式(9)是典型的Hammerstein模型結構. 我們可以考慮更高階和更通用的非線性動力學模型結構. 給定$ m $個非線性函數$ f_1(V_i), \cdots, f_m(V_i), $與有功功率相關的$ n $階Hammerstein系統可以表示為

                        $$ \begin{split} &\frac{{\rm{d}}^n P_{L,i}}{{\rm{d}}t^n} + a_{1,i}\frac{{\rm{d}}^{n-1} P_{L,i}}{{\rm{d}}t^{n-1}}+\cdots + a_{n,i} P_{L,i} =\\ & \qquad\qquad c_{1,i} f_1(V_i)+ \cdots +c_{m,i} f_m(V_i) \end{split} $$ (10)

                        其中, $ a_{1,i}, \cdots, a_{n,i}, c_{1,i}, \cdots, c_{m,i} $為未知參數. 給定$ m $個非線性函數$ g_1(V_i), \cdots, g_m(V_i), $與無功功率相關的$ n $階Hammerstein系統可以表示為

                        $$ \begin{split} &\frac{{\rm{d}}^n Q_{L,i}}{{\rm{d}}t^n} + b_{1,i}\frac{{\rm{d}}^{n-1} Q_{L,i}}{{\rm{d}}t^{n-1}}+\cdots + b_{n,i} Q_{L,i}= \\ & \qquad\qquad d_{1,i} g_1(V_i)+ \cdots +d_{m,i} g_m(V_i) \end{split} $$ (11)

                        其中, $ b_{1,i}, \cdots, b_{n,i} $$ d_{1,i}, \cdots, d_{m,i} $為未知參數.

                      • 本節關注以下兩個關鍵問題, 一個是負載模型結構合理性和簡潔性的協調; 另一個是負載模型參數的校準. 在本節中, 我們結合機器學習和稀疏表示去選擇負載動力學中最主要的項來擬合數據, 以學習具有物理解釋的負載模型. 對于靜態負載和動態負載, 我們分別提出稀疏貝葉斯學習方法[36]和 交替方向法(Alternating direction method, ADM)[37]進行稀疏建模, 在算法1和算法2中分別進行了闡明.

                      • 這里, 我們針對單個負載進行建模. 令${{y}}(t) =$$P_L(t) $${{y}}(t) = Q_L(t)$為關于電壓的負載功率輸出. 表示動力學的函數$ \Xi $具有一般形式

                        $${{y}}(t) = \Xi(V(t)) = \sum\limits_{r = 1}^{K} \phi_r(V(t))\theta_r $$ (12)

                        其中, 每個基函數$ \phi_r $代表一個備選字典函數, 例如單項式和指數函數, 同時系數$ \theta_r $是基函數$ \phi_r $的線性參數. 所有$ \phi_r $組成一個大的字典函數矩陣$\Phi = [\phi_1,$$\phi_2, \cdots,\phi_K]$, 其中$ K $為基函數的總數.

                        要稀疏學習靜態負載模型, 首先以適當的采樣率收集時間序列$\{{{y}}(t_h): h = 1, 2, \cdots, l \}$. 輸出量測向量表示為

                        $$ {{Y}} = [{{{y}}}(t_1)\; {{{y}}}(t_2)\; \cdots\; {{{y}}}(t_l)]^{\rm T} \in {\bf R}^{l \times 1} $$ (13)

                        現可通過以下方式將量測向量$ {{Y}} $與字典函數矩陣$ \Phi({V}) $相關聯

                        $$ {{Y}} = \Phi({V}) {{\theta}} $$ (14)

                        其中, 字典函數矩陣$ \Phi $是在$ \{t_h, h = 1, 2, \cdots, l\} $時刻進行估算, 同時, $ {{\theta}} = [\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_K] $是未知權重向量. 當系統存在觀測噪聲時, 負載的動力學可以表示為

                        $$ {{Y}} = \Phi {{\theta}} + {{\xi}} $$ (15)

                        其中,$ {{\xi}} $的分量是方差為$ \lambda $、期望為零的獨立同分布(i.i.d)高斯隨機變量, 即${{\xi}} \thicksim {\rm{N}} (0, \lambda {\cal{I}})$.

                        對于式(15), 為對靜態負載稀疏建模, 采用稀疏貝葉斯學習方法來尋找非零稀疏向量$ {{\theta}} $.

                        步驟1. 利用稀疏誘導先驗使得邊際似然最大化. 在貝葉斯學習的框架中, 所有未知參數通常被視為具有一定概率分布的隨機變量, 可以基于$ {{Y}} $提取$ {{\theta}} $的統計信息, 即為后驗概率密度函數$ p({{\theta}}|{{Y}}) $. 這樣, 在給定參數$ {{\theta}} $的情況下, 量測向量$ {{Y}} $的似然函數定義為

                        $$ p({{Y}}|{{\theta}}) = {\rm{N}}({{Y}}|\Phi {{\theta}},\lambda I)\propto \exp\left[-\frac{1}{2 \lambda}\|{{Y}}-\Phi {{\theta}}\|_2^2\right] $$

                        根據貝葉斯法則, 后驗概率密度函數為

                        $$ p({{\theta}}| {{Y}}) = \dfrac{p({{Y}}|{{\theta}})p({{\theta}})}{p({{Y}})} $$

                        式中, 定義一個先驗分布$ p({{{\theta}}}) = \prod_j p(\theta_j) $.

                        在這里, 基于$ {{Y}} $提取$ {{\theta}} $的統計信息, 即后驗均值$ \mathbb{E}({{\theta}} | {{Y}}) $ 是主要問題. 然而, 由于后驗$ p({{\theta}}|{{Y}}) $是非高斯的, 很難進行積分, 因此引入超高斯先驗來解決此問題[38]. 更具體地說, 引入超參數向量${{\gamma}} = $$[\gamma_1, \cdots, \gamma_K]^{\rm T} \in {\bf R}_+^K,$松弛先驗概率為以下形式

                        $$ \begin{split} &p({{\theta}}) = \prod\limits_{j = 1} p({\theta_j}) \\ &p({\theta_j}) = \max\limits_{{\gamma_j} >0} {\rm{N}}({\theta_j}|0,{\gamma_j}) \eta({\gamma_j}) \end{split} $$

                        其中, $ \eta({\gamma_j}) $表示非負函數.

                        對于給定的$ {{\gamma}} = [{\gamma_1}, \cdots, {\gamma_K}]^{\rm T} , p({{\theta}}|{{Y}}, {{\gamma}}) $可以用來近似$ p({{\theta}}|{{Y}}) $以獲得后驗信息. 假定松弛先驗為

                        $$ \begin{split} {p}({{\theta}};{{\gamma}}) =& \prod\limits_j {\rm{N}}({\theta_j}|0,{\gamma_j})\eta({\gamma_j})= \\ & p({{\theta}} |{{\gamma}})p({{\gamma}})\leq p({{\theta}}) \end{split} $$

                        其中,$p({{\theta}}|{{\gamma}}) = \prod_j {\rm{N}}({\theta_j}|0,{\gamma_j})$$ p({{\gamma}}) = \prod_j \eta({\gamma_j}). $由于似然函數$ p({{Y}}|{{\theta}}) $為高斯函數, 因此

                        $$ p({{\theta}}|{{Y}}, {{\gamma}}) =\dfrac{p({{Y}}|{{\theta}})p({{\theta}};{{\gamma}})} {\int p({{Y}}|{{\theta}})p({{\theta}};{{\gamma}}){\rm d}{{\theta}}} = {\rm{N}}(M_{{\theta}}, \Sigma_{{\theta}}) $$

                        其中, $ M_{{\theta}} $$ \Sigma_{{\theta}} $分別是后驗期望和后驗協方差矩陣. 全后驗概率可表示為

                        $$\begin{split}&p({{\theta}},{{\gamma}}|Y)\varpropto p({{\theta}}|{{Y}},{{\gamma}})p({{\gamma}}|{{Y}}) =\\ &\qquad {\rm{N}}(M_{{\theta}}, \Sigma_{{\theta}})\times \dfrac{p({{Y}}|{{\gamma}}) p({{\gamma}})}{p({{Y}})}\end{split} $$

                        由于$ p({{Y}}) $獨立于${{\gamma}}, $

                        $$p({{Y}}|{{\gamma}}) p({{\gamma}}) = \int p({{Y}}|{{\theta}}) p({{\theta}}|{{\gamma}}) p({{\gamma}}){\rm d}{{\theta}}$$

                        其主要目標是估計超參數

                        $$\begin{split} (\hat{{\gamma}}, \hat{\lambda}) =& \arg\!\underset{{{\gamma}}, \lambda \geq 0}\min\int p({{Y}}\mid {{\theta}})\mid p({{\theta}})- {p}({{\theta}};{{\gamma}})\mid {\rm d}{{\theta}}= \\ & \arg\!\underset{{{\gamma}}, \lambda\geq 0}\min -2\ln \int p({{Y}} \mid {{\theta}}){p}({{\theta}};{{\gamma}}) {\rm d}{{\theta}} = \\ & \arg\!\underset{{{\gamma}}, \lambda\geq 0}\min -2\ln {p}({{Y}};{{\gamma}}, {\lambda})\\[-10pt] \end{split} $$ (16)

                        一旦得到這些值, 即可以選擇未知參數$ {{\theta}} $$ M_{{\theta}} $.

                        步驟2. 求解$ ({{\gamma}}, {\lambda}) $等價于最小化$-\ln {p}({{Y}};{{\gamma}}, {\lambda}) .$期望最大化(Expectation-maximum, EM)方法[38]通過將$ {{\theta}} $作為隱藏變量, 最大化

                        $$ {\rm{E}}_{{{\theta}}|{{Y}};{{\gamma}},\lambda} [p({{Y}},{{\theta}};{{\gamma}}, \lambda)] $$ (17)

                        從而更新$ ({{\gamma}}, \lambda) $以最大化$ p({{Y}}; {{\gamma}},\lambda) $. 根據期望最大化(EM)的更新方法, 所提出的稀疏辨識算法如算法1所示.

                        算法 1. 通過期望最大化方法稀疏學習靜態負載

                        輸入. 采集量測數據$ {{Y}} $和構建冗余字典矩陣$ \Phi ;$

                        輸出. 后驗期望$ {{\theta}}; $

                        1: 初始化 $ {{\gamma}}^0, \lambda^0 $;

                        2: for $ k=1:Max $, do;

                        3: E步: 確定條件期望

                          ${\rm{E}}_{{{\theta}}|{{Y}},{{\gamma}}^k,\lambda}[\theta_j^2] =(\Sigma_{{\theta}})_{j,j}+M_{{{\theta}},j}^2$;

                        4: M步: 關于$ ({{\gamma}}^k,\lambda^k) $, 更新

                        $$ \quad\begin{split} {\gamma}^{k+1}_j =& \arg\underset{\gamma_j \geq 0}{\min}{\rm{E}}_{{{\theta}}|{{Y}};{{\gamma}}^k,\lambda} [p({{Y}},{{\theta}};{{\gamma}}, \lambda)]= \\ & \;\;{\rm{E}}_{{{\theta}}|{{Y}};{{\gamma}}^k,\lambda}[{\theta}_j^2] \end{split} $$

                          $\lambda^{k+1}=\frac{\|{{Y}}-\Phi M_{{\theta}}\|^2+\lambda^k \sum\limits_{j=1}^K [1-({\gamma}_j^k)^{-1}(\Sigma_{{\theta}})_{j,j}]}{l}$

                        5:  if 終止條件滿足 then

                        6:   終止

                        7:  end if

                        8: end for

                      • 本小節仍針對單個負載進行建模. 在適當的采樣間隔$ \tau $下, 動態負載模型(10)可以離散化, 從而形成離散時間系統并提取$M$個數據點${y}(s) = $$ P_L(s) $$ {y}(s) = Q_L(s) $$ M $個數據點$ V(s), $其中$s = 1, \cdots,$$M.$圖2中, Hammerstein系統包括靜態非線性部分和線性動態子系統. $ A(z) $是度為$ n_a $的后退轉移運算符$ z^{-1}(z^{-1}{y}(s) = {y}(s-1)) $, 其中

                        $$ A(z) = a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\cdots+a_{n_a}z^{-n_a} $$ (18)

                        圖  2  廣義Hammerstein模型表示負載功率關系

                        Figure 2.  A general Hammerstein model represenstation for load power

                        Hammerstein系統可以表示為

                        $$ A(z){y}(s) = f(V(s)) $$ (19)

                        假設非線性項$ f(V(s)) $是一個高次多項式, 由備選非線性基函數向量${{f}}= (f_1, f_2, \cdots, f_{n_c})$和未知權重向量$ {{c}} $的線性組合來表示:

                        $$ \begin{split} f(V(s)) =& \;c_1 f_1(V(s))+c_2f_2(V(s)) + \\ &\cdots + c_{n_c}f_{n_c}(V(s)) = \\ & {{f}}(V(s)) {{c}} \end{split} $$

                        線性子系統的參數向量$ {{a}} $和非線性部分的參數向量$ {{c}} $分別為

                        $$ \begin{split} & {{a}} = [a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{n_a}]^{\rm T} \in {\bf R}^{n_{{a}}+1} \\ &{{c}} = [c_1, c_2, \cdots, c_{n_c}]^{\rm T} \in {\bf R}^{n_{{c}}} \end{split} $$

                        定義系統輸出向量$ {{{\varphi}}(s)} \in {\bf R}^{n_a+1} $

                        $$ {{{\varphi}}(s)} = [-y(s), -y(s-1)),\cdots, -y(s-n_a)]^{\rm T} $$

                        因此, Hammerstein系統的辨識模型可以表示為

                        $$ 0 = {{\varphi}}^{\rm T} (s) {{a}} + {{f}}(s){{c}} $$

                        或者, 令 $ D = n_a+n_c+1 $,

                        $$ \begin{split} & {{\psi}}_s^{\rm T} {{x}} = 0, \; {{\psi}}_s = [{{\varphi}}^{\rm T}(s) {{f}}(s)]^{\rm T} \in {\bf R}^{D} \\ & {{x}} = \left[ \begin{array}{ccc} {{a}} \\ {{c}} \end{array} \right] \in {\bf R}^{D} \end{split} $$

                        假設1. $ \| {{c}} \|_2 = 1 $, 并且$ {{c}} $的第1個非零元素為正, 也就是說, 基函數向量$ {{f}}(\cdot) $中元素對應的第1個非零系數為正.

                        定義$\Psi_M = [{{\psi}}_1, \cdots, {{\psi}}_M ]^{\rm T}$為稀疏建模動態負載, 給定矩陣$ \Psi_M ,$在這里采用交替方向法(ADM)方法來尋找非零稀疏向量$ {{x}} $

                        $$ \underset{{{x}}}{\min}\| {{x}}\|_0, \; \; \; {\rm{s.t.}}\; \; \Psi_M^{\rm T} {{x}} = 0,\; {{x}} \neq 0 $$ (20)

                        或者

                        $$ \underset{{{x}}}{\min}\|{{x}}\|_0, \; \; \; {\rm{s.t.}}\; \; {{x}} \in {\cal{S}} \backslash \{0\} \;\;\;\quad\quad $$ (21)

                        其中, 子空間${\cal{S}} = {\rm{Null}}(\Psi_{{M}})\subseteq {\bf R}^{{D}},{\rm{dim}}({\cal{S}}) = {{w}}.$以上可以松弛為[39]

                        $$ \underset{{{x}}}{\min}\|{{x}}\|_1, \; \; \; {\rm{s.t.}}\; \; {{x}} \in {\cal{S}}, \; \; \|{{x}}\|_2 = 1 $$ (22)

                        或等價于

                        $$ \underset{{{x}}, {{q}}}{\min}\|{{x}}\|_1, \; \; \; {\rm{s.t.}}\; \; U {{q}} = {{x}},\; \|{{q}}\|_2 = 1 $$ (23)

                        其中, $U \in {\bf R}^{D \times {{w}}}$對于$ {\cal{S}} $是一個正交基矩陣, 即$U^{\rm T} U = I_{ w} .$式(23)的增強拉格朗日函數為

                        $$ L({{x}}, {{q}}, {{\mu}}) = \|{{x}}\|_1 - {{\mu}}^{\rm T} (U {{q}} - {{x}}) + \frac{\beta}{2} \|U {{q}} - {{x}} \|_2^2 $$

                        其中, $ {{\mu}} \in {\bf R}^D $是拉格朗日乘數, 且$ \beta> 0 $為懲罰參數. 對于合適的$ {{\mu}} \in {\bf R}^D ,$式(23)的全局優化值可以通過最小化增強拉格朗日函數來求解:

                        $$ \underset{{{x}}\in {\bf R}^D, {{q}}\in {\bf S}^{{{w}}-1}}{\min} L({{x}}, {{q}}, {{\mu}}) $$ (24)

                        其中, ${\bf S}^{{{w}}-1}$${\bf R}^{{w}}$中的單位超球面. 給定初始值${{q}}^0 \in $${\bf R}^{{w}}, {{\mu}}^0\in {\bf R}^D ,$關于$ {{x}}, {{q}} $的交替優化為

                        $$ \begin{split} &{{q}}^{k+1} = \arg\!\underset{{{q}} \in {\bf S}^{{{w}}-1}}{\min} L({{x}}^k, {{q}}, {{\mu}}^k) \\ &{{x}}^{k+1} = \arg\!\underset{{{x}} \in {\bf R}^{D}}{\min} L({{x}}, {{q}}^{k+1}, {{\mu}}^k) \\ &{{\mu}}^{k+1} = {{\mu}}^k-\beta(U {{q}}^{k+1}-{{x}}^{k+1}) \end{split} $$

                        $ L({{x}}^k, {{q}}, {{\mu}}^k) $關于$ {{q}} $的梯度并置零為

                        $$ \nabla_{{q}} L({{x}}^k, {{q}}, {{\mu}}^k) = -U^{\rm T} {{\mu}}^k + \beta({{q}}-U^{\rm T} {{x}}^k) = 0 $$

                        對于所有$ k $$ {{\mu}}^k $. 令${\cal{P}}_{{\bf S}^{{{w}}-1}}$表示正交映射, 可將${\bf R}^{ w}$中的元素投影到單位球面${\bf S}^{{{w}}-1}$, 同時$ \epsilon $為足夠小正數. 按照該過程, 在算法2中闡述了所提出的稀疏學習算法.

                        算法 2. 通過交替方向法(ADM)學習動態負載模型

                        輸入. 給定一個正交基矩陣$U\in {\bf R}^{D\times {{w}}}$和一個初始向量$ {{x}}^0 \in {\bf R}^{D}, {{\mu}}^0 \in {\bf R}^{D} $;

                        輸出. 稀疏向量估計$ \hat{{x}} $;

                        1: 令$ k = 0 $;

                        2: while 不收斂 do

                        3:  ${{q}}^{k+1} = {\cal{P}}_{{\bf S}^{{{w}}-1}}(U^{\rm T} {{x}}^k+\dfrac{1}{\beta}U^{\rm T} {{\mu}}^k)$;

                        4:  $ {{x}}^{k+1} = {{H}}_{\beta}({{x}}^k-(1-\epsilon){{\alpha}}^k), $其中, ${{\alpha}}^k =$    $ {{x}}^k-(U {{q}}^{k+1}-\dfrac{1}{\beta} {{\mu}}^k), {{H}}_{\beta}({{x}}) = \max\{| {{x}}|-$    $\dfrac{1-\epsilon}{\beta},0 \}{\rm{sgn}}({{x}});$

                        5:  $ {{\mu}}^{k+1} = {{\mu}}^k-\beta(U {{q}}^{k+1}-{{x}}^{k+1}) $;

                        6:  $ k = k+1 $;

                        7: end while

                      • 本節通過在孤島微電網測試系統[40]中進行仿真驗證以說明負載稀疏建模算法的有效性. 需要說明的是文獻[40]著重研究微電網頻率和電壓穩定控制器設計. 如圖3所示, 孤島微電網測試系統中有四個分布式發電裝置, 四個局部負載和三條輸電線路. 表2表3分別列出了輸電線路參數和孤島微電網系統參數. 孤島微電網通過公共連接點連接到主電網. 以下將針對不同類型負載來解釋所提出的數據驅動稀疏建模算法.

                        圖  3  孤島微電網測試系統

                        Figure 3.  Islanded microgrid test system

                        表 2  輸電線路參數

                        Table 2.  Parameters of transmission lines

                        輸電線路 線路1 線路2 線路3
                        $ \Omega^{-1} $ 10 10.67 9.82

                        表 3  微電網系統參數

                        Table 3.  Parameters of the islanded microgrid

                        參數 $ \mu G_1 $ $ \mu G_2 $ $ \mu G_3 $ $ \mu G_4 $
                        DG $ \tau_{P}(s) $ 0.16 0.16 0.16 0.16
                        $ K_{P}(s) $ $ 4\times 10^{-5} $ $ 2\times 10^{-5} $ $ 3\times 10^{-5} $ $ 4\times 10^{-5} $
                        $ \tau_{Q}(s) $ 0.16 0.16 0.16 0.16
                        $ K_{Q}(s) $ $ 4.2\times 10^{-4} $ $ 4.2\times 10^{-4} $ $ 4.2\times 10^{-4} $ $ 4.2\times 10^{-4} $
                        Load $ P_{Z} $ 0.01 0.02 0.03 0.04
                        $ P_{I} $ 1 2 3 4
                        $ P_{P} $ $ 1\times 10^{4} $ $ 1.1\times 10^{4} $ $ 1.2\times 10^{4} $ $ 1.3\times 10^{4} $
                        $ Q_{Z} $ 0.01 0.02 0.03 0.04
                        $ Q_{I} $ 1 2 3 4
                        $ Q_{P} $ $ 1\times 10^{4} $ $ 1.1\times 10^{4} $ $ 1.2\times 10^{4} $ $ 1.3\times 10^{4} $
                      • 在此仿真中, 負載分別設定為100%恒定阻抗負載, 100%恒定電流負載和100%恒定功率負載. $ t$ = 3 s時, 分布式控制器被激活, 電壓可以快速恢復到其參考值$ (V^{\rm{{ref}}} = 310\; {\rm{V}}). $采樣周期設為0.01 s, 仿真周期設為10 s, 以收集1000個數據點進行算法實施. 將0.1%高斯觀測噪聲添加到所有量測數據中.

                        對于表4所枚舉的備選字典函數, 首先使用采集的時間序列生成備選字典函數矩陣. 對于負載Z, I, P, 有功功率定義為輸出. 對1000個采樣點實施算法1, 選定的字典函數如表4所示, 其中1個有效項可以從5個備選字典函數中稀疏學習得到. 在閾值$ 10^{-6} $下, 辨識得到的系數與表2中的設定值相同.

                        表 4  負載Z, I, P稀疏辨識結果

                        Table 4.  Sparse identification results for Z, I, P load

                        字典函數 Z I P
                        1 0 0 $1\times 10^{-4} $
                        $ V_1 $ 0 1.001 0
                        $ V_1^2 $ 0.098 0 0
                        $ V_1^3 $ 0 0 0
                        $ V_1^4 $ 0 0 0
                        1 0 0 $1.1\times 10^{-4} $
                        $ V_2 $ 0 1.998 0
                        $ V_2^2 $ 0.019 0 0
                        $ V_2^3 $ 0 0 0
                        $ V_2^4 $ 0 0 0
                        1 0 0 $1.2\times 10^{-4} $
                        $ V_3 $ 0 2.999 0
                        $ V_3^2 $ 0.031 0 0
                        $ V_3^3 $ 0 0 0
                        $ V_3^4 $ 0 0 0
                        1 0 0 $1.4\times 10^{-4} $
                        $ V_4 $ 0 3.999 0
                        $ V_4^2 $ 0.039 0 0
                        $ V_4^3 $ 0 0 0
                        $ V_4^4 $ 0 0 0

                        圖4$\sim $6分別為恒定阻抗(Z)負載有功功率、 恒定電流(I)負載有功功率和恒定功率(P)負載有功功率的辨識結果. 在圖4中, 電壓對辨識得到的恒定阻抗負載有功功率的影響是二次的, 因此, 有功功率變化最為明顯的負載可以歸結為此類負載; 在圖5中, 電壓對辨識得到的恒定阻抗負載有功功率的影響是線性的; 在圖6中, 對于恒定功率負載, 辨識得到的有功功率保持恒定, 因為它與電壓無關.

                        圖  4  電壓輸出和恒定阻抗(Z)負載有功功率辨識結果

                        Figure 4.  Voltage output and identified real power of constant impedance load

                        圖  5  電壓輸出和恒定電流(I)負載有功功率辨識結果

                        Figure 5.  Voltage output and identified real power of constant current load

                        圖  6  電壓輸出和恒定功率(P)負載有功功率辨識結果

                        Figure 6.  Voltage output and identified real power of constant power load

                        另外, 對于Z, I, P這三種負載綜合組成的ZIP模型, 我們對其在孤島微電網測試系統進行仿真, 其中電壓輸出如圖7所示. 為驗證所提出稀疏建模方法對噪聲的魯棒性, 添加0.1%高斯觀測噪聲到量測數據中.

                        圖  7  孤島微電網對于ZIP負載的電壓輸出

                        Figure 7.  Voltage output of the islanded microgrid for ZIP load

                        在4個負載上分別實施算法1后, 3個有效項從7個冗余字典函數中稀疏學習得到, 模型的參數經過多次迭代修正展示在表5中. 在閾值$ 10^{-6} $下, 辨識得到的系數與表2中真實設定值相同. 圖8為ZIP負載有功功率和無功功率辨識結果, 其中功率輸出在某種程度上取決于電壓. 因此, 可以通過選擇的模型結構和校準的模型參數來對ZIP負載進行稀疏建模.

                        表 5  ZIP負載稀疏辨識結果

                        Table 5.  Sparse identification results for ZIP load

                        字典函數 $ 1 $ $ V $ $ V^2 $ $ V^3 $ $ V^{3.5} $ $ V^4 $ $ V^6 $
                        負載1 $1\times 10^{4}$ 1.001 0.011 0 0 0 0
                        負載2 $1.1\times 10^{4}$ 2.005 0.019 0 0 0 0
                        負載3 $1.2\times 10^{4}$ 2.993 0.029 0 0 0 0
                        負載4 $1.3\times 10^{4}$ 4.009 0.041 0 0 0 0

                        圖  8  ZIP負載有功功率和無功功率辨識結果

                        Figure 8.  Identified real and reactive power output of ZIP load

                      • 對于指數負載, 表1中的空調、泵電機、大型工業電機和小型工業電機分別在圖3孤島微電網測試系統的四個負載中給予考慮. 給定冗余備選字典函數,我們的目標是確定靜態負載組成元件.

                        采樣周期設為0.01 s, 仿真周期設為10 s, 以得到1000個采樣點. 添加0.1%高斯觀測噪聲到量測數據中. 在實施算法1后, 指數負載稀疏辨識結果如表6所示, 與表1中的真實設定值相同. 對于稀疏學習得到的指數負載, 其有功功率和無功功率辨識結果如圖9所示.

                        表 6  指數負載稀疏辨識結果

                        Table 6.  Sparse identification results for exponential load

                        字典函數 $ 1 $ $ V^{0.05} $ $ V^{0.08} $ $ V^{0.1} $ $ V^{0.5} $ $ V $ $ V^{2.5} $
                        空調 0 0 0 0 1 0 0
                        泵機 0 0 1 0 0 0 0
                        大型工業電機 0 1 0 0 0 0 0
                        小型工業電機 0 0 0 1 0 0 0

                        圖  9  指數負載有功功率和無功功率辨識結果

                        Figure 9.  Identified real and reactive power output of exponential load

                      • 在此仿真實驗中, 一個包括有功功率和無功功率的動態負載添加到測試系統的負載1中. 為生成仿真數據, 動態負載模型表示為式(25)和式(26)的二階系統

                        $$ \left\{ \begin{aligned} {\dot{x}_{p}} & = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1.6 & -0.8 \\ \end{array} \right] x_p + \left[ \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right] w_p \\ P_L& = [1, 0] x_p \\ w_p & = 0.9+ 0.4 V+0.173 V^2 \end{aligned} \right. $$ (25)
                        $$ \left\{ \begin{aligned} {\dot{x}_{q}} & = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0.9 & -0.5 \end{array} \right] x_q + \left[ \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right] w_q \\ Q_L& = [1, 0] x_q \\ w_q & = 0.8901+ 0.0979 V+ 0.4451 V^2 \end{aligned} \right. $$ (26)

                        等效常微分方程模型表示為$\ddot{P}_L -1.6 \dot{P}_L + 0.8 P_L =$$0.9 + 0.4V + 0.173 V^2,$ 并且 $\ddot{Q}_L-0.9 \dot{Q}_L + 0.5 Q_L = $$0.8901 +0.0979V + 0.4451 V^2$為對動態負載建模, 有功功率數據和無功功率數據將被采集以稀疏學習Hammerstein系統模型.

                        為驗證算法對噪聲的魯棒性, 在輸出量測噪聲為零且標準差為$ \sigma = 10^{-4} $的情況下實施算法2用于稀疏學習Hammerstein系統. 通過使用采集的120個數據點, 模型參數被辨識為表7中的一個稀疏向量, 其中真實值$ \theta = [1, 1.6, $$ 0.8, 0.9, 0.4, 0.173] .$對于負載1, 0.5 s間隔內的電壓輸出和動態負載有功功率辨識結果如圖10所示. 圖11的結果表明, 隨著迭代次數增加, 有功功率真實值與估計值的擬合殘差迅速降低. 所提出算法可以用一組系統輸入和系統輸出組成的基函數組來稀疏辨識未知Hammerstein系統. 因此, 動態負載可以通過選擇合適的模型階數或結構以及校準的模型參數來進行稀疏建模.

                        表 7  動態負載稀疏辨識結果

                        Table 7.  Sparse identification results for dynamic load

                        字典函數 有功功率 無功功率
                        $ y(t) $ 1.0001 1.0001
                        $ q^{-1}y(t) $ ?1.6003 ?0.8997
                        $ q^{-2}y(t) $ 0.7998 0.5003
                        $ q^{-3}y(t) $ 0 0
                        $ q^{-4}y(t) $ 0 0
                        $ 1 $ 0.9002 0.8905
                        $ V(t) $ 0.4003 0.0984
                        $ V^2(t) $ 0.1727 0.4447
                        $ V^3(t) $ 0 0
                        $ V^4(t) $ 0 0

                        圖  10  電壓輸出和動態負載有功功率辨識結果

                        Figure 10.  Voltage output and identified real power of dynamic load

                        圖  11  有功功率真實值與擬合殘差

                        Figure 11.  Fitting error of real power

                      • 本文研究了一類數據驅動建模方法以從量測數據中稀疏學習靜態負載和動態負載. 本文的主要貢獻是同時實現了負載模型的結構選擇和參數校準以規避以往研究方法所存在的模型誤差問題. 這表明了一種可行的技術方式以建立具有電氣特性的廣義負載模型. 仿真研究說明所提出算法在孤島微電網測試系統中對于負載稀疏建模合理性和對噪聲的魯棒性都具有良好的表現. 與此同時, 這項工作還有助于更好地理解非線性系統, 并有助于以數據驅動的方式對互聯可再生能源系統進行研究.

                    參考文獻 (40)

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