2.793

                    2018影響因子

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                    基于異步動態事件觸發通信策略的綜合能源系統分布式協同優化運行方法

                    李玉帥 李天義 高煒 高文忠

                    李玉帥, 李天義, 高煒, 高文忠. 基于異步動態事件觸發通信策略的綜合能源系統分布式協同優化運行方法. 自動化學報, 2020, 46(9): 1831?1843. doi: 10.16383/j.aas.c200172
                    引用本文: 李玉帥, 李天義, 高煒, 高文忠. 基于異步動態事件觸發通信策略的綜合能源系統分布式協同優化運行方法. 自動化學報, 2020, 46(9): 1831?1843. doi: 10.16383/j.aas.c200172
                    Li Yu-Shuai, Li Tian-Yi, Gao Wei, Gao Wen-Zhong. Distributed collaborative optimization operation approach for integrated energy system based on asynchronous and dynamic event-triggering communication strategy. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1831?1843. doi: 10.16383/j.aas.c200172
                    Citation: Li Yu-Shuai, Li Tian-Yi, Gao Wei, Gao Wen-Zhong. Distributed collaborative optimization operation approach for integrated energy system based on asynchronous and dynamic event-triggering communication strategy. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1831?1843. doi: 10.16383/j.aas.c200172

                    基于異步動態事件觸發通信策略的綜合能源系統分布式協同優化運行方法


                    DOI: 10.16383/j.aas.c200172
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      美國丹佛大學電氣與計算機工程系博士后研究員. 主要研究方向為分布式控制和優化, 機器學習及其在智能電網和能源互聯中的應用. E-mail: yushuaili@ieee.org

                      丹麥奧爾堡大學計算機系博士研究生. 主要研究方向為軌跡壓縮以及壓縮數據的查詢處理. E-mail: tianyi@cs.aau.dk

                      美國丹佛大學電氣與計算機工程系博士研究生. 主要研究方向為微電網控制, 可再生能源, 電力系統穩定以及機器學習在電力系統中的應用. E-mail: wei.gao@du.edu

                      美國丹佛大學電氣與計算機工程系教授. 主要研究方向為可再生能源和分布式發電, 微電網, 智能電網和電力系統保護. 本文通信作者. E-mail: wenzhong.gao@du.edu

                    Distributed Collaborative Optimization Operation Approach for Integrated Energy System Based on Asynchronous and Dynamic Event-Triggering Communication Strategy

                    More Information
                    • 摘要: 研究綜合能源系統的協同能源管理問題, 并提出了一種基于異步動態事件觸發通信策略的分布式梯度算法來解決該問題. 通過引入外部輔助變量并設計有效的觸發機制, 該方法可以使得每個參與者僅在必要時刻以離散且異步的方式與鄰居產生通信交互, 實現了連續通信的離散替代化. 同時, 該方法并不要求全局同步時鐘, 具有更強的靈活性. 此外, 本文也在理論上證明了算法的全局收斂性. 最后, 仿真結果驗證了所提方法的有效性.
                    • 圖  1  測試系統

                      Fig.  1  Test system

                      圖  2  能源供需不匹配

                      Fig.  2  Energy supply/demand mismatch

                      圖  3  與電相關的變量收斂軌跡

                      Fig.  3  The convergence trajectories for the variables related to electricity power

                      圖  4  與熱相關的變量收斂軌跡

                      Fig.  4  The convergence trajectories for the variables related to heat

                      圖  5  與氣相關的變量收斂軌跡

                      Fig.  5  The convergence trajectories for the variables related to gas

                      圖  6  事件觸發序列

                      Fig.  6  Event-triggered instants

                      圖  7  能源輸出/需求

                      Fig.  7  Energy output/demand

                      表  1  符號定義

                      Table  1  Symbol definition

                      符號定義符號定義
                      $i$能源體編號$j$能源體中的參與者編號
                      $T$調度周期(即各類能源設備和能源負載)
                      $p_{i,T}^{exch}$, $h_{i,T}^{exch}$, $g_{i,T}^{exch}$能源體與外界交換的電、熱和
                      氣的功率或流量
                      $p_{ij,T}^{rg}$, $p_{ij,T}^{fg}$, $p_{ij,T}^{chp}$可再生發電機、燃料發電機和熱電聯
                      產裝置的功率輸出
                      $h_{ij,T}^{rg}$, $h_{ij,T}^{fg}$, $h_{ij,T}^{chp}$可再生制熱裝置, 燃料制熱裝置
                      和熱電聯產裝置的熱能輸出
                      $p_{ij,T}^{es}$, $h_{ij,T}^{es}$電、熱儲能與外界功率交換值
                      $g_{ij,T}^{gas}$燃氣供應商所提供的燃氣量
                      $lp_{ij,T}^m$, $lh_{ij,T}^m$, $lg_{ij,T}^m$$i$個能源體第$j$個 能源負載
                      中的必須運行電負載部分、熱
                      負載部分和氣負載部分
                      $lp_{ij,T}^c$, $lh_{ij,T}^c$, $lg_{ij,T}^c$$i$個能源體第$j$個能源負載中的可
                      控電負載部分、熱負載部分和氣負載
                      部分
                      $\Lambda _i^{p,rg}$, $\Lambda _i^{p,fg}$, $\Lambda _i^{p,es}$$i$個能源體中可再生發電機
                      的集合, 燃料發電機的集合和
                      電儲能裝置的集合
                      $\Lambda _i^{h,rg}$, $\Lambda _i^{h,fg}$, $\Lambda _i^{h,es}$$i$個能源體中可再生制熱裝置的集
                      合、燃料制熱裝置的集合和熱儲能裝
                      置的集合
                      $\Lambda _i^{chp}$$i$個能源體中熱電聯產
                      裝置的集合
                      $\Lambda _i^{gas}$$i$個能源體中燃氣供應商的集合
                      $\Lambda _i^l$$i$個能源體中能源負載的集合
                      熱電聯產裝置第$k$($k = 1, \cdots ,4$)
                      個線性約束的系數
                      上標$\min$, $\max$下界和上界$\rho _{ij,k,1}$, $\rho _{ij,k,2}$, $\rho _{ij,k,3}$
                      $p_{ij,T}^{fg,ramp}$, $p_{ij,T}^{chp,ramp}$爬坡率
                      $g_{ij,T}^p$, $g_{ij,T}^h$, $g_{ij,T}^{chp}$燃料發電機、燃料制熱裝置和
                      熱電聯產裝置
                      的燃氣消耗量
                      $\eta _{ij}^{p,1}$, $\eta _{ij}^{p,2}$, $\eta _{ij}^{p,3}$,熱率系數
                      $\eta _{ij}^{h}$, $\eta _{ij}^{chp}$
                      $p_{ij,T}^{es,ch}$, $p_{ij,T}^{es,ds}$最大充、放電速率$SOC_{ij,T}^p$電儲能裝置的剩余容量
                      $\alpha _{ij}^{ch}$, $\alpha _{ij}^{ds}$充、放電系數$\beta _{ij,T - 1}^{ch},\beta _{ij,T - 1}^{ds} $上一調度周期的充、放電狀態
                      $\hbar_{ij,g-p}^{\min}$, $\hbar_{ij,g-p}^{\max}$電負載與氣負載之間最小和
                      最大的轉換百分比
                      $\hbar_{ij,h-p}^{\min}$, $\hbar_{ij,h-p}^{\max}$熱負載與電負載之間最小和最大的轉
                      換百分比
                      $\hbar_{ij,g-h}^{\min}$, $\hbar_{ij,g-h}^{\max}$氣負載與熱負載之間最小和
                      最大的轉換百分比
                      $B_{i,T}\left( \cdot \right)$能源體$i$的總收益
                      $C_{i,T}( \cdot )$能源體$i$的總成本
                      $U_{ij,T}$能源負載的使用函數$C( {p_{ij,T}^{rg}} )$可再生發電機的成本函數
                      $C( {h_{ij,T}^{rg}} )$可再生制熱裝置的成本函數$C( {p_{ij,T}^{fg}} )$燃料發電機的成本函數
                      $C( {h_{ij,T}^{fg}} )$燃料制熱裝置的成本函數$C( {p_{ij,T}^{chp},h_{ij,T}^{chp}} )$熱電聯產裝置的成本函數
                      $C( {p_{ij,T}^{es}} )$電儲能的成本函數$C( {h_{ij,T}^{es}} )$熱儲的能成本函數
                      $C( {g_{ij,T}^{gas}})$燃氣供應商的成本函數$\varphi_{ij}^{p}$, $\gamma_{ij}^{p}$, $\varphi_{ij}^{h}$, $\gamma_{ij}^{h}$正的使用系數
                      $b_{ij}^{rg}$, $d_{ij}^{rg}$, $a_{ij}^{fg}$, $b_{ij}^{fg}$, $c_{ij}^{fg}$,正的成本系數$\varphi_{ij}^{g}$, $\gamma_{ij}^{g}$, $\iota_{ij}^{rg}$負的懲罰系數
                      $d_{ij}^{fg}$, $e_{ij}^{fg}$, $a_{ij}^{p}$, $b_{ij}^{p}$, $a_{ij}^{h}$,
                      $b_{ij}^{h}$, $c_{ij}^{chp}$, $d_{ij}^{chp}$, $a_{ij}^{es}$,$price_T^p$, $price_T^h,$電、熱和氣市場成交價格
                      $a_{ij}^{gas}$, $b_{ij}^{gas}$, $c_{ij}^{gas}$, $d_{ij}^{gas}$$price_T^g$
                      $1_{d}$全部元素為 1 的d 維列向量$\flat_{1,ij}$, $\flat_{2,ij}$, $\flat_{3,ij}$,觸發系數
                      $0_{d}$全部元素為 0 的d 維列向量$\flat_{4,ij}$, $\flat_{5,ij}$, $\flat_{6,ij}$
                      ${\rm{diag}}(\cdot)$對角矩陣$\varrho_{i}$$i$個能源體中參與者總數
                      $col(\cdot)$向量的列堆棧上標$*$平衡點
                      $\Upsilon=\times\Upsilon_{ij}$$\Upsilon_{ij}$的笛卡爾積$\otimes$克羅內克積
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                    • 加載中
                    圖(7) / 表(1)
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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2020-03-31
                    • 錄用日期:  2020-08-27
                    • 網絡出版日期:  2020-09-28
                    • 刊出日期:  2020-09-20

                    基于異步動態事件觸發通信策略的綜合能源系統分布式協同優化運行方法

                    doi: 10.16383/j.aas.c200172
                      作者簡介:

                      美國丹佛大學電氣與計算機工程系博士后研究員. 主要研究方向為分布式控制和優化, 機器學習及其在智能電網和能源互聯中的應用. E-mail: yushuaili@ieee.org

                      丹麥奧爾堡大學計算機系博士研究生. 主要研究方向為軌跡壓縮以及壓縮數據的查詢處理. E-mail: tianyi@cs.aau.dk

                      美國丹佛大學電氣與計算機工程系博士研究生. 主要研究方向為微電網控制, 可再生能源, 電力系統穩定以及機器學習在電力系統中的應用. E-mail: wei.gao@du.edu

                      美國丹佛大學電氣與計算機工程系教授. 主要研究方向為可再生能源和分布式發電, 微電網, 智能電網和電力系統保護. 本文通信作者. E-mail: wenzhong.gao@du.edu

                    摘要: 研究綜合能源系統的協同能源管理問題, 并提出了一種基于異步動態事件觸發通信策略的分布式梯度算法來解決該問題. 通過引入外部輔助變量并設計有效的觸發機制, 該方法可以使得每個參與者僅在必要時刻以離散且異步的方式與鄰居產生通信交互, 實現了連續通信的離散替代化. 同時, 該方法并不要求全局同步時鐘, 具有更強的靈活性. 此外, 本文也在理論上證明了算法的全局收斂性. 最后, 仿真結果驗證了所提方法的有效性.

                    English Abstract

                    李玉帥, 李天義, 高煒, 高文忠. 基于異步動態事件觸發通信策略的綜合能源系統分布式協同優化運行方法. 自動化學報, 2020, 46(9): 1831?1843. doi: 10.16383/j.aas.c200172
                    引用本文: 李玉帥, 李天義, 高煒, 高文忠. 基于異步動態事件觸發通信策略的綜合能源系統分布式協同優化運行方法. 自動化學報, 2020, 46(9): 1831?1843. doi: 10.16383/j.aas.c200172
                    Li Yu-Shuai, Li Tian-Yi, Gao Wei, Gao Wen-Zhong. Distributed collaborative optimization operation approach for integrated energy system based on asynchronous and dynamic event-triggering communication strategy. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1831?1843. doi: 10.16383/j.aas.c200172
                    Citation: Li Yu-Shuai, Li Tian-Yi, Gao Wei, Gao Wen-Zhong. Distributed collaborative optimization operation approach for integrated energy system based on asynchronous and dynamic event-triggering communication strategy. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(9): 1831?1843. doi: 10.16383/j.aas.c200172
                    • 能源是人類生存和發展的基礎保障. 近年來伴隨著能源危機和環境污染問題的日益凸顯, 開發高效、可持續、清潔的能源利用形式勢在必行[1-2]. 在此背景下, 綜合能源系統應運而生. 其本質可以理解為利用先進的能源信息技術與創新管理模型, 整合區域內包含電、熱、氣等多種能源在內的能源資源, 實現多種能源子系統之間的協同優化、管理、控制與互補互濟, 并有效提高能源綜合利用率、促進能源可持續發展的新型一體化能源系統[3-6]. 不同于單個能源網絡(如電網), 在綜合能源系統中, 各能源網絡存在強的耦合關系, 其能源管理問題在建模和優化策略上更加復雜. 開發有效的能源管理策略和穩定性分析方法[7]是推進綜合能源系統發展的關鍵核心所在, 具有重要的理論和實際應用價值. 概括的來講, 能源管理問題是以最大化社會福利為目標, 滿足多種安全、穩定操作約束的一種系統優化問題. 當前, 用于尋找全局最優運行點的方法主要包括集中式方法和分布式方法. 集中式方法主要包括傳統的迭代法[8]、Newton法[9] 和混合非線性規劃法[10]等. 雖然集中式方法可以準確的獲知全局最優點, 但其在實施過程中要求極高帶寬的通訊基礎設備來實現全系統鋪設來搜集信息, 這將導致極高的成本代價. 此外, 集中式方法對系統單點故障極其敏感, 若集中控制器發生故障, 整個系統將面臨癱瘓的風險, 帶來嚴重的經濟損失[11]. 作為一種可行替代, 分布式方法可以有效地利用稀疏的分布式通信網絡結構來實現網絡內各能源設備的分布式協同操作, 并有效克服系統規模龐大、海量數據及避免集中信息采集. 當前, 研究基于分布式方法的能源管理策略已經成為當今電力系統和智能控制領域的熱點研究方向[12]. Chow等[13]首次提出了一種增長率一致性算法用于解決電力系統的分布式經濟調度問題. 該方法要求一個領導者來預估全局的供需不匹配程度, 并不能視為是完全分布式算法. 隨后, 文獻[14]提出了一種完全分布式的迭代算法, 可有效避免對于領導者智能體或集中控制器的依賴. 在此基礎之上, 近年來多種分布式優化方法被廣泛提出, 并用于解決電力系統的能源管理或者經濟調度問題. 其中, 主要的研究話題聚焦于非凸性分析[15], 延時影響[16-17], 頻率調節[18-19], 網絡攻擊[20-21], 對等優化[22], 初始自由[23]和事件觸發通信策略[24-25]等.

                      雖然上述研究已從不同角度以分布式的方式較好地解決了電力系統的能源管理問題, 但局限于單一的電能網絡的協同優化上. 多種能源網絡的相互耦合作用并未考慮在其中. 為了實現多種能源網絡的協同優化, Zhang 等[26]提出了一種新穎的分布式能源管理框架, 定義了能源體作為一種集成的能源單元, 較好地描述了綜合能源系統多元耦合、多樣化能源角色和對等能源供需等特點. 進而提出了一種分布式一致性交替方向乘子法, 有效地解決電?熱?氣三種能源網絡間的協同優化調度問題. 類似于能源體, 文獻[27]提出了一種“自能源”理念, 并提出了一種雙一致性算法用于實現多個自能源間的協同操作. 然而, 該方法僅適用于二次規劃問題, 并不適用于含有非二次型成本函數和復雜約束的優化問題. 文獻[28-29]將基于動態神經的分布式算法應用于解決綜合能源的能源管理問題, 并考慮了更多的網絡約束限制. 文獻[30]首次提出了一種具有低復雜性的最優電氣流模型, 并設計了兩種兩階段的凸化方法來解決模型中所涉及的非線性問題. 文獻[31]提出了一種帶有廣義噪聲的分布式優化算法, 用于解決智能船舶綜合能源系統的調度問題. 雖然文獻[26-31]已經在綜合能源系統的模型建立和優化算法設計上取得了卓越的貢獻, 但這些方法均建立在同步的周期通信基礎之上. 而周期同步通信依賴于全局的同步時鐘, 并要求全部參與者在同一時刻進行通信交互. 在未來的綜合能源系統中, 不論是系統規模的龐雜性, 還是地域的分散性, 都限制了同步周期通信策略的大規模使用. 因此, 開發兼容非周期且異步執行功能的分布式能源管理策略對推進未來綜合能源系統的發展具有重要的研究價值.

                      基于上述啟發, 本文在能源體模型基礎之上, 提出了一種基于異步動態事件觸發通信策略的分布式梯度優化算法, 有效地解決了綜合能源系統的協同能源管理問題. 所提出算法可同時兼具離散通信、異步執行和分布式實施等特點. 在所設計的觸發機制下, 每個參與者僅需要在必要的時刻與鄰居節點異步地分享部分輔助變量的信息, 便可計算出本地的最優操作和全局的能源市場成交價格. 因此, 該方法有效提高了系統的靈活性、隱私性和可拓展性并規避了依賴全局同步時鐘這一強的限制約束, 適用于大規模綜合能源系統的分布式拓展. 此外, 本文采用李雅普諾夫穩定性理論, 在強連通有向平衡圖下, 給出了算法的全局收斂性, 在理論上驗證了其正確性. 最后, 本文在一個由5個能源體構成的綜合能源測試系統下進行仿真分析, 進一步驗證了所提算法的可行性和有效性.

                      • 在多能源體構成的綜合能源系統中, 每一個能源體可視為一個集成的能源單元. 每個能源體中至少存在以下四類能源設備中的一類, 分別是: 1)僅發電設備, 包括分布式可再生發電機(如光伏和風力發電機)、分布式燃料發電機和分布式電儲能裝置; 2)僅發熱裝置, 包括分布式可再生制熱裝置、分布式燃料制熱裝置和分布式熱儲能裝置; 3)分布式熱電聯產裝置; 4)分布式燃氣供應商. 本文規定每一個能源負載可以包含電、 熱和氣三種成分(該能源負載可以是純電、純熱或者純氣負載, 也可以是電、熱和氣中二種或三種的任意組合形式), 且每一個能源負載包括必須運行部分和可控部分. 也就是說, 每一個能源負載由6部分組成, 分別是必須運行電負載部分、必須運行熱負載部分、必須運行氣負載部分、可控電負載部分、可控熱負載部分和可控氣負載部分, 相應的符號定義參見表1. 若任意一個能源負載僅含有6個組成部分的某些部分(如只含有必須運行和可控的電負載), 只需將其余部分對應的負載變量值設置為零. 根據應用場景的不同, 每個能源體可以大到表示一個城市, 或者小到表示單個的能源設備.

                        表 1  符號定義

                        Table 1.  Symbol definition

                        符號定義符號定義
                        $i$能源體編號$j$能源體中的參與者編號
                        $T$調度周期(即各類能源設備和能源負載)
                        $p_{i,T}^{exch}$, $h_{i,T}^{exch}$, $g_{i,T}^{exch}$能源體與外界交換的電、熱和
                        氣的功率或流量
                        $p_{ij,T}^{rg}$, $p_{ij,T}^{fg}$, $p_{ij,T}^{chp}$可再生發電機、燃料發電機和熱電聯
                        產裝置的功率輸出
                        $h_{ij,T}^{rg}$, $h_{ij,T}^{fg}$, $h_{ij,T}^{chp}$可再生制熱裝置, 燃料制熱裝置
                        和熱電聯產裝置的熱能輸出
                        $p_{ij,T}^{es}$, $h_{ij,T}^{es}$電、熱儲能與外界功率交換值
                        $g_{ij,T}^{gas}$燃氣供應商所提供的燃氣量
                        $lp_{ij,T}^m$, $lh_{ij,T}^m$, $lg_{ij,T}^m$第$i$個能源體第$j$個 能源負載
                        中的必須運行電負載部分、熱
                        負載部分和氣負載部分
                        $lp_{ij,T}^c$, $lh_{ij,T}^c$, $lg_{ij,T}^c$第$i$個能源體第$j$個能源負載中的可
                        控電負載部分、熱負載部分和氣負載
                        部分
                        $\Lambda _i^{p,rg}$, $\Lambda _i^{p,fg}$, $\Lambda _i^{p,es}$第$i$個能源體中可再生發電機
                        的集合, 燃料發電機的集合和
                        電儲能裝置的集合
                        $\Lambda _i^{h,rg}$, $\Lambda _i^{h,fg}$, $\Lambda _i^{h,es}$第$i$個能源體中可再生制熱裝置的集
                        合、燃料制熱裝置的集合和熱儲能裝
                        置的集合
                        $\Lambda _i^{chp}$第$i$個能源體中熱電聯產
                        裝置的集合
                        $\Lambda _i^{gas}$第$i$個能源體中燃氣供應商的集合
                        $\Lambda _i^l$第$i$個能源體中能源負載的集合
                        熱電聯產裝置第$k$($k = 1, \cdots ,4$)
                        個線性約束的系數
                        上標$\min$, $\max$下界和上界$\rho _{ij,k,1}$, $\rho _{ij,k,2}$, $\rho _{ij,k,3}$
                        $p_{ij,T}^{fg,ramp}$, $p_{ij,T}^{chp,ramp}$爬坡率
                        $g_{ij,T}^p$, $g_{ij,T}^h$, $g_{ij,T}^{chp}$燃料發電機、燃料制熱裝置和
                        熱電聯產裝置
                        的燃氣消耗量
                        $\eta _{ij}^{p,1}$, $\eta _{ij}^{p,2}$, $\eta _{ij}^{p,3}$,熱率系數
                        $\eta _{ij}^{h}$, $\eta _{ij}^{chp}$
                        $p_{ij,T}^{es,ch}$, $p_{ij,T}^{es,ds}$最大充、放電速率$SOC_{ij,T}^p$電儲能裝置的剩余容量
                        $\alpha _{ij}^{ch}$, $\alpha _{ij}^{ds}$充、放電系數$\beta _{ij,T - 1}^{ch},\beta _{ij,T - 1}^{ds} $上一調度周期的充、放電狀態
                        $\hbar_{ij,g-p}^{\min}$, $\hbar_{ij,g-p}^{\max}$電負載與氣負載之間最小和
                        最大的轉換百分比
                        $\hbar_{ij,h-p}^{\min}$, $\hbar_{ij,h-p}^{\max}$熱負載與電負載之間最小和最大的轉
                        換百分比
                        $\hbar_{ij,g-h}^{\min}$, $\hbar_{ij,g-h}^{\max}$氣負載與熱負載之間最小和
                        最大的轉換百分比
                        $B_{i,T}\left( \cdot \right)$能源體$i$的總收益
                        $C_{i,T}( \cdot )$能源體$i$的總成本
                        $U_{ij,T}$能源負載的使用函數$C( {p_{ij,T}^{rg}} )$可再生發電機的成本函數
                        $C( {h_{ij,T}^{rg}} )$可再生制熱裝置的成本函數$C( {p_{ij,T}^{fg}} )$燃料發電機的成本函數
                        $C( {h_{ij,T}^{fg}} )$燃料制熱裝置的成本函數$C( {p_{ij,T}^{chp},h_{ij,T}^{chp}} )$熱電聯產裝置的成本函數
                        $C( {p_{ij,T}^{es}} )$電儲能的成本函數$C( {h_{ij,T}^{es}} )$熱儲的能成本函數
                        $C( {g_{ij,T}^{gas}})$燃氣供應商的成本函數$\varphi_{ij}^{p}$, $\gamma_{ij}^{p}$, $\varphi_{ij}^{h}$, $\gamma_{ij}^{h}$正的使用系數
                        $b_{ij}^{rg}$, $d_{ij}^{rg}$, $a_{ij}^{fg}$, $b_{ij}^{fg}$, $c_{ij}^{fg}$,正的成本系數$\varphi_{ij}^{g}$, $\gamma_{ij}^{g}$, $\iota_{ij}^{rg}$負的懲罰系數
                        $d_{ij}^{fg}$, $e_{ij}^{fg}$, $a_{ij}^{p}$, $b_{ij}^{p}$, $a_{ij}^{h}$,
                        $b_{ij}^{h}$, $c_{ij}^{chp}$, $d_{ij}^{chp}$, $a_{ij}^{es}$,$price_T^p$, $price_T^h,$電、熱和氣市場成交價格
                        $a_{ij}^{gas}$, $b_{ij}^{gas}$, $c_{ij}^{gas}$, $d_{ij}^{gas}$$price_T^g$
                        $1_{d}$全部元素為 1 的d 維列向量$\flat_{1,ij}$, $\flat_{2,ij}$, $\flat_{3,ij}$,觸發系數
                        $0_{d}$全部元素為 0 的d 維列向量$\flat_{4,ij}$, $\flat_{5,ij}$, $\flat_{6,ij}$
                        ${\rm{diag}}(\cdot)$對角矩陣$\varrho_{i}$第$i$個能源體中參與者總數
                        $col(\cdot)$向量的列堆棧上標$*$平衡點
                        $\Upsilon=\times\Upsilon_{ij}$$\Upsilon_{ij}$的笛卡爾積$\otimes$克羅內克積
                      • 每個能源體的能源管理模型如下所述[26]:

                        1) 約束條件

                        a) 每個能源體的功率平衡約束, 即在任意調度區間$ T $, 每個能源體內部各能源設備總的生產與總負載之差與外界交換值保持相等:

                        $$ \begin{split} p_{i,T}^{{\rm{exch}}} =& \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{p,rg}} p_{ij,T}^{rg}+\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{p,fg}}p_{ij,T}^{fg}+\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{chp}}p_{ij,T}^{{\rm{chp}}}\;+\\ &\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{p,es}}p_{ij,T}^{es}-\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{l}}\left(lp_{ij,T}^m+lp_{ij,T}^c\right) \\[-25pt] \end{split}$$ (1)
                        $$ \begin{split} h_{i,T}^{{\rm{exch}}} =& \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{h,rg}} h_{ij,T}^{rg} +\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{h,fg}} h_{ij,T}^{fg} + \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{chp}} h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}\;+ \\ &\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{h,es}} h_{ij,T}^{es}- \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{l}}\left(lh_{ij,T}^m+lh_{ij,T}^c\right) \\[-25pt] \end{split} $$ (2)
                        $$ g_{i,T}^{{\rm{exch}}} = \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{gas}}g_{ij,T}^{{\rm{gas}}} -\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{l}}\left( lg_{ij,T}^m+lg_{ij,T}^c\right) $$ (3)

                        其中, 本文規定$ p_{ij,T}^{es} $(或$ h_{ij,T}^{es} $)為正表示放電(或熱), 反之為充電(或儲熱).

                        b) 考慮可再生能源間歇性因素影響的最優性和可能性的權衡約束:

                        $$ p_{ij,T}^{rg\min } \le p_{ij,T}^{rg} \le p_{ij,T}^{rg,\max } $$ (4)
                        $$ h_{ij,T}^{rg,\min } \le h_{ij,T}^{rg} \le h_{ij,T}^{rg,\max } $$ (5)

                        其中, 式(5)中對于上下限的設計中考慮了預測誤差和置信區間等因素, 用于揭示可再生能源的不確定性, 其建模過程詳見文獻[26].

                        c) 對于燃料電機、燃料制熱裝置的裝機容量約束:

                        $$ p_{ij,T}^{fg,\min } \le p_{ij,T}^{fg} \le p_{ij,T}^{fg,\max } $$ (6)
                        $$ h_{ij,T}^{fg,\min } \le h_{ij,T}^{fg} \le h_{ij,T}^{fg,\max } $$ (7)

                        d) 熱電聯產操作可行域, 一般由4個線性約束共同構成, 其數學表達如下:

                        $$ {\rho _{ij,k,1}}p_{ij,T}^{{\rm{chp}}} + {\rho _{ij,k,2}}h_{ij,T}^{{\rm{chp}}} + {\rho _{ij,k,3}} \ge 0\; $$ (8)

                        e) 發電機組的爬坡上下限約束:

                        $$ - p_{ij,T}^{fg,{\rm{ramp}}} \le p_{ij,T}^{fg} - p_{ij,T - 1}^{fg} \le p_{ij,T}^{fg,{\rm{ramp}}} $$ (9)
                        $$ - p_{ij,T}^{{\rm{chp}},{\rm{ramp}}} \le p_{ij,T}^{{\rm{chp}}} - p_{ij,T - 1}^{{\rm{chp}}} \le p_{ij,T}^{{\rm{chp}},{\rm{ramp}}} $$ (10)

                        f) 分布式燃氣供應商所提供的最大燃氣上限約束:

                        $$ 0 \le g_{ij,T}^{{\rm{gas}}} \le g_{ij,T}^{{\rm{gas}},\max } $$ (11)

                        g) 對于由消耗天然氣作為能量來源的燃料發電機、燃料制熱裝置和熱電聯產裝置, 其燃氣消耗量的近似計算式如下:

                        $$ \begin{split} g_{ij,T}^p = \; \Phi \bigg(\! \eta _{ij}^{p,1}{{|| {p_{ij,T}^{fg}}||}^2} \!\!+\! \eta _{ij}^{p,2}p_{ij,T}^{fg} \!+\!\eta _{ij}^{p,3}\! \bigg)\!\le \! g_{ij,T}^{p,\max } \end{split}$$ (12)
                        $$ g_{ij,T}^h = \Phi \left( \frac{h_{ij,T}^{fg}}{\eta _{ij}^h} \right) \le g_{ij,T}^{h,\max } $$ (13)
                        $$ g_{ij,T}^{\rm{chp}} = \Phi \left( \dfrac{ {p_{ij,T}^{fg}{\rm{ + }}h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}} }{\eta _{ij}^{{\rm{chp}}}} \right) \le g_{ij,T}^{{\rm{chp}},\max } $$ (14)

                        其中, $ \Phi \approx 84 $表示從單位MW到SCM/h的變化比率.

                        h) 電、熱儲能約束:

                        $$ - p_{ij,T}^{es,ch} \le p_{ij,T}^{es} \le p_{ij,T}^{es,ds} $$ (15)
                        $$ SOC_{ij}^{p,\min } \le SOC_{ij,T}^p \le SOC_{ij}^{p,\max } $$ (16)
                        $$ \begin{split} \quad\quad\; SOC_{ij,T}^p = & \;SOC_{ij,T - 1}^p - \bigg(\alpha _{ij}^{ch}\beta _{ij,T - 1}^{ch}+\\ &\dfrac{1}{{\alpha _{ij}^{ds}}}\beta _{ij,T - 1}^{ds}\bigg)p_{ij,T - 1}^{es}\Delta T \end{split} $$ (17)

                        其中, $ SOC_{ij}^{p,\min } $$ SOC_{ij}^{p,\max } $一般情況分別設定為額定容量的0.2和0.8倍; $ \beta _{ij,T - 1}^{ch},\beta _{ij,T - 1}^{ds} \in \left\{ {0,1} \right\} $, 且規定$ \beta _{ij,T - 1}^{ch} $(或$ \beta _{ij,T - 1}^{ds} $)等于1表示充(或放)電狀態. 式(15)~(17)表示的是電儲能的操作約束, 對于熱儲能具有相似的約束, 在此不再贅述.

                        i) 能源負載約束及其轉換比率

                        $$ 0 \le lp_{ij,T}^m + lp_{ij,T}^c \le lp_{ij,T}^{\max } $$ (18)
                        $$ 0 \le lh_{ij,T}^m + lh_{ij,T}^c \le lh_{ij,T}^{\max } $$ (19)
                        $$ 0 \le lg_{ij,T}^m + lg_{ij,T}^c \le lg_{ij,T}^{\max } $$ (20)
                        $$ \hbar_{ij,g-p}^{\min}\leq \dfrac {lp_{ij,T}^c}{{lp_{ij,T}^c + \dfrac{lg_{ij,T}^c}{\Phi }}}\leq\hbar_{ij,g-p}^{\max} $$ (21)
                        $$ \hbar_{ij,h-p}^{\min}\leq \dfrac {lp_{ij,T}^c}{lp_{ij,T}^c + lh_{ij,T}^c}\leq\hbar_{ij,h-p}^{\max} $$ (22)
                        $$ \hbar_{ij,g-h}^{\min}\leq \dfrac {lh_{ij,T}^c}{{lh_{ij,T}^c + \dfrac {lg_{ij,T}^c}{\Phi }}}\leq\hbar_{ij,g-h}^{\max} $$ (23)

                        2) 利益函數

                        每個能源體的利益函數由總的收益$B_{i,T}\left( \cdot \right)$和總的成本$C_{i,T}( \cdot )$兩部分構成, 其數學表達如下:

                        $$ {W_{i,T}} = B_{i,T}\left( \cdot \right) -{C}_{i,T} \left( \cdot \right) $$ (24)

                        其中,

                        $$ \begin{split} B_{i,T}( \cdot ) =& \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{l}}U_{ij,T} + price_T^p p_{i,T}^{{\rm{exch}}} \;+\\ & price_T^h h_{i,T}^{{\rm{exch}}}\;+ price_T^gg_{i,T}^{{\rm{exch}}} \\[-10pt] \end{split} $$ (25)
                        $$ \begin{split} {C}_{i,T} ( \cdot ) =& \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{p,rg}}C\left( {p_{ij,T}^{rg}} \right)+\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{h,rg}}C\left( {h_{ij,T}^{rg}} \right)+\\ &\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{p,fg}} C\left( {p_{ij,T}^{fg}} \right)+\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{h,fg}}C\left( {h_{ij,T}^{fg}} \right) +\\ &\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{chp}} C\left( {p_{ij,T}^{{\rm{chp}}},h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}}\right)+\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{p,es}} C\left( {p_{ij,T}^{es}}\right)+\\ &\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{h,es}}C\left( {h_{ij,T}^{es}}\right)+ \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{{{gas}}}} C\left( {g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}}\right) \\[-10pt] \end{split} $$ (26)
                        $$ \begin{split} U_{ij,T} = &\!-\! \varphi _{ij}^p{\left( {lp_{ij,T}^c\! +\! lp_{ij,T}^m} \right)^2} \!+\! \gamma _{ij}^p\left( {lp_{ij,T}^c \!+\! lp_{ij,T}^m} \right)- \\ & \varphi _{ij}^h{\left( {lh_{ij,T}^c + lh_{ij,T}^m} \right)^2} + \gamma _{ij}^h\left( {lh_{ij,T}^c + lh_{ij,T}^m} \right)-\\ & \varphi _{ij}^g{\left( {lg_{ij,T}^c + lg_{ij,T}^m} \right)^2}+ \gamma _{ij}^g \left( {lg_{ij,T}^c + lg_{ij,T}^m} \right) \end{split}$$ (27)
                        $$\begin{split} C\left( {p_{ij,T}^{rg}} \right) =& \;b_{ij}^{rg}p_{ij,T}^{rg} +\\ & d_{ij}^{rg}\exp \left( {\iota _{ij}^{rg}\dfrac{{p_{ij,T}^{rg,\max } - p_{ij,T}^{rg}}}{{p_{ij,T}^{rg,\max } - p_{ij,T}^{rg,\min }}}} \right) \end{split}$$ (28)
                        $$ \begin{split} C\left( {p_{ij,T}^{fg}} \right) =&\; a_{ij}^{fg}{\left( {p_{ij,T}^{fg}} \right)^2} + b_{ij}^{fg}p_{ij,T}^{fg}+ \\ &d_{ij}^{fg}\rm{exp}\left( {e_{ij}^{fg}p_{ij,T}^{fg}} \right) + c_{ij}^{fg} \end{split} $$ (29)
                        $$ \begin{split} C\left( {p_{ij,T}^{{\rm{chp}}},h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}} \right)= &\;a_{ij}^p{\left( {p_{ij,T}^{{\rm{chp}}}} \right)^2}{\rm{\! +\! }}b_{ij}^pp_{ij,T}^{{\rm{chp}}} \!+\! {{a}}_{ij}^h{\left( {h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}} \right)^2}+\\ &b_{ij}^hh_{ij,T}^{{\rm{chp}}} + d_{ij}^{{\rm{chp}}}p_{ij,T}^{{\rm{chp}}}h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}+c_{ij}^{{\rm{chp}}} \end{split}$$ (30)
                        $$ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\left( {p_{ij,T}^{es}} \right){{ = a}}_{ij}^{es}{\left( {p_{ij,T}^{es}{\rm{ + }}b_{ij}^{es}} \right)^2} $$ (31)
                        $$ \begin{split} C\left( {g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}} \right) =& \;{{a}}_{ij}^{{\rm{gas}}}{\left( {g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}} \right)^3} + b_{ij}^{{\rm{gas}}}{\left( {g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}} \right)^2}d\;+\\ & d_{ij}^{{\rm{gas}}}g_{ij,T}^{{\rm{gas}}} + c_{ij}^{{\rm{gas}}} \end{split} $$ (32)

                        其中, 成本函數$C( {h_{ij,T}^{rg}} )$, $C( {h_{ij,T}^{fg}} )$$C ( {h_{ij,T}^{es}} )$的具體形式分別與成本函數$C( {p_{ij,T}^{rg}} )$, $C( {p_{ij,T}^{fg}})$$C ( {p_{ij,T}^{es}} )$相同. 為減少冗余, 本文未列出其詳細的成本函數模型. $ price_T^p $, $ price_T^h $$ price_T^g $均為未知量, 并由后續分布式算法所求解.

                        綜合能源系統的主要目的是實現不同種類能源間的協同互補, 以全面提高社會能源的綜合使用效率, 降低綜合產能成本(經濟成本和環境成本). 由于電、熱、氣三種能源可以被直接地傳輸、轉換和消費, 本文主要對這三種能源系統在能源的生產側和消費側進行協同優化和管理. 作為電力系統和熱力系統耦合關聯的主要樞紐之一, 熱電聯產裝置同時生產電和熱兩種能源. 其成本函數也由電、熱兩種能源的生產輸出同時決定(如式(30)所示), 且電、熱能源的輸出需要限制在相應的操作域內(如式(8)所示). 在獨立的電力系統和熱力系統運行操作情況下, 熱電聯產裝置往往操作在以電定熱或者以熱定電的兩種典型運行方式下. 而綜合能源系統是從全局視角出發, 熱電聯產裝置的輸出情況完全由當前的系統負載情況, 以最大化整個綜合能源系總利益為目標而決定, 而并不是由單一能源系統的局部最優利益而決定. 同時, 燃氣是電、熱生產的能量來源之一, 如式(12)~(14)所示. 只有當電、熱能源生產得以合理的規劃, 我們才可以獲得更加經濟的燃氣分配方案. 此外, 在能源的消費側, 電、熱、氣負載需求在某些情況下可以相互替代, 并由用戶根據當前的能源價格而自由選擇. 本文采用與文獻[22]相同的能源轉換比模型來量化這一思想, 如式(21)~(23)所示. 這三種能源在消費側的靈活性、互補性及可替代性只有在對等并綜合考慮的情況下才能發揮其作用和優勢. 因此, 相比于電、熱和氣三種能源子系統獨立運行情況下, 綜合能源系統可以同時協同調用全局內所有能源裝置和負載, 以全局最優的方式提高系統整體的經濟性和靈活性并充分發揮多種能源間的互補性.

                      • 基于上述能源體模型, 本文研究的綜合能源管理問題是以最大化所有能源體的總利益, 并滿足電、熱和氣三種能量的全局供需平衡及第1.1節中全部的操作約束限制. 具體計算式化表達如下:

                        $$ \max \;\; Object = \sum\limits_{i = 1}^{n}W_{i,T} $$ (33)
                        $$ \sum\limits_{i = 1}^{n}p_{i,T}^{{\rm{exch}}} = 0,\; \sum\limits_{i = 1}^{n}h_{i,T}^{{\rm{exch}}} = 0,\;\sum\limits_{i = 1}^{n}g_{i,T}^{{\rm{exch}}} = 0 $$ (34)

                        及約束(4)~(23). 其中, $ n $為能源體總個數.

                        在上式中, 本文旨在綜合地考慮集成的電、熱和氣系統中多種能源設備和可控負載間(參與者)的協同優化, 并開發一種具有非周期異步通信功能的分布式算法, 使每個參與者僅在利用本地通信情況下獲取到其相應的最優操作運行點. 由于本文考慮的設備種類繁多, 為了簡化符號表達并益于后續分布式算法的設計表達, 令$y_{ij}\in {\bf{R}}^{3}$統一表示第$ i $個能源體中第$ j $個參與者的本地決策變量. $ y_{ij} $是一個三維的決策變量, 其三維的排列順序依次為電、熱和氣. 對于僅有一種或兩種類型變量的設備來說, 可以用零來填補缺失維的變量. 同時, 本文規定$ F(y_{ij}) $表示成本函數或者負的使用函數, 進而令其統一作為每個參與者新的本地目標函數. 對于變量$y_{ij}\in {\bf{R}}^{3}$, 其本地的操作約束可用本地的閉凸集$ \Upsilon_{ij} $來表示. 另外, 對于能源負載的必須運行部分, 本文用$\Im_{ij} = {\left[lp_{ij,T}^m,lh_{ij,T}^m,lg_{ij,T}^m\right]^{\rm{T}}} \in {{\bf{R}}^3}$進行統一表示. 目標函數(33)物理意義為總的最大化利益函數. 根據式(25)和(34), 可得$\sum\nolimits_{i = 1}^n {{B_{i,T}}\left( \cdot \right)} = \sum\nolimits_i^n \sum\nolimits_{j \in \Lambda _i^l} U_{ij,T}$. 結合$ F(y_{ij}) $的定義, 進一步可得到

                        $$ \begin{split} \sum\limits_{i = 1}^{n}W_{i,T} =& \sum\limits_{i = 1}^{n}\bigg{(}\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{l}}U_{ij,T}-\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{p,rg}}C( {p_{ij,T}^{rg}} )\;-\\ & \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{h,rg}}C\left( {h_{ij,T}^{rg}} \right)- \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{p,fg}}C\left( {p_{ij,T}^{fg}}\right)-\\ &\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{h,fg}}\!C\!\left( {h_{ij,T}^{fg}} \right)\!\!-\!\! \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{chp}}\!C\!\left( {p_{ij,T}^{chp},h_{ij,T}^{chp}} \right)\;-\!\\ &\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{p,es}}C\left( {p_{ij,T}^{es}} \right)-\sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{h,es}}C\left( {h_{ij,T}^{es}} \right)-\\ & \sum\limits_{j\in\Lambda_{i}^{gas}}C\left( g_{ij,T}^{gas}\right)\bigg{)}=-\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{\varrho_{i}}F(y_{ij}) \\[-10pt] \end{split} $$ (35)

                        由于求解最大化優化問題可以等價轉化為求解負的最小化問題, 為此上述能源管理問題可進一步改寫為以下形式:

                        $$\! \!\!\!\! \min \quad Object = \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{\varrho_{i}}F(y_{ij}) $$ (36)
                        $$ \!\!\!\!{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{\varrho_{i}} D_{ij}y_{ij} = \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{\varrho_{i}}\Im_{ij},\; y_{ij}\in \Upsilon_{ij} $$ (37)

                        其中, 當$ y_{ij} $表示能源設備(或能源負載)時, $ D_{ij} = I_{3} $(或$ D_{ij} = -I_{3} $); $ I_{3} $為三維單位矩陣.

                      • 綜合能源系統的通信網絡結構可以用一個由節點和邊組成的有向圖$ {\cal{G}} = (\mathbb{V},\mathbb {E},\mathbb {A}) $來表示, 其中, $\mathbb {V} \!= \!\{\nu_{ij}| i = 1,\cdots,n;j = 1,\cdots,\varrho_{i}\}\;$ 表示節點(參與者)集合, $ \mathbb {E}\subset \mathbb {V}\times\mathbb {V} $表示通信邊集, $\mathbb {A} = \{a_{ij}\}\in {\bf{R}}^{n\times n}$表示鄰接矩陣. 總的節點個數定義為$ N $. 在一個有向圖中, 若節點$ ij $可從(或向)節點$ \overline{ij} $接受(或發送)信息, 則稱$ \overline{ij} $$ ij $的入(或出)鄰居節點, 此時$ a_{ij,\overline{ij}} = 1 $ (或$ a_{\overline{ij},ij} = 1 $; 否則, $ a_{ij,\overline{ij}} = 0 $ (或$ a_{\overline{ij},ij} = 0 $). 節點$ ij $的入鄰居和出鄰居節點集分別定義為$ {\cal{N}}_{ij}^{+} $$ {\cal{N}}_{ij}^{-} $, 相應的入度和出度定義為$ \varpi_{ij}^{+} $$ \varpi_{ij}^{-} $. 圖的入拉普拉斯定義為$ L = \varpi^{+}-\mathbb {A} $, 其中, $\varpi^{+} = {\rm{diag}} \{\varpi^{+}_{ij}\}$. 定義$ \breve{L} = (L+L^{T})/2 $. 本文假設圖$ {\cal{G}} $是一個強連通平衡圖. 根據文獻[32]中定理2可知, 在強連通平衡圖下, 矩陣$ \breve{L} $的各特征值中僅有一個零特征值且其余特征值均為正的, 其最小的正特征值定義為$ \lambda_{2} $.

                        根據強凸函數定義[33]可知, $ F(y_{ij}) $為強凸函數, 若存在正常數$ \wp_{ij}>0 $, 對于任意的$ y_{ij},\tilde{y}_{ij} \in\Upsilon_{ij} $, 不等式$\left(y_{ij}\!-\!\tilde{y}_{ij}\right)^{{\rm{T}}}\left(\nabla F\left(y_{ij}\right)\!-\!\nabla F\left(\tilde{y}_{ij}\right)\right)\geq\wp_{ij} \!\! \parallel y_{ij}\!-\!\tilde{y}_{ij}\parallel^{2}$成立. 接下來, 我們逐一驗證所研究問題的強凸特性. 在式(27)中, 本文采用的使用函數$ U_{ij,T} $是一個標準的二次型函數, 且二次項系數為負. 回顧先前定義, $ F(y_{ij}) $表示成本函數或者負的使用函數. 因此, 需要驗證$ -U_{ij,T} $的強凸性. 根據式(27)可得, 對于任意一組變量$(lp_{ij,T}^c,lh_{ij,T}^c,lg_{ij,T}^c)$$( \tilde{lp}_{ij,T}^c,\tilde {lh}_{ij,T}^c,\tilde{lg}_{ij,T}^c )$及其對應的負的使用函數$ -U_{ij,T} $$ -\tilde{U}_{ij,T} $, 可以得到

                        $$ \begin{split} &\bigg(\left[lp_{ij,T}^c,lh_{ij,T}^c,lg_{ij,T}^c\right]-\\ &\quad\quad\left[\tilde{lp}_{ij,T}^c,\tilde {lh}_{ij,T}^c,\tilde{lg}_{ij,T}^c\right]\bigg)\left(-\nabla U_{ij,T}+\nabla \tilde{U}_{ij,T}\right)=\\ &\quad\quad2\varphi_{ij}^{p}||lp_{ij,T}^c-\tilde{lp}_{ij,T}^c||^{2}+2\varphi_{ij}^{h}||lh_{ij,T}^c-\tilde{lh}_{ij,T}^c||^{2}+\\ &\quad\quad2\varphi_{ij}^{g}||lg_{ij,T}^c-\tilde{lg}_{ij,T}^c||^{2}\geq\\ &\quad\quad\wp_{ij}^{c}||\left[lp_{ij,T}^c,lh_{ij,T}^c,lg_{ij,T}^c\right]-\\ &\quad\quad\left[\tilde{lp}_{ij,T}^c,\tilde {lh}_{ij,T}^c,\tilde{lg}_{ij,T}^c\right]||^{2} \\[-10pt] \end{split} $$ (38)

                        其中, $ \wp_{ij}^{c} = \min\{2\varphi_{ij}^{p}, 2\varphi_{ij}^{h}, 2\varphi_{ij}^{g}\} $. 因為$ \varphi_{ij}^{p} $, $ \varphi_{ij}^{h} $$ \varphi_{ij}^{g} $均為正的使用系數, 所以$ \wp_{ij}^{c}>0 $. 因此, $ -U_{ij,T} $為強凸函數. 也就是說當編號$ ij $表示能源負載時, $ F(y_{ij}) $為強凸函數.

                        根據式(28), 對于任意一組變量$ p_{ij,T}^{rg} $$ \tilde{p}_{ij,T}^{rg} $及其對應的成本函數$ C(p_{ij,T}^{rg}) $$ C(\tilde{p}_{ij,T}^{rg}) $, 可以得到

                        $$ \begin{split} &\left(p_{ij,T}^{rg}-\tilde{p}_{ij,T}^{rg}\right)\left(\nabla C(p_{ij,T}^{rg})-\nabla C(\tilde{p}_{ij,T}^{rg})\right)=\\ &\quad\quad\quad \dfrac{-d_{ij}^{rg}\iota_{ij}^{rg}}{p_{ij,T}^{rg,\max }- p_{ij,T}^{rg,\min }}\bigg{(}\!\!\exp \!\bigg{(} {\iota _{ij}^{rg}\dfrac{{p_{ij,T}^{rg,\max } \!-\! p_{ij,T}^{rg}}}{{p_{ij,T}^{rg,\max } \!-\! p_{ij,T}^{rg,\min }}}}\!\bigg{)}=\\ &\quad\quad\quad\exp \bigg{(} {\iota _{ij}^{rg}\dfrac{{p_{ij,T}^{rg,\max } - \tilde{p}_{ij,T}^{rg}}}{{p_{ij,T}^{rg,\max } - p_{ij,T}^{rg,\min }}}}\bigg{)}\bigg{)}\left(p_{ij,T}^{rg}-\tilde{p}_{ij,T}^{rg}\right)\geq\\ &\quad\quad\quad\wp_{ij}^{rg}||p_{ij,T}^{rg}-\tilde{p}_{ij,T}^{rg}||^{2}\\[-10pt] \end{split} $$ (39)

                        其中, $\wp_{ij}^{rg} \!=\! \dfrac{-d_{ij}^{rg}\iota_{ij}^{rg}}{p_{ij,T}^{rg,\max }\!-\! p_{ij,T}^{rg,\min }}£ _{ij}^{rg} > 0,$ 因為$ d_{ij}^{rg}<0 $ 且其余系數為正; $ £ _{ij}^{rg} $表示指數函數$\exp \! {(} \iota _{ij}^{rg}\! \dfrac{{p_{ij,T}^{rg,\max }\! \!-\!\! p_{ij,T}^{rg}}}{{p_{ij,T}^{rg,\max } \!\!-\!\! p_{ij,T}^{rg,\min }}}{)}$的偏導數在約束 (4)范圍內的最小值. 式(39)意指$C(p_{ij,T}^{rg})$為強凸函數. 式(29)中成本函數$C(p_{ij,T}^{fg})$的強凸特性證明過程與上述$C(p_{ij,T}^{rg})$的強凸特性證明過程相類似, 本文不再贅述.

                        對于熱電聯產裝置, 本文沿用對于成本函數系數滿足$4a_{ij}^pa_{ij}^h - (d_{ij}^{{\rm{chp}}})^2 > 0$ 這一假設[26]. 選取

                        $$\begin{split} £ _{ij}^{{\rm{chp}}} =& \arg\mathop {\min }\limits_{£ _{ij}^{{\rm{chp}}} > 0} {\bigg\{} \left(2a_{ij}^{p}-£ _{ij}^{{\rm{chp}}}\right)\left(2a_{ij}^{h}-£ _{ij}^{{\rm{chp}}}\right)-\\ &\left(d_{ij}^{{\rm{chp}}}\right)^2 \geq\! 0{\bigg\}} \end{split}$$

                        其存在性可以被保障因為$4a_{ij}^pa_{ij}^h - (d_{ij}^{{\rm{chp}}})^2 > 0$. 進而根據式(30), 對于任意一組變量$(p_{ij,T}^{{\rm{chp}}},\;h_{ij,T}^{{\rm{chp}}})$$(\tilde{p}_{ij,T}^{{\rm{chp}}},\;\tilde{h}_{ij,T}^{{\rm{chp}}})$及其相應成本函數$C( {p_{ij,T}^{{\rm{chp}}},\;h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}} )$$C ( {\tilde{p}_{ij,T}^{{\rm{chp}}},\;\tilde{h}_{ij,T}^{{\rm{chp}}}})$, 可以得到

                        $$ \begin{split} &\left(\left[p_{ij,T}^{{\rm{chp}}},h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}\right]-\left[\tilde{p}_{ij,T}^{{\rm{chp}}},\tilde{h}_{ij,T}^{{\rm{chp}}}\right]\right)\bigg(\nabla C\left( {p_{ij,T}^{{\rm{chp}}},h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}}\right)-\\ &\quad\quad\quad\nabla C\left( {\tilde{p}_{ij,T}^{{\rm{chp}}},\tilde{h}_{ij,T}^{{\rm{chp}}}}\right)\bigg)-\\ &\quad\quad\quad£ _{ij}^{{\rm{chp}}}||\left[p_{ij,T}^{{\rm{chp}}},h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}\right]-\left[\tilde{p}_{ij,T}^{{\rm{chp}}},\tilde{h}_{ij,T}^{{\rm{chp}}}\right]||^{2}=\\ &\quad\quad\quad\left[p_{ij,T}^{{\rm{chp}}},h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}\right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2a_{ij}^p - £ _{ij}^{{\rm{chp}}}}&{d_{ij}^{{\rm{chp}}}}\\ {d_{ij}^{{\rm{chp}}}}&{2a_{ij}^h - £ _{ij}^{{\rm{chp}}}} \end{array}} \right]\\&\quad\quad\quad\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {p_{ij,T}^{{\rm{chp}}}}\\ {h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}} \end{array}} \right] \geq0\\[-10pt] \end{split}$$ (40)

                        根據上述對于系數$£ _{ij}^{{\rm{chp}}}$的選取, 可知$£ _{ij}^{{\rm{chp}}} > 0$. 因此, 結合式(40)可知$C( {p_{ij,T}^{{\rm{chp}}},h_{ij,T}^{{\rm{chp}}}} )$為強凸函數. 根據式(31), 對于任意一組$ p_{ij,T}^{es} $$ \tilde{p}_{ij,T}^{es} $以及相應成本函數$C\left(p_{ij,T}^{es}\right)$$C\left(\tilde{p}_{ij,T}^{es}\right)$, 可以得到

                        $$ \begin{split} &\left(p_{ij,T}^{es}-\tilde{p}_{ij,T}^{es}\right)\left(\nabla C\left(p_{ij,T}^{es}\right)-\nabla C\left(\tilde{p}_{ij,T}^{es}\right) \right)\geq\\ &a_{ij}^{es}||p_{ij,T}^{es}-\tilde{p}_{ij,T}^{es}||^{2} \end{split} $$ (41)

                        $ a_{ij}^{es} $為正的成本系數, 也就是說$ a_{ij}^{es}>0 $. 因此, $C\left(p_{ij,T}^{es}\right)$為強凸函數. 根據式(32)和式(11), 對于任意一組$g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}$$\tilde{g}_{ij,T}^{{\rm{gas}}}$以及相應成本函數$C(g_{ij,T}^{{\rm{gas}}})$$C(\tilde{g}_{ij,T}^{{\rm{gas}}})$, 可以得到

                        $$ \begin{split} &\left(g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}-\tilde{g}_{ij,T}^{{\rm{gas}}}\right)\left(\nabla C\left(g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}\right)-C\left(\tilde{g}_{ij,T}^{{\rm{gas}}}\right) \right)=\\ &\quad\quad\quad \left(3a_{ij}^{{\rm{gas}}}\left(g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}+\tilde{g}_{ij,T}^{{\rm{gas}}}\right)+2b_{ij}^{{\rm{gas}}}\right)||g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}-\\ &\quad\quad\quad\;\;\tilde{g}_{ij,T}^{{\rm{gas}}}||^{2}\geq2b_{ij}^{{\rm{gas}}}||g_{ij,T}^{{\rm{gas}}}-\tilde{g}_{ij,T}^{{\rm{gas}}}||^{2}\\[-5pt] \end{split} $$ (42)

                        $b_{ij}^{{\rm{gas}}}$為正的成本系數, 也就是說$b_{ij}^{{\rm{gas}}} > 0$. 因此, 在約束(11)范圍內, $C(g_{ij,T}^{{\rm{gas}}})$為強凸函數. 基于上述討論, 每一個成本函數在相應的閉凸域內均為強凸函數. 因此, $ F(y_{ij}) $在表示成本函數時也是強凸函數. 綜上所述, $ F(y_{ij}) $在相應的閉凸域內是強凸函數.

                        此外, 本文采用微分投影操作來處理不等式約束, 并用$ \Pi_{\Upsilon_{ij}}(y_{ij},\natural) $表示$ y_{ij} $在閉凸集$ \Upsilon_{ij} $對于$ \natural $的微分投影, 其詳細定義可參見文獻[34]. 根據文獻[34]中引理2.1可知,

                        $$ \Pi_{\Upsilon_{ij}}(y_{ij},\natural) = \natural-o_{ij}(y_{ij})\pi_{ij}(y_{ij}) $$ (43)

                        其中, $ o_{ij}(y_{ij})\geq0 $表示一個伴隨著變量$ y_{ij} $變化而變化的非負數, $ \pi_{ij}(y_{ij})\in c_{\Upsilon_{ij}}(y_{ij}) $, $ c_{\Upsilon_{ij}}(y_{ij}) $$ y_{ij} $$ \Upsilon_{ij} $上的法錐.

                      • 在分布式的綜合能源系統中, 每一個參與者均會配備一個微型的處理器. 而微型處理器往往僅具有有限的通信帶寬能力. 因此, 連續的通信方式難以實現. 而周期的通信則需要依賴一個全局的同步時鐘. 對于一個地域廣泛分布的大規模分布式系統而言, 要求全局同步時鐘是一個較強的條件, 因此極大地降低了這種類型算法執行的靈活性和可靠性. 為解決該問題, 本文針對連續時間優化算法, 設計異步的動態事件觸發策略并將其嵌入到每個參與者的優化執行過程中. 進而實現了連續通信的離散替代化, 且通信僅要求在必要時刻發生, 有效地避免了對全局同步時鐘要求的依賴. 分布式算法的執行過程為

                        $$ \!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\dot{y}_{ij} = \Pi_{\Upsilon_{ij}}\left(y_{ij}, -\nabla F\left(y_{ij}\right)+D_{ij}^{{\rm{T}}}\hat{\mu}_{ij}\right) $$ (44)
                        $$ \begin{split} \dot{\mu}_{ij} =& -\sum\limits_{\overline{ij}\in{\cal{N}}_{ij}^{+}}a_{ij,\overline{ij}}(\hat{\mu}_{ij}-\hat{\mu}_{\overline{ij}})-\\ &\sum\limits_{\overline{ij}\in{\cal{N}}_{ij}^{+}}a_{ij,\overline{ij}}(\hat{v}_{ij}-\hat{v}_{\overline{ij}})+\Im_{ij}-D_{ij}y_{ij} \end{split} $$ (45)
                        $$ \!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\! \dot{v}_{ij} = \sum\limits_{\overline{ij}\in{\cal{N}}_{ij}}a_{ij,\overline{ij}}(\hat{{\mu}}_{ij}-\hat{{\mu}}_{\overline{ij}}) $$ (46)

                        其中, $\mu_{ij}\in {\bf{R}}^{3}$$v_{ij}\in {\bf{R}}^{3}$為兩個不同的輔助變量; $ \mu_{ij} $是原始問題(36)在等式約束(37)下預估的拉格朗日因子, 其物理含義是預估的能源(電、熱和氣)市場交易價格; 令$\hat{\mu}_{ij}\approx \mu_{ij}\left(t_{ij}^{k}\right)$$\hat{v}_{ij}\approx v_{ij}\left(t_{ij}^{k}\right)$, $t\in \left[t_{ij}^{k}, t_{ij}^{k+1}\right)$, 表示當前最新的更新狀態. $\left\{t_{ij}^{k}|k = 1,2,\cdots\right\}$表示觸發時刻, 且僅在這一時刻參與者$ ij $與其鄰居節點產生通信交互.

                        在不影響算法收斂性能的基礎上, 如何恰當的設計觸發機制來決定觸發時刻的發生是其關鍵所在. 此外, 為了盡可能地增大觸發間隙(即, 相鄰兩次觸發時刻之間的時間間隔$ t_{ij}^{k+1}-t_{ij}^{k} $), 并有效避免奇諾行為(即在有限時間內進行無限次觸發)的發生, 本文引入一個外部的輔助變量$z_{ij}\in {\bf{R}}^{3}$. 其動態行為設計如下:

                        $$ \begin{split} \dot{z}_{ij} =& -{\flat}_{1,ij}z_{ij}+{\flat}_{2,ij}\bigg{(}{\flat}_{3,ij}\sum\limits_{\overline{ij}\in {\cal{N}}_{ij}^{+}}a_{ij,\overline{ij}}||\hat{\mu}_{ij}-\hat{\mu}_{\overline{ij}}||^{2}-\\ &\flat_{4,ij}||(\hat{\mu}_{ij}-\mu_{ij})||^{2}-\flat_{5,ij}||(\hat{v}_{ij}-v_{ij})||^{2}\bigg{)} \\[-10pt] \end{split}$$ (47)

                        其中, 觸發系數滿足$ \flat_{1,ij}>0 $, $ 0<\flat_{2,ij}<1 $, $\flat_{3,ij} = {h_{1}}/{4}$, $\flat_{4,ij} = {h_{1}}/{2\wp_{ij}}+5h_{1}\varpi_{ij}^{+}+4h_{2}\varpi_{ij}^{+}$, $\flat_{5,ij} = 5h_{2} \varpi_{ij}^{+}+ 4h_{1} \varpi_{ij}^{+}$; 參數$ h_{1}, h_{2}>0 $滿足$3h_{1}\lambda_{2}-h_{2}\lambda_{2}- 4 > 0$, $3h_{2} \lambda_{2}- h_{1}\lambda_{2}-4 > 0$, $ h_{1}\wp_{ij}-h_{2}^{2}>0 $. 令$ z_{ij} $的初值$z_{ij} (t_0) > 0$.

                        結合式(44)~(47), 在本文采用的觸發函數如下:

                        $$ \begin{split} \aleph_{ij} =&\;\flat_{6,ij}\bigg{(}\flat_{4,ij}||(\hat{\mu}_{ij}-\mu_{ij})||^{2}+\flat_{5,ij}||(\hat{v}_{ij}-v_{ij})||^{2}-\\ &\flat_{3,ij}\sum\limits_{\overline{ij}\in {\cal{N}}_{ij}^{+}}a_{ij,\overline{ij}}||\hat{\mu}_{ij}-\hat{\mu}_{\overline{ij}}||^{2}\bigg{)}-z_{ij} \\[-20pt] \end{split}$$ (48)

                        其中, 觸發系數$\flat_{6,ij} > ({1-\flat_{2,ij}})/{\flat_{1,ij}}$.

                        對于每一個參與者, 時刻監視觸發函數的變化, 一旦$ \aleph_{ij}>0 $便觸發通信, 并利用與鄰居交互的信息及自身采樣信息來更新本地的相關變量. 采用這種通信方式, 每個參與者僅需要在必要的時刻與鄰居進行通信, 且通信的變量僅包括設計的輔助變量, 并不涉及決策變量$ y_{ij} $的信息. 因此, 所提出方法并不依賴于全局同步時鐘的要求, 且兼具有較高的隱私性, 適用于綜合能源系統的大規模推廣.

                        1. 算法(44)~(46)適用于解決一般的凸優化問題, 其形式如式(36)和式(37)所示. 在綜合能源系統中, 網絡拓撲因素對整體的協同優化結果產生影響. 若考慮這些因素后系統的模型仍然可以被抽象建模為式(36)和式(37)的形式, 那么算法(44)~(46)可以進一步被拓展用于解決含網絡拓撲因素的協同能源管理問題. 如, 可以將部分網絡拓撲限制建模并歸結為本地的不等式約束. 本地不等式約束則可以轉換成$ y_{ij}\in \Upsilon_{ij} $的形式, 進而可以利用所提算法加以解決.

                        2. 與文獻[26-30]相對比, 本文所提方法同樣可以以完全分布式方式解決綜合能源系統的協同能源管理問題. 但不同的是, 文獻[26-30]中所提方法建立在同步周期的通信策略基礎之上. 而本文所提方法嵌入了異步動態事件觸發通信策略, 可以使得每個參與者僅在必要的觸發時刻與鄰居產生通信交互, 并不依賴于全局同步時鐘這一強的假設條件. 因此, 所提出方法具有更強的靈活性. 與文獻[24-25]相比, 盡管這些研究將事件觸發策略引入到電力系統的經濟調度問題中, 但其所采用的方法僅適用于含有單一電力網絡的協同優化上, 并不適用于解決含有多種耦合特點的綜合能源系統的協同能源管理問題. 此外, 本文通過設計輔助變量$ z_{ij} $(如式(47)所示), 提出的是一種動態的事件通信策略. 而文獻[24-25]采用的是靜態的事件觸發通信策略. 若將$ z_{ij} $設置為零, 那么本文方法將退化為一種靜態的觸發形式. 由于$ z_{ij}>0 $, 動態的事件通信方式相比靜態的方式具有更長的觸發間隙, 可以進一步減少通信觸發次數.

                      • 本節首先驗證算法(44)~(46)的平衡點即為最優點, 進而基于李雅普諾夫穩定理論進一步驗證該算法的收斂性.

                        首先, 令$ Y $, $ U $, $ V $, $ \hat{U} $, $ \hat{V} $分別表示$ y_{ij} $, $ \mu_{ij} $, $ v_{ij} $, $ \hat{\mu}_{ij} $$ \hat{v}_{ij} $的列向量形式. 算法(44)~(46)可以改寫為以下矩陣形式

                        $$ \!\!\! \dot{Y} = \Pi _{{\Upsilon}}(Y,-\nabla F(Y)+D^{T}\hat{V})\quad\quad\quad $$ (49)
                        $$ \!\!\!\dot{U} = -(L\otimes I_{3})\hat{U}-(L\otimes I_{3})\hat{V}+\Im-DY $$ (50)
                        $$ \!\!\! \dot{V} = (L\otimes I_{3})\hat{U}$$ (51)

                        其中, $ \nabla F(Y) $$ \Im $分別表示$ \nabla F(y_{ij}) $$ \Im_{ij} $的列向量形式.

                        在平衡點處, 我們有

                        $$ 0_{3N} = \Pi _{{\Upsilon}}(Y^{*},-\nabla F(Y^{*})+D^{T}{V}^{*}) $$ (52)
                        $$ 0_{3N} = -(L\otimes I_{3})U^{*}-(L\otimes I_{3}){V}^{*}+\Im-DY^* $$ (53)
                        $$ 0_{3N} = (L\otimes I_{3})U^{*} $$ (54)

                        本文假設$ {\cal{G}} $為強連通平衡圖. 因此, 根據文獻[32]中定理6可知, ${1}_{N}^{{\rm{T}}}L = L{1}_{N} = {0}_{N}$. 進而根據式(54), 可得

                        $$ U^{*} = 1_{N}\otimes\mu^{*} $$ (55)

                        其中, $\mu^{*}\in {\bf{R}}^{3}$為所有$ \mu_{ij} $在平衡點時的值.

                        式(53)左乘$1_{N}^{{\rm{T}}}\otimes I_{3}$可以得到

                        $$\begin{split} & \left(1_{N}^{{\rm{T}}}\otimes I_{3}\right)\Im = \left(1_{N}^{{\rm{T}}}\otimes I_{3}\right)DY^*\Rightarrow \\ &\quad\quad\quad\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{\varrho_{i}}D_{ij}y_{ij}^{*} = \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{\varrho_{i}}\Im_{ij} \end{split} $$ (56)

                        根據文獻[34]中引理2.1, 式(52)意指

                        $$ -F\left(y_{ij}^{*}\right)+D_{ij}^{{\rm{T}}}\mu_{ij}^{*}\in c_{\Upsilon_{ij}}\left(y_{ij}^{*}\right), \;y_{ij}^{*}\in \Upsilon_{ij} $$ (57)

                        式(55)~(57)即為最優化問題(36)和(37)的最優性條件. 最優性條件詳細參見文獻[35]中定理3.34. 基于上述分析可知, 算法(44)~(46)的平衡點即為最優點. 因此, 只要算法收斂, 收斂時的值即為最優解.

                        接下來, 我們進一步驗證所提算法的收斂性. 為了便于分析, 采用如下坐標變換:

                        $$ \begin{array}{l} {\cal{Y}}: = Y-Y^{*},\;\theta: = ([r, {\cal{R}}]^{{\rm{T}}}\otimes I_{3}){\cal{Y}} \\ {\cal{U}}: = U-U^{*},\;\zeta: = ([r, {\cal{R}}]^{{\rm{T}}}\otimes I_{3}){\cal{U}},\;e = \hat{\zeta}-\zeta\\ {\cal{V}}: = V-V^{*},\;\delta: = ([r, {\cal{R}}]^{{\rm{T}}}\otimes I_{3}){\cal{V}},\;f = \hat{\delta}-\delta \end{array}$$

                        其中, $ \theta $, $ \zeta $$ \delta $表示新的變量; $ e $$ f $為定義的輔助變量; 為了便于收斂性分析, 我們進一步將這些變量分塊表示為$ \theta = col(\theta_{1},\theta_{2:N}) $, $ \zeta = col(\zeta_{1},\nu_{2:N}) $, $\delta \!=\! col(\delta_{1},\delta_{2:N})$, $e \!=\! col(e_{1},e_{2:N})$$f \!=\! col(f_{1}, f_{2:N})$, $r \!=\! \dfrac{1}{\sqrt{N}}{1}_{N}$, $r^{{\rm{T}}}{\cal{R}} \!=\! {0}_{N}^{{\rm{T}}}{N}^{{\rm{T}}}$, ${\cal{R}}{\cal{R}}^{{\rm{T}}} \!=\! I_{N}\!-\!\dfrac{1}{n}{1}_{N}{1}_{N}^{{\rm{T}}}$${\cal{R}}^{{\rm{T}}} {\cal{R}} = I_{N-1}$.

                        結合式(43)和動態方程(44)~(46), 新變量下的狀態方程可描述為

                        $$ \!\!\!\!\!\!\dot{\theta}_{1} = D^{{\rm{T}}}(\zeta_{1}+e_{1})-(r^{{\rm{T}}}\otimes I_{3})\Omega $$ (58)
                        $$ \!\!\!\!\!\! \dot{\theta}_{2:N} = D^{{\rm{T}}}(\zeta_{2:N}+e_{2:N})-({\cal{R}}^{{\rm{T}}}\otimes I_{3})\Omega $$ (59)
                        $$ \!\!\!\!\!\! \dot{\zeta}_{1} = -\theta_{1} $$ (60)
                        $$ \!\!\!\!\!\!\quad\begin{split} \dot{\zeta}_{2:N} = &-D\theta_{2:N}-({\cal{R}}^{{\rm{T}}}L{\cal{R}}\otimes I_{3})(\zeta_{2:N}+e_{2:N})\;-\\ &({\cal{R}}^{{\rm{T}}}L{\cal{R}}\otimes I_{3})(\delta_{2:N}+f_{2:N}) \\[-10pt] \end{split} $$ (61)
                        $$ \!\!\!\!\!\!\dot{\delta}_{1} = 0 $$ (62)
                        $$ \!\!\!\!\!\! \dot{\delta}_{2:N} = ({\cal{R}}^{{\rm{T}}}L{\cal{R}}\otimes I_{3})(\zeta_{2:N}+e_{2:N}) $$ (63)

                        其中, $\Omega \;=\; \nabla F({\cal{Y}}+Y^{*})\;-\;\nabla F(Y^{*})\;-\;\Xi_{\Upsilon}(Y^{*})\;+\; \Xi_{\Upsilon}(Y),$ $ \Xi_{\Upsilon}(Y) $$ \Xi_{\Upsilon}(Y^{*}) $分別為$ o_{ij}(y_{ij})\pi_{ij}(y_{ij}) $$o_{ij}(y_{ij}^{*})\pi_{ij} (y_{ij}^{*})$的列向量形式, $ \nabla F({\cal{Y}}+Y^{*}) = F(Y) $, $ \nabla F(Y^{*}) $表示$ F(y_{ij}^{*}) $的列向量形式.

                        構建如下李雅普諾夫函數

                        $$ \begin{split} \mathbb{V} =&\; \dfrac{1}{2}h_{1}\left(||\theta||^{2}+||\zeta||^{2}+||\delta_{2:N}||^{2}\right)+\\ &\dfrac{1}{2}h_{2}\left( ||\delta_{2:N}||^{2} +||\zeta_{2:N}+\delta_{2:N}||^{2}\right)+\\ &\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{\varrho_{i}}z_{ij} \end{split}$$ (64)

                        根據所設計的觸發函數(48)及其相應的觸發策略, 可知$ \aleph_{ij}\leq0 $是恒成立的. 進而根據式(47), 可以得

                        $$ \dot{z}_{ij}\geq-\left(\flat_{1,ij}+\dfrac{\flat_{2,ij}}{\flat_{6,ij}}\right)z_{ij} $$ (65)

                        式(65)意指

                        $$ z_{ij}\geq z_{ij}(t_0){\rm{e}}^{-\left(\flat_{1,ij}+\frac{\flat_{2,ij}}{\flat_{6,ij}}\right)}>0 $$ (66)

                        結合式 (66), 在強凸函數和強聯通平衡圖的假設條件下, $ \mathbb{V} $沿著軌跡(47), (58)~(63)的導數滿足:

                        $$ \begin{split} \dot{\mathbb{V}} =& -h_{1}{\cal{Y}}^{{\rm{T}}}\Omega-\frac{1}{2}h_{1}\zeta_{2:N}^{{\rm{T}}}\left({\cal{R}}^{{\rm{T}}}\breve{L}{\cal{R}}\otimes I_{3}\right)\zeta_{2:N}\;-\\ &h_{2}\left(\zeta_{2:N}^{{\rm{T}}}+\delta_{2:N}^{{\rm{T}}}\right)D\theta_{2:N}+h_{1}\theta^{{\rm{T}}}D^{{\rm{T}}} e-\\ &h_{1}\zeta_{2:N}^{{\rm{T}}}\left({\cal{R}}^{{\rm{T}}}\breve{L}{\cal{R}}\otimes I_{3}\right)\left(\dfrac{1}{2}\zeta_{2:N}+e_{2:N}\right)+\\ &(h_{1}+h_{2})\delta_{2:N}^{{\rm{T}}}\left({\cal{R}}^{{\rm{T}}}\breve{L}{\cal{R}}\otimes I_{3}\right) e_{2:N}-\\ &h_{2}\delta_{2:N}^{{\rm{T}}}\left({\cal{R}}^{{\rm{T}}}\breve{L}{\cal{R}}\otimes I_{3}\right) \left(\frac{1}{2}\delta_{2:N}+f_{2:N}\right)-\\ &(h_{1}+h_{2})\zeta_{2:N}^{{\rm{T}}}\left({\cal{R}}^{{\rm{T}}}\breve{L}{\cal{R}}\otimes I_{3}\right) f_{2:N}\;- \\ &\dfrac{1}{2}h_{2}\delta_{2:N}^{{\rm{T}}}\left({\cal{R}}^{{\rm{T}}}\breve{L}{\cal{R}}\otimes I_{3}\right) \delta_{2:N}+\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{\varrho_{i}}\dot{z}_{ij}\leq-\\ &{\cal{Y}}^{{\rm{T}}}\vec{\wp}{\cal{Y}}-\left(\frac{3}{8}h_{1}\lambda_{2}-\frac{1}{8}h_{2}\lambda_{2}-\frac{1}{2}\right)\zeta_{2:N}^{{\rm{T}}}\zeta_{2:N}\;-\\ &\left(\dfrac{3}{8}h_{2}\lambda_{2}-\frac{1}{8}h_{1}\lambda_{2}-\frac{1}{2}\right)\delta_{2:N}^{{\rm{T}}}\delta_{2:N}\;-\\ &\dfrac{1}{2}h_{2}\left(V-V^{*}\right)^{{\rm{T}}}\left(\breve{L}\otimes I_{3}\right)(V-V^{*})\;-\\ &\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{\varrho_{i}}\left(\flat_{1,ij}-\dfrac{1-\flat_{2,ij}}{\flat_{6,ij}}\right){z}_{ij}<0\\[-20pt] \end{split} $$ (67)

                        其中, $\vec{\wp} = {\rm{diag}}\{h_{1}\wp_{ij}-h_{2}^{2}\}$. 根據李雅普諾夫穩定性定理(詳見文獻[36]中定理4.1), 動態系統(44)~(47)在所設計的觸發條件下是收斂的.

                      • 本節將從理論上驗證本文所提方法可以有效避免奇諾(Zeno)行為的發生. 根據式(45)和式(46), $ ||(\hat{\mu}_{ij}-\mu_{ij})|| $$ ||(\hat{v}_{ij}-v_{ij})|| $的右邊導數分別滿足:

                        $$ \begin{split} & \dfrac{{\rm{d}}^{+}}{{\rm{d}}t}||\left(\hat{\mu}_{ij}-\mu_{ij}\right)||\leq||\sum\limits_{\overline{ij}\in{\cal{N}}_{ij}^{+}}a_{ij,\overline{ij}}\left(\hat{\mu}_{ij}-\hat{\mu}_{\overline{ij}}\right)||+\\ &\quad\quad||\!\sum\limits_{\overline{ij}\in{\cal{N}}_{ij}^{+}}a_{ij,\overline{ij}}\left(\hat{v}_{ij}\!-\!\hat{v}_{\overline{ij}}\right)||\!+\!||\Im_{ij}\!-\!D_{ij}y_{ij}||=\jmath_{ij,\mu} \\[-10pt] \end{split} $$ (68)
                        $$ \begin{split} &\dfrac{{\rm{d}}^{+}}{{\rm{d}}t}||\left(\hat{v}_{ij}\!-\!v_{ij}\right)||\leq ||\sum\limits_{\overline{ij}\in{\cal{N}}_{ij}^{+}}a_{ij,\overline{ij}}\left(\hat{{\mu}}_{ij}\!-\!\hat{{\mu}}_{\overline{ij}}\right)||=\jmath_{ij,v} \\[-10pt] \end{split}$$ (69)

                        基于上式可進一步得到

                        $$ \begin{split} &| \flat_{4,ij}||\left(\hat{\mu}_{ij}-\mu_{ij}\right)||^{2}+\flat_{5,ij}||(\hat{v}_{ij}-v_{ij})||^{2}\leq\\ & \quad\quad\left(\flat_{4,ij}\jmath_{ij,\mu}^{2}+\flat_{5,ij}\jmath_{ij,v}^{2}\right)(t-t_{ij}^{k})^{2} \end{split}$$ (70)

                        結合式(66)和式(70), 在下一次觸發時刻$ t_{ij}^{k+1} $, 我們有

                        $$ \begin{split} &\flat_{6,ij}\left(\flat_{4,ij}\jmath_{ij,\mu}^{2}+\flat_{5,ij}\jmath_{ij,v}^{2}\right)\left(t_{ij}^{k+1}-t_{ij}^{k}\right)^{2}\geq\\& z_{ij}(t_0){\rm{e}}^{-\left(\flat_{1,ij}+\frac{\flat_{2,ij}}{\flat_{6,ij}}\right)} \end{split} $$ (71)

                        根據式(66)及參數$ \flat_{4,ij} $, $ \flat_{5,ij} $$ \flat_{6,ij} $的定義, 易知$ t_{ij}^{k+1}-t_{ij}^{k}>0 $. 因此, 本文所提方法可避免奇諾行為.

                      • 為了驗證所提方法的可行性和有效性, 本節在一個由5個能源體構成的綜合能源測試系統上進行仿真分析. 系統結構如圖1所述, 其來源于文獻[26]. 每個參與者的入度和出度均設置為2, 隨機生成一個有向的權重平衡圖. 仿真系統中各個參數, 包括每一個參與者的成本函數或使用函數及相應約束限制等均與文獻[26]完全相同, 在此不再贅述.

                        圖  1  測試系統

                        Figure 1.  Test system

                        不失一般性, 對于每一個參與者, 采用相同的觸發參數, 并設置為$ \flat_{1,ij} = 0.5000 $, $ \flat_{2,ij} = 0.5000 $, $\flat_{3,ij} \!=\! 1.4325$, $\flat_{4,ij} \!=\! 95.5632$, $\flat_{5,ij} \!=\! 93.4400$$\flat_{6,ij} \!=\! 1.2000$, $ \forall ij\in \mathbb {V} $. 此外, 本文在MATLAB環境下編寫所提出算法的運行程序. 仿真中, 本文采用統一化能量標度. 對于電或者熱, 令1 p.u. = 1 MW; 對于燃氣,令1 p.u. = 84 SCM/h; $ \; $對于價格, 令1 p.u. = 1$ \$/MWh. 能源體1~5中各能源負載的必須運行電、熱和氣負載部分分別設置為 [150 (p.u.), 124 (p.u.), 50 (p.u.)],[105 (p.u.), 150 (p.u.), 60 (p.u.)], [85 (p.u.), 135 (p.u.), 80 (p.u.)], [100 (p.u.), 90 (p.u.), 50 (p.u.)]和[50 (p.u.),140 (p.u.), 0 (p.u.)]. 此外, 所有參與者的外部輔助變量$ z_{ij} $的初值均設置為1. 其余變量的初值均設置為0 (與文獻[26]相同).

                      • 執行本文所提出的算法后, 各個參與者預估的電、熱和氣價格, 能源生產/需求, 全局供需不平衡及事件觸發的序列繪制于圖2~6中. 從圖2中可以發現, 電、熱和氣三種能源的全局供需不匹配程度(即全局的供需之差)均逐漸收斂到零. 這一結果表明全局的供需已達到平衡. 圖3(a), 4(a)5(a)分別展示了每個參與者本地預估的電、熱和氣的市場成交價格, 也就是三維輔助變量$ \mu_{ij} $對應于每個維度分量的收斂結果. 可以發現, 電、熱和氣三種能源預估的交易價格分別收斂到三個不同的值. 最終收斂值分別是$ 32.6884 $(p.u.), $ 23.6611 $(p.u.), $ 15.2825 $(p.u.), 這一結果與文獻[26]完全相同. 與此同時, 從圖3(b), 4(b)5(b)可以發現, 每個參與者本地預估的電、熱和氣的生產或需求也均收斂到相應的穩定狀態. 上述結果表明, 采用本文所提算法, 可以使得每一個參與者逐步收斂到本地的最優運行點, 進而驗證了理論結果的正確性.

                        圖  2  能源供需不匹配

                        Figure 2.  Energy supply/demand mismatch

                        圖  3  與電相關的變量收斂軌跡

                        Figure 3.  The convergence trajectories for the variables related to electricity power

                        圖  4  與熱相關的變量收斂軌跡

                        Figure 4.  The convergence trajectories for the variables related to heat

                        圖  5  與氣相關的變量收斂軌跡

                        Figure 5.  The convergence trajectories for the variables related to gas

                        圖  6  事件觸發序列

                        Figure 6.  Event-triggered instants

                        此外, 由于采用的測試系統中參與者數量較多, 本文僅在圖6中選取每個能源體中第1個參與者(即編號N11, N21, N31, N41和N51)的事件觸發時刻序列進行展示說明. 圖中的每一個圓圈標記符號都代表一個事件觸發時刻. 即在此時刻相應的參與者會向其鄰居智能體發送它的狀態信息. 仿真結果表明, 盡管本文采用的是連續時間優化算法, 但每個參與者可以在離散時刻進行通信. 因此, 可以極大地減少通信壓力和通信成本. 更重要的是, 每個參與者采用的是一種異步通信的方式, 因此可以有效的避免周期通信中對于全局同步時鐘的依賴.

                      • 本節主要驗證所提算法在不同的調度時間段下運行的可行性和有效性. 仿真中假設在${t_1 }= 100\;{\rm{s}}$時進入到下一個調度周期. 在這一調度周期下, 令全部的必須運行負載增加20%. 執行所提算法后的仿真結果如圖7所示. 可以發現每個參與者可以自動的調整本地的輸出或者需求來響應這一變化, 并收斂于新的穩定狀態. 進而在${t_2} = 200\;{\rm{s}}$時再次進入下一個調度周期. 在此周期下, 我們令全部的必須運行負載減少20%. 通過觀察圖7可以發現, 在新的調度周期下系統再次收斂到新的平衡狀態. 上述仿真結果表明, 本文所提出方法可以自動的運行在不同的調度時段, 以響應系統隨時間變化而發生的改變.

                        圖  7  能源輸出/需求

                        Figure 7.  Energy output/demand

                      • 本文針對綜合能源系統的協同能源管理問題展開研究. 通過設計外部輔助變量并嵌入事件觸發通信策略, 本文提出了一種同時具有離散通信, 異步執行和分布式實施功能的分布式優化算法來實現多種能源網絡中各參與者之間的協同優化調度. 所提出算法具有較強的靈活性, 隱私性和可大面積拓展性, 適用于實際系統應用. 最后, 本文將所提算法應用于一個由能源體組成的測試系統中進行仿真分析, 仿真結果表明所提算法可以收斂到全局最優解, 且各個參與者是以異步且離散通信方式進行信息交互, 驗證了算法的可行性.

                    參考文獻 (36)

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