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                    高階系統方法—Ⅲ.能觀性與觀測器設計

                    段廣仁

                    段廣仁. 高階系統方法—Ⅲ.能觀性與觀測器設計. 自動化學報, 2020, 46(9): 1885-1895. doi: 10.16383/j.aas.c200370
                    引用本文: 段廣仁. 高階系統方法—Ⅲ.能觀性與觀測器設計. 自動化學報, 2020, 46(9): 1885-1895. doi: 10.16383/j.aas.c200370
                    DUAN Guang-Ren. High-order System Approaches: Ⅲ. Observability and Observer Design. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2020, 46(9): 1885-1895. doi: 10.16383/j.aas.c200370
                    Citation: DUAN Guang-Ren. High-order System Approaches: Ⅲ. Observability and Observer Design. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2020, 46(9): 1885-1895. doi: 10.16383/j.aas.c200370

                    高階系統方法—Ⅲ.能觀性與觀測器設計


                    DOI: 10.16383/j.aas.c200370
                    詳細信息
                      作者簡介:

                      段廣仁??中國科學院院士, 國家杰出青年基金獲得者, 長江學者特聘教授, CAA Fellow, IEEE Fellow, IET Fellow. 1989年獲哈爾濱工業大學博士學位, 1991年起任哈爾濱工業大學教授, 現為哈爾濱工業大學控制理論與制導技術研究中心主任.主要研究方向為控制系統的參數化設計, 魯棒控制, 廣義系統, 航天器制導與控制.E-mail: g.r.duan@hit.edu.cn

                    • 本文責任編委??賀威
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                    High-order System Approaches: Ⅲ. Observability and Observer Design

                    More Information
                      Author Bio:

                      DUAN Guang-Ren??Academician of the Chinese Academy of Sciences, winner of the National Science Fund for Distinguished Young Scholars, Distinguished Professor of Chang Jiang Scholars Program, CAA Fellow, IEEE Fellow and IET Fellow. He received his Ph. D. degree from Harbin Institute of Technology in 1989, and has been professor at Harbin Institute of Technology since 1991. He is currently the director of the Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology. His research interest covers parametric design of control systems, robust control, descriptor systems, spacecraft guidance and control

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                    出版歷程
                    • 收稿日期:  2020-06-15
                    • 錄用日期:  2020-07-15
                    • 刊出日期:  2020-09-28

                    高階系統方法—Ⅲ.能觀性與觀測器設計

                    doi: 10.16383/j.aas.c200370
                      基金項目:

                      國家自然科學基金重大項目 61690210

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                      作者簡介:

                      段廣仁??中國科學院院士, 國家杰出青年基金獲得者, 長江學者特聘教授, CAA Fellow, IEEE Fellow, IET Fellow. 1989年獲哈爾濱工業大學博士學位, 1991年起任哈爾濱工業大學教授, 現為哈爾濱工業大學控制理論與制導技術研究中心主任.主要研究方向為控制系統的參數化設計, 魯棒控制, 廣義系統, 航天器制導與控制.E-mail: g.r.duan@hit.edu.cn

                    • 本文責任編委??賀威

                    摘要: 平行于第Ⅰ部分中提出的非線性系統的全驅性概念, 本文提出了非線性系統的全量測性概念.首先給出了非線性系統的一種能觀規范型, 并證明了任何與該類非線性系統能觀規范型等價的系統, 以及任何能觀的線性系統, 都等價于一個高階全量測系統.然后據此提出了一般動態系統的完全能觀性定義, 同時指出線性系統的完全能觀性等同于其通常意義下的能觀性.最后提出了非線性全量測系統觀測器設計的一種簡潔方法.基于這種設計, 可以使觀測誤差系統為線性定常系統, 并且可以任意配置其特征多項式的系數矩陣.

                    本文責任編委??賀威

                    English Abstract

                    段廣仁. 高階系統方法—Ⅲ.能觀性與觀測器設計. 自動化學報, 2020, 46(9): 1885-1895. doi: 10.16383/j.aas.c200370
                    引用本文: 段廣仁. 高階系統方法—Ⅲ.能觀性與觀測器設計. 自動化學報, 2020, 46(9): 1885-1895. doi: 10.16383/j.aas.c200370
                    DUAN Guang-Ren. High-order System Approaches: Ⅲ. Observability and Observer Design. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2020, 46(9): 1885-1895. doi: 10.16383/j.aas.c200370
                    Citation: DUAN Guang-Ren. High-order System Approaches: Ⅲ. Observability and Observer Design. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2020, 46(9): 1885-1895. doi: 10.16383/j.aas.c200370
                      • 文獻[1]指出了基于一階系統方法的卡爾曼能控性體系的一些問題, 然后證明了線性定常系統能控的充要條件是它能化成一個高階全驅系統, 并將這一結果在一定程度上推廣到非線性系統的情形, 進而定義了一般動態系統的完全能控性, 明確其重要意義在于存在控制律使得閉環系統為一線性定常的高階系統, 并且可以任意配置閉環特征多項式的系數矩陣.本文旨在獲得與文獻[1]相對應的能觀性方面的結果.

                        非線性系統的能觀性和觀測器設計是兩個密切相關的問題, 受到了國內外學者廣泛關注.

                      • 對于"線性+擾動"形式的系統, 文獻[2]給出了系統局部能觀的充分條件, 并證明當這個條件成立時狀態估計問題有解.對于無輸入非線性系統, 文獻[3]在某種"正"假設下給出了系統局部能觀和局部正能觀的充要條件.

                        仿射非線性系統是非線性系統中備受關注的一類.若仿射非線性系統可以在平衡點線性化, 且其線性化部分能觀, 則原系統亦完全能觀[4].對于一類具有仿射結構的非線性大系統, 文獻[5]指出其弱能觀的充要條件是各個子系統均弱能觀, 但文中給出的子系統弱能觀性的秩條件仍只是充分條件.關于具有分布式仿射結構的系統, 其狀態弱局部能觀的充分條件可見文獻[6], 該條件是傳統秩條件的推廣.

                        一般的不具備仿射結構的系統的能觀性問題是很難的[7], 文獻[8]給出了弱能觀的一個秩判據; 關于一類隱函數形式的一般非線性系統, 文獻[9]給出了系統局部能觀的充分條件.綜述論文[7]總結了非線性系統能觀性判別的一些已有研究成果, 并著重介紹了一類特殊的非線性系統, 即Morse-Smale系統, 給出了能觀的充分條件.

                        除上述結果之外, 許多相關問題也得到了研究, 如非線性系統的范數能觀性[10]、具有非線性范德波爾邊界條件的一維波動方程的邊界能觀性[11]、能控能觀標準分解與最小實現問題[12]等.另外, 離散時間系統的能觀性也得到關注[13-15], 文獻[15]還考慮了狀態和控制存在時滯的情形.非線性系統的能觀性分析方法也被應用到了一些實際系統上[16].

                        在一階狀態空間系統框架下的能控性和能觀性的定義依賴于系統的解.這一根本性出發點決定了問題的難度, 因為一般的非線性系統的解在過去、現在和未來都是大難題.這也注定了上述關于能觀性分析各種結果的局限性.

                      • 關于非線性系統的觀測器設計, 許多研究都集中在特殊的系統上[7].關于仿射系統的狀態觀測器設計問題, 文獻[17]建立了存在條件, 并討論了具體的構造方法.針對一類特殊的下三角系統的觀測器設計問題, 文獻[18]基于一致能觀的假設, 提出了一種遞歸設計方法.對于沒有控制輸入的非線性自治系統, 文獻[19]首先定義了一種標準型, 然后提出了一種基于此標準型的觀測器設計方法; 文獻[20]則研究了局部觀測器設計問題, 在較強的假設條件下設計了局部觀測器, 可以使觀測誤差系統以任意快的速度收斂, 且不需要計算能觀性映射的逆.關于非線性系統狀態觀測器設計的其他一些方法及其假設條件和設計步驟可見綜述論文[7].

                        關于離散非線性系統的觀測器設計問題, 文獻[21]證明了當系統的初始狀態和控制輸入在一個緊集中時, 傳統理論中所要求的一致能觀性是不必要且可以被放寬的.另外, 與觀測器設計相關的動態補償器設計問題也得到了討論[4].

                        總體來說, 與一階系統方法下的非線性系統控制器設計問題一樣, 一階系統方法下的非線性系統觀測器設計問題也無法回避非線性的影響.因此, 很多情況下只能獲得局部性的結果, 對于一些復雜非線性的情況, 可能連局部性的結果也無法得到.

                      • 根據動量(矩)定理和拉格朗日方程所建立的物理系統的原始模型都是二階或高階的[22-23], 基于狀態空間的一階系統方法[24]把它們化成一階系統處理, 為控制系統的響應分析問題帶來了很大的方便, 但對于控制系統的能控、能觀性分析所帶來的益處卻不明顯.

                        控制系統的能控、能觀性定義完全局限于基于狀態空間描述的一階系統上, 自然也導致人們在這方面的工作也局限在一階系統的框架之下.其優點是為數學工具的介入提供了方便.現有許多控制系統的能控、能觀性分析工作, 從問題描述、理論推導到結果表達, 都使用了抽象數學工具, 但不足是所得的結果難以理解, 距離實際應用較遠, 另外實用性也不明確.

                        20世紀80年代初期, 有人將非線性系統能控、能觀性等方面的一些研究描述成"是相對無害的活動.充滿了許多愉快的意外和輕微的失望, 而最終則是白費力氣"[25-26], "非線性系統的能控性(結果)和鎮定之間的關系是不明顯的"[25-27]. 1994年的綜述論文[28]也指出, "弱能觀性和局部能觀性都有實際的應用意義, 但是至今我們還不能將這種能觀性定義和系統的觀測器設計聯系起來".雖然二十多年過去了, 但這種局面并沒有太大改變.

                        本文打破一階系統方法框架的束縛, 將動態系統的能觀性與高階系統的全量測性聯系起來, 定義了一般非線性動態系統的完全能觀性, 并給出了完全能觀非線性系統觀測器設計的有效方法.

                      • 李文林和高為炳[29]將線性系統的能控規范型推廣到非線性系統, 本節模仿文獻[29]將線性系統的能觀規范型推廣到非線性系統.

                      • 對于單輸入非線性系統

                        $$ \begin{align} \label{eq1} \begin{cases} \dot {x}=g(x, t, u), & x\in {\bf R}^n, \;\mbox{ }u\in {\bf R} \\ y=h(x), \;\mbox{ }&y\in {\bf R} \\ \end{cases} \end{align} $$ (1)

                        其中$g(x, t, u)$和$h(x)$均為關于其自變量的光滑函數, 我們定義其下述形式的能觀規范型

                        (2)

                        其中$\alpha_i, ~i=0, 1, \cdots, n-1$為一組實數, $\beta_{i} ({\bar {x}_n}, u), ~i=0, 1, \cdots, n-1 $為充分光滑的標量函數, $y=c( \bar {x}_n) $是由$\bar{x}_n$到$y$的微分同胚, 因此$\bar {x}_n$亦可由輸出$y$完全決定.

                        $$ \begin{align} \label{eq3} \begin{cases}c( \bar{x}_n)=\bar{x}_n= \begin{bmatrix}0&\cdots&0&1 \end{bmatrix}\bar{x}\\ \beta_i ({\bar{x}_n}, u)=\beta_iu, \quad i=0, 1, \cdots, n-1 \end{cases} \end{align} $$ (3)

                        時, 上述系統(2)化為

                        (4)

                        此即為下述單輸入線性定常系統的能觀規范型[30].

                        命題?1.?單輸入線性定常系統

                        $$ \begin{align} \label{eq5} \begin{cases} \dot {x}=Ax+bu, & A\in {\bf R}^{n\times n}, b\in {\bf R}^n \\ y=cx, &c\in {\bf R}^{1\times n} \end{cases} \end{align} $$ (5)

                        能觀的充要條件是其等價于Luenberger第二能觀測規范型(4), 其中$\alpha _{i}, ~i=0, 1, \cdots , n-1 $為矩陣$A$的特征多項式系數, 由下式決定:

                        $$ \begin{align} \label{eq6} \det (sI-A)=s^n+\alpha _{n-1} s^{n-1}+\cdots +\alpha _1 s+\alpha _0 \end{align} $$ (6)

                        $\beta _{i} , ~i=0, 1, \cdots , n-1 $為如下定義的一組常數:

                        $$ \begin{align} \label{eq7} \begin{cases} \beta _{n-1} =cb \\ \beta _{n-2} =cAb+\alpha _{n-1} cb \\ \qquad \qquad\vdots \\ \beta _1 =cA^{n-2}b+\alpha _{n-1} cA^{n-3}b+\cdots +\alpha _2 cb \\ \beta _0 =cA^{n-1}b+\alpha _{n-1} cA^{n-2}b+\cdots +\alpha _1 cb \\ \end{cases} \end{align} $$ (7)

                        線性系統能觀的充要條件是其可以化成Luenberger第二能觀規范型(4), 但是顯然不是所有能觀的非線性系統(1)都能化成上述規范型(2).

                        值得說明的是, 上面定義的非線性系統的能觀規范型(2)具有下述特點:

                        1) 與線性系統的能觀規范型(4)一樣, 其輸出方程只與$\bar{x}_n $有關;

                        2) 狀態方程中的非線性部分也只與$\bar{x}_n $有關.

                      • 對于多輸入多輸出非線性系統

                        $$ \begin{align} \label{eq8} \begin{cases} \dot{x}=g(x, t, u), & x\in {\bf R}^n, \;\mbox{ }u\in {\bf R}^r \\ y=h(x), \;\mbox{ }&y\in {\bf R}^m \end{cases} \end{align} $$ (8)

                        其中$g(x, t, u)$和$h(x)$均為關于其自變量的光滑向量函數, 我們定義其下述形式的能觀規范型

                        $$ \begin{align} \label{eq9} \begin{cases} \dot{\tilde{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+\tilde{B}(\tilde {x}_{1\mu _1} , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m }, u)\\ y=\tilde {C}(\tilde {x}_{1\mu _1} , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m }) \end{cases} \end{align} $$ (9)

                        其中$\mu _i , ~i=1, 2, \cdots, m$為一組正整數, 滿足

                        $$ \begin{align*} \mu _1 +\mu _2 +\cdots +\mu _m =n \end{align*} $$

                        $y=\tilde {C}(\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } )$是由$\tilde {x}_{i\mu _i}, ~i=1, 2, \cdots, m $到$y$的微分同胚,

                        $$ \begin{align} \label{eq10} \tilde {x}= \begin{bmatrix} {\tilde {x}_1 }\\ {\tilde {x}_2 }\\ \vdots\\ {\tilde {x}_m }\\ \end{bmatrix}, \quad \tilde {x}_i =\begin{bmatrix} {\tilde {x}_{i1} }\\ {\tilde {x}_{i2} }\\ \vdots\\ {\tilde {x}_{i\mu _i } }\\ \end{bmatrix}\in {\bf R}^{\mu _i }, \quad y=\begin{bmatrix} {y_1 }\\ {y_2 }\\ \vdots\\ {y_m }\\ \end{bmatrix} \end{align} $$ (10)
                        $$ \begin{align} \label{eq11} \tilde{A}=\begin{bmatrix} {\tilde {A}_{11} }& \cdots& {\tilde {A}_{1m} }\\ \vdots&\ddots& \vdots\\ {\tilde {A}_{m1} }& \cdots& {\tilde {A}_{mm} }\\ \end{bmatrix} \end{align} $$ (11)
                        (12)
                        $$ \begin{align} \label{eq13} \tilde {A}_{ij} =\begin{bmatrix} 0& \cdots& 0& -\alpha_{ij}^0\\ \vdots&\ddots& \vdots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& -\alpha_{ij}^{\mu_j-1}\\ \end{bmatrix}, \quad i\ne j \end{align} $$ (13)
                        $$ \begin{align} \label{eq14} \tilde {B}=\begin{bmatrix} {\tilde {B}_1 (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m };\, \;u)}\\ {\tilde {B}_2 (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)}\\ \vdots\\ {\tilde {B}_m (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)} \end{bmatrix} \end{align} $$ (14)
                        $$ \begin{align} \label{eq15} \tilde {B}_i =\begin{bmatrix} {b_{i0} (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)}\\ {b_{i1} (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)}\\ \vdots\\ {b_{i, \mu _i -1} (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)}\\ \end{bmatrix}\in {\bf R}^{\mu _i } \end{align} $$ (15)

                        同樣, 上述非線性系統的能觀規范型也是線性多輸入多輸出系統能觀規范型的自然推廣.

                        對于下述線性定常系統

                        $$ \begin{align} \label{eq16} \begin{cases} \dot {x}=Ax+Bu \\ y=Cx \\ \end{cases} \end{align} $$ (16)

                        其中$x\in {\bf R}^n$為系統的狀態向量, $A\in {\bf R}^{n\times n}$, $B\in {\bf R}^{n\times r}$, $C\in {\bf R}^{m\times n}$為系統的系數矩陣, 根據線性系統能觀性理論[30]可知下述命題成立.

                        命題?2.??線性系統(16)能觀的充要條件是其代數等價于下述Luenberger第二能觀規范型:

                        $$ \begin{align} \label{eq17} \begin{cases} \dot{\tilde{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+\tilde{B}u \\ y=\tilde{C}\tilde{x} \end{cases} \end{align} $$ (17)

                        其中$\tilde{x}$, $\tilde{A}$由式(10)$\sim$(13)給出, 矩陣$\tilde{B}$, $\tilde{C}$具有下述特殊結構:

                        $$ \begin{align} \label{eq18} \tilde {B}=\begin{bmatrix} {\tilde {B}_1 }\\ {\tilde {B}_2 }\\ \vdots\\ {\tilde {B}_m }\\ \end{bmatrix}, \quad \tilde {B}_i =\begin{bmatrix} {b_{i0} }\\ {b_{i1} }\\ \vdots\\ {b_{i, \mu _i -1} }\\ \end{bmatrix}\in {\bf R}^{\mu _i \times r} \end{align} $$ (18)
                        $$ \begin{align} \label{eq19} \begin{array}{l} \tilde {C}=\begin{bmatrix} {C_1 }& {C_2 }& \cdots& {C_m }\\ \end{bmatrix} \\ C_i =\begin{bmatrix} 0& \cdots& 0& 0\\ \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& 0\\ 0& \cdots& 0& 1\\ 0& \cdots& 0& {c_{i+1, i} }\\ \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& {c_{m, i} }\\ \end{bmatrix}\in {\bf R}^{m\times \mu _i } \\ \end{array} \end{align} $$ (19)

                        由式(19)中矩陣$C$的結構可見, 線性系統能觀標準型(17)中的輸出方程只與一批主向量$\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } $相關.同樣, 非線性系統的能觀規范型(9)$\sim$(15)中的輸出方程也只與這些主向量相關, 而且其狀態方程中的非線性部分也只是這些向量的函數.事實上, 規范型的這一點要求并不苛刻, 文獻[19]已經從理論上證明了許多非線性系統都可以通過狀態變換化成類似的形式.但是, 這一特點卻為我們后面設計完全能觀非線性系統的狀態觀測器提供了極大的方便.

                      • 考慮下述一階系統

                        $$ \begin{align} \label{eq20} \begin{cases} E\dot {x}=f(x, t, u) \\ y=Cx \\ \end{cases} \end{align} $$ (20)

                        其中$x\in {\bf R}^n$為狀態向量, $u\in {\bf R}^r$為輸入向量, $y\in {\bf R}^m$為輸出向量, $f(x, t, u)\in {\bf R}^n$為一關于其自變量足夠光滑的向量函數, $E\in {\bf R}^{n\times n}$為一常數矩陣, 可以是奇異的.

                        如果$m=n, $且系數矩陣$C\in {\bf R}^{n\times n}$可逆, 我們稱上述系統(20)為全量測的.此時系統(20)的狀態全部可由系統的輸出獲得, 因而可以直接用狀態反饋來實現系統的控制.但遺憾的是, 這樣的一階全量測系統現實中并不十分多見.

                        一般情況下, 我們有$m<n$.此時系統的輸出不能直接給出系統狀態的全部信息.在這種情況下, 我們能否把系統(20)轉化成一個高階系統, 使得系統的輸出$y$全部給出高階系統的基礎狀態呢?這種要尋找的系統就是所謂的全量測系統.

                        考慮如下的高階系統

                        $$ \begin{align} \label{eq21} \begin{cases} Ez^{(m)}=f(z, \dot {z}, \cdots , z^{(m-1)};u, \dot {u}, \cdots , u^{(m-1)}) \\ y=C(z, u) \end{cases} \end{align} $$ (21)

                        其中$z\in {\bf R}^n$和$y\in {\bf R}^m$分別為系統的基礎狀態向量和輸出向量; $u\in {\bf R}^r$為輸入向量; $E\in {\bf R}^{n\times n}$為一個常數矩陣, $f(\cdot )\in {\bf R}^n$和$C(\cdot )\in {\bf R}^m$為兩個足夠光滑的向量函數.

                        定義?1.??如果$m=n$且對于任何的$u\in {\bf R}^r$, $ y=C(z, u)$均是由$z$到$y$的微分同胚, 則稱式(21)為一個$m$階全量測系統.

                        本節將證明上節定義的能觀標準型可以等價地化為一個高階全量測系統.這一結論揭示了能觀性的本質.

                      • 下述定理說明單輸入單輸出非線性系統的能觀規范型(2)等價于某一高階全量測系統.

                        定理?1.??單輸入單輸出非線性系統能觀規范型(2)等價于下述高階全量測系統:

                        $$ \begin{align} \label{eq22} \begin{cases} z^{(n)} +\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\alpha _i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\beta _i ^{(i)}(z, u)} \\ y=c(z) \\ \end{cases} \end{align} $$ (22)

                        其中$\alpha _i, ~\beta _i(z, u), ~i=0, 1, \cdots, n-1$, 同能觀規范型(2)中定義, $y=c(z)$是由$z$到$y$的微分同胚.

                        證明.??我們先證明能觀規范型系統(2)可以表示為系統(22)的形式.

                        將式(2)寫成下述分量形式

                        $$ \begin{align} \label{eq23} \begin{cases} \dot{\bar {x}}_1 =-\alpha _0 \bar {x}_n +\beta _0 (\bar {x}_n , u) \\ \dot{\bar {x}}_2 =\bar {x}_1 -\alpha _1 \bar {x}_n +\beta _1 (\bar {x}_n , u) \\ \quad \quad \vdots \\ \dot {\bar {x}}_{n-1} =\bar {x}_{n-2} -\alpha _{n-2} \bar {x}_n +\beta _{n-2} (\bar {x}_n , u) \\ \dot {\bar {x}}_n =\bar {x}_{n-1} -\alpha _{n-1} \bar {x}_n +\beta _{n-1} (\bar {x}_n , u) \end{cases} \end{align} $$ (23)

                        再對上式中的第$i$式求$i-1$階導數, 可得

                        $$ \begin{align} \label{eq24} \begin{cases} \dot {\bar {x}}_1 =-\alpha _0 \bar {x}_n +\beta _0 (\bar {x}_n , u) \\ \ddot {\bar {x}}_2 =\dot {\bar {x}}_1 -\alpha _1 \dot {\bar {x}}_n +\dot {\beta }_1 (\bar {x}_n , u) \\ \quad \vdots \\ \bar {x}^{(n-1)}_{n-1} =\bar {x}^{(n-2)}_{n-2} -\alpha _{n-2} \bar {x}^{(n-2)}_n +\beta _{n-2}^{(n-2)} (\bar {x}_n , u) \\ \bar {x}^{(n)}_n =\bar {x}^{(n-1)}_{n-1} -\alpha _{n-1} \bar {x}^{(n-1)}_n +\beta _{n-1}^{(n-1)} (\bar {x}_n , u) \end{cases} \end{align} $$ (24)

                        將上式中等號兩邊的各項對應相加, 可得

                        $$ \begin{align*} \bar {x}_n^{(n)} +\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\alpha _i \bar {x}_n^{(i)} } =\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\beta _i ^{(i)}} (\bar {x}_n , u) \end{align*} $$

                        最后記$z=\bar {x}_n $, 上式便給出式(22)表述的標準高階全量測系統.

                        另一方面, 設式(22)成立, 往證式(2).

                        $$ \begin{align} \label{eq25} \rho \buildrel \Delta \over = z^{(n)} +\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\alpha _i z^{(i)}} -\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\beta _i ^{(i)}(z, u)} \mbox{=}0 \end{align} $$ (25)

                        再記$\alpha _n =1$, 并取狀態向量如下:

                        $$ \begin{align} \label{eq26} \begin{cases} {\bar {x}_n =z} \\ {\bar {x}_{n-1} =\alpha _n \dot {z}+\alpha _{n-1} z-\beta _{n-1} (z, u)} \\ {\quad \quad \quad \vdots } \\ {\bar {x}_2 =\sum\limits_{i=2}^n {\alpha _i z^{(i-2)}} -\sum\limits_{i=2}^{n-1} {\beta _i ^{(i-2)}} (z, u)} \\ {\bar {x}_1 =\sum\limits_{i=1}^n {\alpha _i z^{(i-1)}} -\sum\limits_{i=1}^{n-1} {\beta _i ^{(i-1)}} (z, u)} \\ \end{cases} \end{align} $$ (26)

                        利用式(26)中各式和式(25)容易驗證

                        $$ \begin{align*} \begin{cases} \dot {\bar {x}}_1 -\rho =-\alpha _0 \bar {x}_n +\beta _0 (z, u) \\ \dot {\bar {x}}_2 -\bar {x}_1 =-\alpha _1 \bar {x}_n +\beta _1 (z, u) \\ \quad \quad \quad \vdots \\ \dot {\bar {x}}_{n-1} -\bar {x}_{n-2} =-\alpha _{n-2} \bar {x}_n +\beta _{n-2} (z, u) \\ \dot {\bar {x}}_n -\bar {x}_{n-1} =-\alpha _{n-1} \bar {x}_n +\beta _{n-1} (z, u) \\ \end{cases} \end{align*} $$

                        此即是規范型(2)的分量形式.

                        借助于命題1, 我們易得定理1的下述推論.

                        推論?1.??單輸入單輸出線性系統(5)能觀的充要條件是其等價于下述高階全量測系統

                        $$ \begin{align} \label{eq27} \begin{cases} z^{(n)} +\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\alpha _i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\beta _i u^{(i)}} \\ y=z \\ \end{cases} \end{align} $$ (27)

                        其中$\alpha _i , \mbox{ }\beta _i , \mbox{ }i=0, 1, \cdots, n-1$, 由式(6), (7)給出.

                      • 下述定理說明多輸入多輸出非線性系統的能觀規范型(9)$\sim$(15)也和某高階全量測系統等價.

                        定理?2.??多輸入多輸出非線性系統能觀規范型(9)$\sim$(15)等價于下述形式的高階全量測系統:

                        $$ \begin{align} \label{eq28} \begin{cases} \sum\limits_{i=0}^\mu {A_i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{\mu -1} {B_i ^{(i)}(z, u)} \\ y=C(z) \\ \end{cases} \end{align} $$ (28)

                        其中$z\in {\bf R}^m$, $y=C(z)$是由$z$到$y$的微分同胚,

                        $$ \begin{align} \label{eq29} \mu =\max \left\{ {\mu _i , \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m} \right\} \end{align} $$ (29)
                        $$ \begin{align}\begin{array}{c} A_k =\left[ {\alpha _{ij}^k } \right]_{m\times m} , \;\mbox{ }B_k =\left[ {\begin{array}{l} b_{1k} (z, u) \\ \quad \;\;\vdots \\ b_{mk} (z, u) \\ \end{array}} \right] \\ k=0, 1, \cdots, \mu \\ \end{array}\end{align} $$ (30)

                        而$\mu _i , \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m$為一組正整數, 滿足

                        $$ \begin{align*} \mu _1 +\mu _2 +\cdots +\mu _m =n \end{align*} $$

                        $\alpha _{ij}^k , \;k, \mbox{ }j=1, 2, \cdots, \mu _i ;\mbox{ }i=1, 2, \cdots, m$和$b_{ij} (z, u), \quad j=1, 2, \cdots, \mu _i ;\mbox{ }i=1, 2, \cdots, m$均由規范型(9)$\sim$(15)決定, 這里約定

                        $$ \begin{align} \label{eq30} \begin{cases} \alpha _{ij}^k =0, \mbox{ }k>\mu _i , \mbox{ }j\ne k, \mbox{ }j=1, 2, \cdots, \mu _i \\ \alpha _{ii}^{\mu _i } =1, \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m \\ \end{cases} \end{align} $$ (31)

                        證明.??我們先證明規范型(9)$\sim$(15)可以表為式(28)的形式.

                        將式(9)中的方程分組寫成分量形式, 有

                        $$ \begin{align} \label{eq31} \begin{cases} \dot {\tilde {x}}_{k1} =-\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^0 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k0} (\cdot , u)} \\ \dot {\tilde {x}}_{k2} =\tilde {x}_{k1} -\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^1 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k1} (\cdot , u)} \\ \qquad \qquad\vdots \\ \dot {\tilde {x}}_{k, \mu _k -1} =\tilde {x}_{k, \mu _k -2} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -2} \tilde {x}_{j\mu _j } +\\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -2} (\cdot , u) \\ \dot {\tilde {x}}_{k\mu _k } =\tilde {x}_{k, \mu _k -1} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -1} \tilde {x}_{j\mu _j } +\\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -1} (\cdot , u) \\ \qquad\quad k=1, 2, \cdots, m \\ \end{cases} \end{align} $$ (32)

                        然后對上式中的第$i$式求$i-1$階導數, 可得

                        $$ \begin{align} \label{eq32} \begin{cases} \dot {\tilde {x}}_{k1} =-\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^0 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k0} (\cdot , u)} \\ \ddot {\tilde {x}}_{k2} =\dot {\tilde {x}}_{k1} -\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^1 \dot {\tilde {x}}_{j\mu _j } +\dot _{k1} (\cdot , u)} \\ \qquad\qquad \vdots \\ \tilde {x}^{(\mu _k -1)}_{k, \mu _k -1} =\tilde {x}^{(\mu _k -2)}_{k, \mu _k -2} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -2} \tilde {x}^{(\mu _k -2)}_{j\mu _j } +\\ \qquad \qquad b_{k, \mu _k -2}^{(\mu _k -2)} (\cdot , u) \\ \tilde {x}^{(\mu _k )}_{k\mu _k } =\tilde {x}^{(\mu _k -1)}_{k, \mu _k -1} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -1} \tilde {x}^{(\mu _k -1)}_{j\mu _j } +\\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -1}^{(\mu _k -1)} (\cdot , u) \\ \qquad\qquad k=1, 2, \cdots, m \\ \end{cases} \end{align} $$ (33)

                        再將上式各方程中等號兩邊各項對應相加, 可得

                        $$ \begin{align} \label{eq33} \tilde {x}^{(\mu _k )}_{k\mu _k }& +\sum\limits_{i=0}^{\mu _k -1} {\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^i \tilde {x}^{(i)}_{j\mu _j } } } =\sum\limits_{i=0}^{\mu _k -1} {b_{ki}^{(i)} (\cdot , u)} \nonumber\\ &\quad k=1, 2, \cdots, m \end{align} $$ (34)

                        注意到式(31), 可將式(34)進一步寫為

                        $$ \begin{align} \label{eq34} \sum\limits_{i=0}^{\mu _k } \sum\limits_{j=1}^m {\alpha }_{kj}^i \tilde{x}^{(i)}_{j\mu _j }=\, & \sum\limits_{i=0}^{\mu _k -1} b_{ki}^{(i)} (\cdot , u) \nonumber \\& \quad k=1, 2, \cdots, m \end{align} $$ (35)

                        $$ \begin{align} \label{eq35} z=\begin{bmatrix} {\tilde {x}_{1\mu _1 } }& {\tilde {x}_{2\mu _2 } }& \cdots & {\tilde {x}_{m\mu _m } }\\ \end{bmatrix}^{\rm T} \end{align} $$ (36)

                        再利用式(30)$\sim$(31)便可將式(35)表示成式(28).

                        反過來, 設式(28)成立, 下面證明式(9)$\sim$(15)成立.

                        利用式(30)$\sim$(31)及式(36)可將式(28)寫為式(34)給出的分量形式.基于式(34)再補充定義下述變量:

                        $$ \begin{align} \label{eq36} \begin{array}{l} \begin{cases} \tilde {x}_{k, \mu _k -1} =\sum\limits_{i=\mu _k -1}^{\mu _k } {\alpha _{kk}^i \dot {\tilde {x}}^{(i-\mu _k +1)}_{k\mu _k } } +\gamma _{\mu _k -1} -\\ \qquad\qquad b_{\mu _k -1} (z , u) \\ {\quad \quad \qquad \vdots } \\ {\tilde {x}_{k2} =\sum\limits_{i=2}^{\mu _k } {\alpha _{kk}^i \dot {\tilde {x}}^{(i-2)}_{k\mu _k } } +\gamma _2 -\sum\limits_{i=2}^{\mu _k -1} b^{(i-2)}_i (z , u)} \\ {\tilde {x}_{k1} =\sum\limits_{i=1}^{\mu _k } {\alpha _{kk}^i \dot {\tilde {x}}^{(i-1)}_{k\mu _k } } +\gamma _1 -\sum\limits_{i=1}^{\mu _k -1} b^{(i-1)}_i (z , u)} \end{cases} \\ \quad \quad \qquad k=1, 2, \cdots, m \\ \end{array} \end{align} $$ (37)

                        其中

                        $$ \begin{align*} \gamma _l =\sum\limits_{i=l}^{\mu _k -1} {\sum\limits_{\begin{array}{l} j=1 \\ j\ne k \\ \end{array}}^m {\alpha _{kj}^i \tilde {x}^{(i)}_{j\mu _j } } } , \mbox{ }l=1, 2, \ldots , \mu _k -1 \end{align*} $$

                        然后利用定理1的充分性證明中的技巧, 令

                        $$ \begin{align} \label{eq37} \rho _k \buildrel \Delta \over = \sum\limits_{i=0}^{\mu _k } \sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^i \tilde {x}^{(i)}_{j\mu _j } -\sum\limits_{i=0}^{\mu _k -1} {b_{ki}^{(i)} (z , u)} } =0 \end{align} $$ (38)

                        利用式(37)中各式和式(38), 經過一定的推導容易驗證

                        $$ \begin{align} \label{eq38} \begin{cases} \dot {\tilde {x}}_{k1} -\rho _k =-\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^0 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k0} (z , u)} \\ \dot {\tilde {x}}_{k2} -\tilde {x}_{k1} =-\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^1 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k1} (z , u)} \\ \quad \quad \quad \qquad \vdots \\ \dot {\tilde {x}}_{k, \mu _k -1} -\tilde {x}_{k, \mu _k -2} =-\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -2} \tilde {x}_{j\mu _j } +\\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -2} (z , u) \\ \dot {\tilde {x}}_{k\mu _k } -\tilde {x}_{k, \mu _k -1} =-\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -1} \tilde {x}_{j\mu _j } + \\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -1} (z , u) \\ \qquad\quad k=1, 2, \cdots, m \\ \end{cases} \end{align} $$ (39)

                        由此可以推出規范型(9)$\sim$(15)的分量形式(32), 即規范型(9)$\sim$(15)成立.

                        推論?2.??設${\rm rank}C=m$, 則多輸入多輸出線性定常系統(16)能觀的充要條件是其等價于如下高階全量測系統

                        $$ \begin{align} \label{eq39} \begin{cases} \sum\limits_{i=0}^\mu {A_i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{\mu -1} {B_i u^{(i)}} \\ y=Cz \\ \end{cases} \end{align} $$ (40)

                        其中$z\in {\bf R}^m$,

                        $$ \begin{align} \label{eq40} \begin{array}{c} A_k =\left[ {\alpha _{ij}^k } \right]\in {\bf R}^{m\times m}, \; B_k = \begin{bmatrix} b_{1k} \\ \quad \vdots \\ b_{mk} \end{bmatrix}\in {\bf R}^{m\times r}\; \\ k=0, 1, \cdots, \mu =\max \left\{ {\mu _i , \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m} \right\} \\ \end{array} \end{align} $$ (41)
                        $$ \begin{align} \label{eq41} C=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1& 0& \cdots& 0\\ {c_{21} }& 1& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& 0\\ {c_{m1} }& \cdots& {c_{m, m-1} }& 1\\ \end{array} }} \right] \end{align} $$ (42)

                        而$\mu _i , \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m$, $c_{ij} , \mbox{ }j=1, 2, \cdots, i$; $i=1, 2, \cdots, $ $m$, 如前所述.

                        眾所周知, 控制系統的能控、能觀性是對于狀態空間描述的一階系統定義的.高階系統沒有直接的能控、能觀性定義.文獻[1]建立了控制系統的能控性和高階系統的全驅性的關系, 定義了控制系統的完全能控性.受上述定理1和定理2的啟發, 我們亦可給出高階非線性系統的能觀性定義.

                        現在考慮如下一般的動態系統

                        $$ \begin{align} \label{eq42} \begin{cases} F(x, \dot {x}, \cdots , x^{(v)};\;u, \dot {u}, \cdots, u^{(l)};\;t)=0 \\ y=G(x, \dot {x}, \cdots , x^{(v)}) \\ \end{cases} \end{align} $$ (43)

                        其中$x$、$y\in {\bf R}^m$和$u\in {\bf R}^r$分別為系統的狀態、輸出和控制輸入, $F(\cdot )$和$G(\cdot )$為滿足適當條件的向量函數, $v$和$l$為兩個正整數, 一般情況下有$l\le v$.

                        定義?2.??動態系統(43)稱為完全能觀的, 如果存在適當的變換將其等價化為如下形式的高階全量測系統

                        $$ \begin{align} \label{eq43} \begin{cases} Ez^{(m)}+\sum\limits_{i=0}^{m-1} {A_i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{m-1} {B_i ^{(i)}} (z, u) \\ y=C(z, u) \end{cases} \end{align} $$ (44)

                        其中$z$和$y\in{\bf R}^n$分別為系統的基礎狀態向量和輸出向量; $u\in {\bf R}^r$為輸入向量; $E\in {\bf R}^{n\times n}$為一個常數矩陣, $A_i \in {\bf R}^{n\times n}, \;i=0, 1, \cdots, m-1$為一組系數矩陣, $B_i (x, u)\in {\bf R}^n, \;i=0, 1, \cdots, m-1$為一組足夠光滑的向量函數, $y=C(z, u)$對于任何$u\in {\bf R}^r$均是由$z$到$y$的微分同胚.

                      • 由上述定義2可知, 任何一個完全能觀系統都等價于一個形如式(44)的高階全量測系統.本節考慮高階全量測系統(44)的觀測器設計問題.

                      • 對于全量測系統式(44)引入下述狀態變量[31]

                        $$ \begin{align} \label{eq44} \begin{cases} {x_m =z} \\ {x_{m-1} =E\dot {z}+A_{m-1} z-B_{m-1} (z, u)} \\ {\quad \quad \quad \vdots } \\ {x_2 =Ez^{(m-2)}+\sum\limits_{i=2}^{m-1} {A_i z^{(i-2)}} -\sum\limits_{i=2}^{m-1} {B_i ^{(i-2)}} (z, u)} \\ {x_1 =Ez^{(m-1)}+\sum\limits_{i=1}^{m-1} {A_i z^{(i-1)}} -\sum\limits_{i=1}^{m-1} {B_i ^{(i-1)}} (z, u)} \end{cases} \end{align} $$ (45)

                        同定理1和2的充分性證明, 令

                        $$ \begin{align} \label{eq45} \rho \buildrel \Delta \over = Ez^{(m)}+\sum\limits_{i=0}^{m-1} {A_i z^{(i)}} -\sum\limits_{i=0}^{m-1} {B_i ^{(i)}} (z, u)=0 \end{align} $$ (46)

                        利用式(45)中各式和式(46)容易驗證

                        $$ \begin{align*} \begin{cases} \dot {x}_1 -\rho =-A_0 x_m +B_0 (x_m , u) \\ \dot {x}_2 -x_1 =-A_1 x_m +B_1 (x_m , u) \\ \quad \quad \quad \vdots \\ \dot {x}_{m-1} -x_{m-2} =-A_{m-2} x_m +B_{m-2} (x_m , u) \\ E\dot {x}_m -x_{m-1} =-A_{m-1} x_m +B_{m-1} (x_m , u) \\ \end{cases} \end{align*} $$

                        由此可得全量測系統(44)的下述廣義系統形式的狀態空間實現[32]

                        $$ \begin{align} \label{eq46} \begin{cases} E_\Delta\dot {{x}}=\Psi (A_0, A_1, \cdots, A_{m-1})x +B_\Delta(x_m, u)\\ y=C(x_m, u) \end{cases} \end{align} $$ (47)

                        其中

                        $$ \begin{align*} x=\begin{bmatrix} x^{\rm T}_1&x^{\rm T}_2&\cdots &x^{\rm T}_{m} \end{bmatrix}^{\rm T} \end{align*} $$
                        $$ \begin{align} \label{eq47} E_\Delta={\rm diag}\{I_n\quad \cdots\quad I_n\quad E\} \end{align} $$ (48)
                        (49)
                        $$ \begin{align} \label{eq48} B_\Delta(x_m, u)=\begin{bmatrix}B_0(x_m, u) \\ B_1(x_m, u) \\ \vdots \\ B_{m-1}(x_m, u)\end{bmatrix} \end{align} $$ (50)
                      • 鑒于$ y=C(x_m, u)$對于任何$u\in {\bf R}^r$都是由$x_m$到$y$的微分同胚, 有

                        $$ \begin{align} \label{eq49} x_m =C^{-1}(y, u) \end{align} $$ (51)

                        借助于上述關系, 我們可以設計系統(47)$\sim$(50)的下述形式的狀態觀測器

                        $$ \begin{align} \label{eq50} &E_\Delta\dot {\hat {x}}=\Psi (A_0, A_1, \cdots, A_{m-1})\hat {x} -\nonumber\\&\quad L(C^{-1}(y, u)-\hat {x}_m)+B_\Delta(C^{-1}(y, u), u) \end{align} $$ (52)

                        其中

                        $$ L=\begin{bmatrix}L_0 \\ L_1 \\ \vdots \\ L_{m-1}\end{bmatrix}, L_i \in {\bf R}^{n\times n}, \;i=0, 1, \cdots, m-1 $$

                        為一設計參數矩陣.

                        記觀測誤差向量為

                        $$ \begin{align} \label{eq51} e=x-\hat {x} \end{align} $$ (53)

                        再注意到

                        $$ \begin{align*}L(C^{-1}(y, u)-\hat {x}_m)=L(x_m-\hat {x}_m)=\\\begin{bmatrix}&0&-L_0 \\ &0&-L_1 \\ &\vdots&\vdots \\ &0&-L_{m-1}\end{bmatrix}(x-\hat {x})\end{align*} $$

                        則由式(47)和(52)兩端相減可得下述線性定常的觀測誤差方程:

                        $$ \begin{align} \label{eq52} E_\Delta\dot {e}=\Psi (A_0-L_0, A_1-L_1, \cdots, A_{m-1}-L_{m-1})e \end{align} $$ (54)

                        下述命題說明了完全能觀系統觀測器設計的一個重要優越性.

                        命題?3.??給定高階全量測系統(44), 或其狀態空間實現(47)$\sim$(50), 對于任意給定的定常矩陣$P_i \in {\bf R}^{n\times n}, \mbox{ }i=0, 1, \cdots, m-1$, 都可以選取該系統的狀態觀測器(52)中的參數矩陣

                        $$ \begin{align} \label{eq53} L_i=A_i-P_i, \quad i=0, 1, \cdots, m-1 \end{align} $$ (55)

                        使得系統(47)$\sim$(50)在觀測器(52)下的觀測誤差方程為

                        $$ \begin{align} \label{eq54} \begin{array}{l} E_\Delta\dot {e}=\Psi(P_0, P_1, \cdots, P_{m-1})e \end{array} \end{align} $$ (56)

                        注意到

                        $$ \begin{align} \label{eq55} &{\rm det}(sE_\Delta-\Psi(P_0, P_1, \cdots, P_{m-1}))= \nonumber\\&\qquad {\rm det}(Es^m+P_{m-1}s^{m-1}+\cdots+P_1s+P_0) \end{align} $$ (57)

                        上述命題說明, 對于非線性完全能觀系統, 可以設計其觀測器使得觀測誤差系統為一個線性定常系統, 且其特征多項式的系數矩陣還可以任意配置.

                        下面進一步說明一下這些系數矩陣$P_i \in {\bf R}^{n\times n}, \mbox{ }i=0, 1, \cdots, m-1$的配置方法.

                        注意到

                        $$ \begin{align} \label{eq56} \Psi^{\rm T}(P_0, P_1, \cdots, P_{m-1})=\Psi^{\rm T}(0)-B_\Delta K \end{align} $$ (58)

                        其中

                        (59)
                        $$ \begin{align} \label{eq58} K=\begin{bmatrix} P_0&P_1&\cdots &P_{m-1} \end{bmatrix} \end{align} $$ (60)

                        系數矩陣$P_i \in {\bf R}^{n\times n}, \mbox{ }i=0, 1, \cdots, m-1$的求取問題可以通過求解下述系統

                        $$ \begin{align} E_\Delta^{\rm T}\dot{ x}=\Psi^{\rm T}(0)x+B_\Delta u \end{align} $$ (61)

                        的狀態反饋特征結構配置來解決.

                        關于廣義線性系統狀態反饋特征結構配置問題的求解, 可以參閱相關文獻[32-36].特別地, 對于上述這一特殊系統(61)的特征結構配置問題, 文獻[37]給出了一種具體的參數化設計方法, 并提供了系統設計中的所有自由度.

                        文獻[1]和[37]針對完全能控非線性系統給出了一種狀態控制律設計方法, 使得閉環系統為線性定常的, 且具有希望的閉環特征結構.本文的方法則提供了完全能觀非線性系統狀態觀測器的設計方法.通過兩方面的有機結合可以給出完全能控、完全能觀非線性系統的基于狀態觀測器的控制系統設計方法.

                      • 考慮下述二階動力學系統

                        $$ \begin{align} \label{eq60} \begin{cases} M(z)\ddot {z}+D(z)\dot {z}+K(z)=u \\ y=z \\ \end{cases} \end{align} $$ (62)

                        其中$z\in {\bf R}^n$, $u\in {\bf R}^n$, $y\in {\bf R}^n$分別為系統的基礎狀態向量、控制輸入和輸出向量; $M(z)$, $D(z)$, $K(z)$為系統的系數矩陣.

                        假設$M(z)$對于任意$z\in {\bf R}^n$均可逆, 則式(62)可改寫為

                        $$ \begin{align} \label{eq61} \begin{cases} \ddot {z}=-M^{-1}(z)D(z)\dot {z}-M^{-1}(z)\left[ {K(z)-u} \right] \\ y=z \\ \end{cases} \end{align} $$ (63)

                        我們令

                        $$ \begin{align*} &B_0 (z, u)=-M^{-1}(z)\left[ {K(z)-u} \right] \nonumber\\& B_1 (z, \dot {z})=-\int_0^t {M^{-1}(z)D(z)\dot {z}{\rm d}t} \end{align*} $$

                        如果$B_1 (z, \dot {z})=B_1 (z)$與$\dot {z}$無關, 則式(63)即化為下述二階全量測系統:

                        $$ \begin{align} \label{eq62} \begin{cases} \ddot {z}=\dot {B}_1 (z)+B_0 (z, u) \\ y=z \\ \end{cases} \end{align} $$ (64)

                        $$ \begin{align*}{\tilde D}(z)=M^{-1}(z)D(z)=\begin{bmatrix} {\tilde d}_{ij}(z) \end{bmatrix}_{n\times n}\end{align*} $$

                        則有

                        $$ \begin{align*} B_1 (z, \dot {z})=&-\int_0^t {M^{-1}(z)D(z)\dot {z}{\rm d}t}=\nonumber\\&-\begin{bmatrix} \int_0^t \left(\sum\limits_{j=1}^{n}{\tilde d}_{1j}(z)\dot {z}_j \right){\rm d}t \\ \int_0^t \left(\sum\limits_{j=1}^{n}{\tilde d}_{2j}(z)\dot {z}_j \right){\rm d}t \\\quad \vdots \\\int_0^t \left(\sum\limits_{j=1}^{n}{\tilde d}_{nj}(z)\dot {z}_j \right){\rm d}t \\ \end{bmatrix}=\nonumber\\&- \begin{bmatrix} \sum\limits_{j=1}^{n}\int_{z_j(0)}^{z_j} {\tilde d}_{1j}(z){\rm d} z_j \\ \sum\limits_{j=1}^{n}\int_{z_j(0)}^{z_j} {\tilde d}_{2j}(z){\rm d} z_j \\\quad \vdots \\ \sum\limits_{j=1}^{n}\int_{z_j(0)}^{z_j} {\tilde d}_{nj}(z){\rm d} z_j \\ \end{bmatrix}\triangleq\nonumber\\&B_1 (z)\end{align*} $$

                        因此, $B_1 (z, \dot {z})= B_1 (z)$確實與$\dot {z}$無關.

                        定義

                        $$ \begin{align*} \begin{cases} x_2=z \\ x_1=\dot {z}-{B}_1 (z)\\ \end{cases} \end{align*} $$

                        則系統(64)的狀態空間模型為

                        $$ \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot { {x}}_1 \\ \dot { {x}}_2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0& 0\\ {I_n }& 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} B_0 (y, u) \\ B_1 (y) \\ \end{bmatrix} \end{align*} $$

                        因此, 我們可設計該系統的下述狀態觀測器

                        $$ \begin{align} \label{eq63}\begin{bmatrix} \dot {\hat {x}}_1 \\ \dot {\hat {x}}_2 \\ \end{bmatrix}=&\begin{bmatrix} 0& 0\\ {I_n }& 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\hat {x}}_1\\ {\hat {x}}_2 \\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} L_0\\ L_1 \\ \end{bmatrix}(y-{\hat {x}})+\nonumber\\ &\begin{bmatrix} B_0 (y, u) \\ B_1 (y) \\ \end{bmatrix} \end{align} $$ (65)

                        其中$L_0 $和$L_1 \in {\bf R}^{n\times n}$為兩個常值觀測器增益矩陣, 二者只需保證下述矩陣

                        $$ \begin{align*} \Psi (-L_0 , -L_1 )=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 0& {L_0 }\\ {I_n }& {L_1 }\\ \end{array} }} \right] \end{align*} $$

                        穩定即可.此時所設計的觀測器(65)決定的觀測誤差

                        $$ \begin{align*} e= \begin{bmatrix} \dot {x}-\dot {\hat {x}}\\ x-\hat {x} \\ \end{bmatrix} \end{align*} $$

                        由下述穩定的線性定常系統決定:

                        $$ \begin{align*} \dot {e}=\Psi (-L_0 , -L_1 )e \end{align*} $$

                        而$\dot {z}$的估計由$\hat{x}_1+B_1 (y)$給出.

                        由上述可見, 該方法在最后的觀測誤差方程中完全解耦掉了系統中非線性的影響.一般說來, 一個非線性系統的觀測器的觀測誤差系統仍然是一個非線性系統, 所以通常只能得到局部穩定的觀測誤差系統.即使在極少數情況下能夠得到全局穩定的觀測誤差系統, 也遠不如得到一個穩定的線性定常的觀測誤差系統.

                      • 控制系統中的狀態信息如果全靠有關敏感器來獲得是很不經濟的, 有時也是不現實的.因此研究控制系統的能觀性和狀態觀測器設計問題是非常必要的.對于線性定常系統, 其能觀性分析理論和觀測器設計理論是較為完備的, 然而關于非線性系統能觀性分析方面的有效判據還欠缺, 關于非線性系統觀測器設計的方法也很有限, 且往往只適用于非常特殊的系統, 應用范圍較窄.

                        本文發現了控制系統的能觀性和高階系統全量測性之間的關系, 從而提出了非線性系統的完全能觀性概念及其相應的標準型, 為更廣泛的一類非線性系統的觀測器設計提供了充分條件.全量測特性允許我們消除非線性的影響, 得到一個線性定常的觀測誤差系統, 且可以任意配置誤差系統的特征多項式系數矩陣.這一方法的重要性在于把一個非線性系統的設計問題轉化成線性系統的設計問題, 從而允許使用線性系統的諸多分析和設計方法.

                        由于拉格朗日方程、動量(矩)定理等一批物理定律的存在, 現實世界中的二階或高階系統遠遠多于一階系統.然而在系統與控制的漫長發展過程中人們一直把高階系統化成一階系統來處理.本文的工作再一次展示了高階系統方法的優越性.

                        有關高階全驅系統的干擾解耦與抑制、魯棒鎮定與跟蹤、自適應控制等問題, 將另文討論.

                    參考文獻 (37)

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